← 全部问题如何使用状态价格计算欧式看跌期权的无套利价格？
欧式看跌期权的无套利价格计算方法是：首先确定其在各状态下的或有收益，将该收益向量分解为阿罗-德布鲁基向量，然后计算收益向量与状态价格向量的点积。这依赖于有限状态市场中定价的线性性质。
适用条件
- 市场是单期有限状态模型。
- 状态价格向量 [ψ1,ψ2,…] 已知。
- 期权是欧式的，并在期末到期。
- 标的资产的或有收益和执行价格是已知的。
理解与推导
- 使用 max(K−Sstate,0) 计算每个状态下的看跌期权收益。
- 将看跌期权收益写为列向量。
- 将收益向量分解为阿罗-德布鲁基向量的线性组合。
- 将每个状态收益乘以相应的状态价格。
- 对这些乘积求和以得到看跌期权的无套利价格。
例子
对于执行价 K=1.10 的看跌期权，标的资产在状态 1 支付 1.20，在状态 2 支付 0.90，收益向量为 [0,0.20]T。已知状态价格 ψ1=1/3 和 ψ2=2/3，价格为 0⋅(1/3)+0.20⋅(2/3)=0.4/3=2/15。
容易误解的地方
- 假设当标的资产低于执行价时，看跌期权收益为负；收益始终是 max(K−S,0)，即非负的。
- 在定价时将状态价格 ψ 与风险中性概率 q 混淆；直接的状态价格加权使用 ψ，而风险中性方法使用 q 并对预期收益进行贴现。
继续追问
- 为什么第二资产的欧式看跌期权收益向量是 [0,0.20]？
- 对于 S(0)=[1,1] 和 S(1)=[[1,1.20],[1,0.90]] 的市场，状态价格向量是什么？
相关问题
理解原因↗ 状态价格向量的解是唯一的，因为由此产生的线性定价系统的系数矩阵具有非零行列式。非零行列式保证了线性方程组对于未知的状态价格恰好有一个唯一的解。
适用条件：市场模型有三个状态和三个交易资产。；定价系统是 3x3 线性系统。；系统的系数矩阵是非奇异的（行列式非零）。
掌握方法↗ 为了推导线性定价方程，你需要施加无套利条件，即每个交易资产的当前价格必须等于其在各状态下的或有收益乘以相应状态价格的总和。这为每个交易资产产生一个线性方程，其中状态价格是未知数。
适用条件：具有有限状态集的单期模型。；今天所有交易资产的价格都是已知的。；每个资产在各状态下的或有收益是已知的。；未知数是状态价格（阿罗-德布鲁证券价格）。
掌握方法↗ 通过将每个状态价格乘以总无风险因子 (1+i) 来将状态价格向量转换为风险中性概率，其中 i 是每期无风险利率。这种缩放将阿罗-德布鲁证券的货币价格转换为总和为 1 的有效概率分布。
适用条件：状态价格 ψj 已经确定。；i 是已知的每期无风险利率。；市场是单期有限状态模型。
认识概念↗ 对于这个特定的三状态市场模型，状态价格向量是 [24/55,4/55,2/5]。该向量是通过求解由给定资产收益及其共同的当前价格 100 导出的线性定价方程组找到的。
适用条件：单期证券市场模型。；三种可能的情景（状态）。；具有 10% 利息的无风险银行账户（在所有状态下收益为 110）。；每个证券的当前价格为 100。；证券 X 的收益：220, 55, 0。；证券 Y 的收益：0, 0, 250。
理解原因↗ 银行账户在每个状态下贡献 110，因为它是无风险资产，每年支付 10% 的利息。今天投资 100，保证在第一期结束时获得 110 的回报，无论三种可能情景中的哪一种发生。
适用条件：银行账户是无风险的。；银行账户每年支付 10% 的利息。；初始投资（当前价格）是 100。；模型是具有多个状态的单期设定。
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