正交补

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$\mathbb{R}^4$。

2. 声音
   观察依据

   读作‘R四’。

$\mathbb{R}^4$

所有4维实向量构成的向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$W$。

2. 声音
   观察依据

   读作‘W’。

W

$\mathbb{R}^4$的一个子空间，其基为$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

$\mathbb{R}^4$的子空间

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$W^\perp$。

2. 声音
   观察依据

   读作‘W正交补’。

$W^\perp$

$W$的正交补，它是$\mathbb{R}^4$的一个子空间，其基为$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

$\mathbb{R}^4$的子空间

1. 公式
   观察依据

   白板上显示的环境空间为 $\mathbb{R}^4$在“我们取 $\mathbb{R}^4$”和“现在 $W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$”这两行中。

$\mathbb{R}^4$

用作本例环境空间的四维实向量空间。

定义在$\mathbb{R}$上的向量空间，维数为4。

1. 公式
   观察依据

   白板上写着“设 $W$ 有一组基……”，之后在 $W$ 中使用了 $W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$。

W

$\mathbb{R}^4$的一个子空间，其展示出的基为$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$。

$\mathbb{R}^4$的一个子空间；在此例中，它是前两个标准坐标向量张成的子空间。

1. 公式
   观察依据

   白板上写着“设 $W^{\perp}$ 有一组基……”，之后在 $W^{\perp}$ 中使用了 $W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$。

$W^{\perp}$

$W$在$\mathbb{R}^4$中的正交补，其基显示为$\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$。

$\mathbb{R}^4$的一个子空间；此处它是后两个标准坐标向量张成的子空间。

1. 公式
   观察依据

   黑板上的方程为$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$。

$\oplus$

子空间的直和，表明环境空间中的每个向量均可唯一地表示为各子空间中一个向量的和。

向量空间子空间上的一种运算。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“$\mathbb{R}^4 = \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$中的一个向量可表示为……”

$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$

$\mathbb{R}^4$中具有标量坐标$a,b,c,d$的一般向量。

对应的式子为：$a,b,c,d \in \mathbb{R}$。

1. 公式
   观察依据

   分解线将第一个加项显示为$\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix}$。

$\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix}$

$(a,b,c,d)^T$中位于$W$内的分量，通过保留前两个坐标、将后两个坐标置零而得到。

$W = \operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T\}$的元素。

1. 公式
   观察依据

   分解线将第二个加项显示为$\begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$。

$\begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$

$(a,b,c,d)^T$中位于$W^{\perp}$内的分量，通过将前两个坐标置零、保留后两个坐标而得到。

$W^{\perp} = \operatorname{span}\{(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T\}$的元素。

1. 公式
   观察依据

   在白板上写作$W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$。

2. 声音
   观察依据

   读作‘W 直和 W 正交补，嗯，这等于 R 四’。

两个子空间$U$和$V$的直和，记为$U \oplus V$，是指所有能唯一表示为一个属于$U$的向量与一个属于$V$的向量之和的向量所构成的集合。本例中，$W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$。

1. $W$和$W^\perp$是$\mathbb{R}^4$的子空间

2. 对应的式子为：$W \cap W^\perp = \{\mathbf{0}\}$

1. 子空间
2. 正交补

1. 声音
   观察依据

   读作‘假设 W 是以这两个向量为基的子空间’。

向量空间的一个子集，其在相同运算下自身也构成向量空间。此处，$W$ 是一个 2维子空间，属于 $\mathbb{R}^4$。

1. 对向量加法封闭

2. 对标量乘法封闭

3. 包含零向量

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$W^\perp$。

2. 声音
   观察依据

   口述为‘我们令W的正交补具有基……’。

对于内积空间 $W$ 的一个子空间 $V$，其正交补 $W^\perp$ 是指 $V$ 中所有与 $W$ 中每个向量都正交的向量所构成的集合。

1. 定义于内积空间之内

1. 子空间

1. 公式
   观察依据

   白板标题为“正交补”，所展示的具体设定给出了$W$和$W^{\perp}$在$\mathbb{R}^4$中的基。

2. 声音
   观察依据

   讲师称这提供了“一个便于操作的正交补基本概念。”

该片段在$\mathbb{R}^4$中展示了一个具体例子：$W$由前两个标准基向量张成，而$W^{\perp}$由后两个标准基向量张成。这说明了一个子空间与其正交补如何将环境空间分割为坐标块。

1. 环境空间是$\mathbb{R}^4$。

2. 图中显示的基是黑板上已给出的。

1. 公式
   观察依据

   黑板明确写出$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$。

2. 公式
   观察依据

   在其下方，一个一般向量$(a,b,c,d)^T$被重写为$(a,b,0,0)^T + (0,0,c,d)^T$。

利用所选的子空间，$\mathbb{R}^4$中的每个向量都被分解为一个属于$W$的部分和一个属于$W^{\perp}$的部分。第一个加项保留前两个坐标，第二个加项保留后两个坐标。

