如何将 $R^4$ 中的一般向量分解为 W 中的向量与 W^perp 中的向量之和？

R^4 中的一般向量通过将其坐标分为两个块来分解。前两个坐标构成 W 中的一个向量，后两个坐标构成 W^perp 中的一个向量。将这两个向量相加即可重构原始向量。

R^4

中的一般向量通过将其坐标分为两个块来分解。前两个坐标构成 W 中的一个向量，后两个坐标构成 W^perp 中的一个向量。将这两个向量相加即可重构原始向量。

适用条件

环境空间是 $R^4$ 。
W 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$ 。
W^perp 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$ 。
向量表示为 $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$ ，其中 $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ 。

从 $R^4$ 中的任意向量 $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$ 开始。
将前两个坐标与后两个坐标分开。
将向量写为两个向量之和： $\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$ 。
将第一个加数 $\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix}$ 识别为 W 的元素，因为它是 W 的基向量的线性组合。
将第二个加数 $\begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$ 识别为 W^perp 的元素，因为它是 W^perp 的基向量的线性组合。
得出该向量被分解为一个 W 分量和一个 W^perp 分量的结论。

黑板上明确写出了分解式： $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$ 。