为什么将向量表示为子空间的直和是唯一的？

要分解 $R^4$ 中的向量，你需要根据 W 和 W^perp 的基来分离其分量。对应于 W 的基的部分（前两个坐标）构成 W 中的一个向量，对应于 W^perp 的基的部分（后两个坐标）构成 W^perp 中的一个向量。

适用条件：环境空间是 $R^4$。；W 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$。；W^perp 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$。；给出了目标向量，例如 $\begin{pmatrix}4\\3\\-2\\6\end{pmatrix}$。

讲师说这种表示是唯一的，因为在直和 $W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$ 的背景下，将给定向量拆分为属于 W 的部分和属于 W^perp 的部分只有一种方法。来自这两个子空间的没有其他向量对可以相加得到相同的原始向量。

适用条件：环境空间是 $R^4$。；W 和 W^perp 是黑板上定义的特定子空间。；方程 $W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$ 成立。

$R^4$ 中的一般向量通过将其坐标分为两个块来分解。前两个坐标构成 W 中的一个向量，后两个坐标构成 W^perp 中的一个向量。

适用条件：环境空间是 $R^4$。；W 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$。；W^perp 的基是 $\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$。；向量表示为 $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$，其中 $a,b,c,d \in \mathbb{R}$。

该示例定义了一个由 $R^4$ 的前两个标准基向量张成的子空间 W，以及由其最后两个标准基向量张成的正交补 W^perp。它们共同形成一个等于整个空间 $R^4$ 的直和。

适用条件：环境空间是 $R^4$。；基如黑板上所示。