1. 对应的式子为：$a,b,c,d \in \mathbb{R}$。

2. $W$和$W^{\perp}$是黑板上列出的子空间。

1. $\mathbb{R}^4$中的一对具体正交补。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“对于两个特定子空间，我这样写的表达方式是唯一的，不存在其他写法。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上在该分解式旁手写注明：“此表示法是唯一的。”

对于所展示的分解，讲师强调：将一个向量表示为$W$中一个元素与$W^{\perp}$中一个元素之和的方式是唯一的；在此直和设定下，不存在另一对加项能生成相同的向量。

1. 适用于黑板上所示与$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$相关的分解。

1. 向量在$\mathbb{R}^4$中的直和分解

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“现在$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$”。

对于黑板上展示的子空间，$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$。

1. $W$有一组基为$\left\{(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T\right\}$。

2. $W^{\perp}$有一组基为$\left\{(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T\right\}$。

一旦两个子空间固定，该性质对$\mathbb{R}^4$中的所有向量普遍成立。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，利用这两个子空间来表示该向量的方式是唯一的，且不存在其他表示方式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的注记写道：“此表示法是唯一的。”

在将$\mathbb{R}^4$中的一个向量分解为一个$W$-部分与一个$W^{\perp}$-部分的所示分解中，该表示是唯一的。

1. 该向量用黑板上列出的特定子空间$W$和$W^{\perp}$来表示。

对于$\mathbb{R}^4$中的每一个向量，相对于所展示的$W$和$W^{\perp}$，都存在唯一的一种分解方式。

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   口述为‘它可以写成来自该子空间的一个向量与来自该子空间的另一个向量之和’。

1. 公式

   $$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$$
   解释

   从$\mathbb{R}^4$中任取一个向量开始。

   步骤依据

   题目陈述中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$$
   解释

   将该向量拆分为属于$W$的部分（前两个分量）和属于$W^\perp$的部分（后两个分量）。

   步骤依据

   直和的定义，以及为$W$和$W^\perp$所选取的具体基。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in W$$
   解释

   第一个向量是$W$的基向量的线性组合：$4\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

   步骤依据

   生成集／基的定义。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \in W^\perp$$
   解释

   第二个向量是$W^\perp$的基向量的线性组合：$-2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

   步骤依据

   生成集／基的定义。

   依据视频推导

$\mathbb{R}^4$中的任意向量均可唯一地分解为一个属于$W$的向量与一个属于$W^\perp$的向量之和。

1. 公式
   观察依据

   黑板先写出一个一般向量$(a,b,c,d)^T$，再将其重写为$(a,b,0,0)^T + (0,0,c,d)^T$。

1. 公式

   $$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$$
   解释

   从$\mathbb{R}^4$中任取一个向量开始。

   步骤依据

   黑板上直接给出该对象作为待分解的目标。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$$
   解释

   将前两个坐标与后两个坐标分开。

   步骤依据

   按坐标逐项相加，恰好复原原始向量。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} \in W,\quad \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix} \in W^{\perp}$$
   解释

   利用上方所示的基，识别出第一个加项属于$W$，第二个加项属于$W^{\perp}$。

   步骤依据

   每个加项都是对应展示基向量的线性组合。

   依据视频推导

该例题通过将坐标划分为两个正交块，直观地演示了分解$\mathbb{R}^4 = W \oplus W^{\perp}$。

1. 公式
   观察依据

   在黑板上写作$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   口述为‘比如说……某个随机向量4，3，减去2，6’。

将向量$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$写成一个属于$W$的向量与一个属于$W^\perp$的向量之和。

1. 对应的式子为：$W = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

2. 对应的式子为：$W^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

3. 目标向量：$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

求 $w \in W$ 和 $v \in W^\perp$ 使得 $w + v = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$。

1. 公式

   $$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$$
   解释

   分离对应于$W$和$W^\perp$基底的各分量。

   步骤依据

   直和定义及所选基底。

   视频直接表达

对应的式子为：$w = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

验证$w \in W$、$v \in W^\perp$与$w+v$之和等于原向量。

1. 公式
   观察依据

   完整的板书内容给出了$W$和$W^{\perp}$的基，陈述了$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$，并分解了$(a,b,c,d)^T$。

2. 声音
   观察依据

   讲师最后总结道，这给出了正交补空间的基本概念。

展示如何将 $\mathbb{R}^4$ 中的任意向量表示为一个来自 $W$ 的向量与一个来自 $W^{\perp}$ 的向量之和，其中子空间如黑板所列。

1. 环境空间：$\mathbb{R}^4$。

2. $W$的一组基：$\left\{(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T\right\}$。

3. $W^{\perp}$的一组基：$\left\{(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T\right\}$。

4. 一般向量：$(a,b,c,d)^T$。

写出明确的$W \oplus W^{\perp}$分解式，并说明该分解是否唯一。

1. 公式

   $$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix}$$
   解释

   将向量拆分为前两个坐标部分和后两个坐标部分。

   步骤依据

   直接按坐标相加。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{pmatrix}a\\b\\0\\0\end{pmatrix} \in W,\quad \begin{pmatrix}0\\0\\c\\d\end{pmatrix} \in W^{\perp}$$
   解释

   识别出这两个加项分别属于黑板上所展示的子空间。

   步骤依据

   它们分别是黑板上所写各自基的线性组合。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   得出该表示是唯一的结论。

   步骤依据

   讲师明确陈述并板书为“该表示是唯一的。”

   视频直接表达

$(a,b,c,d)^T = (a,b,0,0)^T + (0,0,c,d)^T$，其中第一项属于$W$，第二项属于$W^{\perp}$，且该分解是唯一的。

将屏幕上显示的两个加项按坐标逐项相加，即可复原$(a,b,c,d)^T$；其所属关系由黑板上所列基底得出。

1. 动画
   观察依据

   教师在白板上写出$W$和$W^\perp$的基向量。

1. 白板

2. 记号笔

3. $W$的基向量

4. $W^\perp$的基向量

1. 向量依次书写在黑板上。

1. 向量的数学含义一旦写定，便保持不变。

明确示例中所使用的特定子空间$W$和$W^\perp$。

1. 动画
   观察依据

   教师写出方程$W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$，然后写出向量分解式。

1. 白板

2. 记号笔

3. 方程$W \oplus W^\perp = \mathbb{R}^4$

4. 向量分解方程

1. 书写这些方程是为了揭示各子空间之间的关系以及特定向量的分解方式。

1. 直和性质所蕴含的基本数学事实。

直观地演示了任意向量在$\mathbb{R}^4$中如何被分解为属于$W$和$W^\perp$的分量。

1. 图示
   观察依据

   屏幕保持静态白板布局，标题为“正交补”，包含子空间的基底、等式$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$、分解式行以及注记“该表示是唯一的。”

2. 动画
   观察依据

   该片段中未出现任何新增书写或图示变换，仅讲师在摄像头窗口中做出手势。

1. 标题“正交补”

2. 定义$W$与$W^{\perp}$基底的行式说明

3. 等式$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$

4. $(a,b,c,d)^T$的分解

5. 手写的唯一性注记

1. 在23秒的片段中，未添加或删除任何数学内容。

1. 所展示的子空间、方程及分解在整个过程中保持不变。

2. 唯一性陈述始终显示在分解旁边。

该画面起到总结板的作用：它固定了示例，陈述了直和恒等式，并在讲师口头收尾时突出显示唯一性结论。

1. 声音
   观察依据

   讲师明确驳斥了存在其他分解方式的想法，说道：“这种写法没有别的可能。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上的注记写道：“该表示是唯一的。”

人们可能认为一个向量可以以多种不同方式拆分为一个$W$部分和一个$W^{\perp}$部分。

在所展示的$W \oplus W^{\perp}$设定下，该分解是唯一的；讲师强调，使用这两个子空间来表示同一个向量，不存在其他写法。

1. 声音
   观察依据

   口述为‘这就是直和的含义’。

直和的概念被应用于特定的子空间$W$和$W^\perp$，以说明它们张成$\mathbb{R}^4$。

1. 公式
   观察依据

   $W^\perp$是相对于$W$定义的。

正交补是一种特殊的子空间，它通过正交性与另一个子空间相关联。

1. 公式
   观察依据

   $W$与$W^{\perp}$的基被直接写在方程$W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^4$及坐标拆分的正上方。

对$W$与$W^{\perp}$所作的具体基的选择，使得所展示的坐标分解成为可能。

1. 声音
   观察依据

   关于刚刚写出的分解，讲师直接就其唯一性作出了说明。

2. 公式
   观察依据

   注释‘该表示是唯一的。’位于分解线旁。

唯一性声明针对黑板上所示直和分解所生成的特定表示。

1. 声音
   观察依据

   口述为：‘这种表示法的好处……在于其唯一性。’

1. 子空间的直和

1. 公式
   观察依据

   向量分解过程在黑板上展示。

1. 子空间的直和
2. 在ℝ^4中分解一个向量

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了一个完整写出的示例，包含$W$、$W^{\perp}$以及一个在$\mathbb{R}^4$中的向量分解。

1. $\mathbb{R}^4$中的一对具体正交补。
2. 向量在$\mathbb{R}^4$中的直和分解

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，用这两个子空间来表示该向量的方式是唯一的。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的注释写道：‘该表示是唯一的。’

1. $W \oplus W^{\perp}$表示法的唯一性

1. 公式
   观察依据

   分解线明确地将$(a,b,c,d)^T$重写为$(a,b,0,0)^T + (0,0,c,d)^T$。

1. 向量在$\mathbb{R}^4$中的直和分解
2. 例题：在 $\mathbb{R}^4$ 中将一个向量分解为 $W$ 和 $W^{\perp}$