对于收益为 (110,110,110)、(220,55,0) 和 (0,0,250) 且价格均为 100 的市场，状态价格向量是什么？

适用条件

• 单期证券市场模型。
• 三种可能的情景（状态）。
• 具有 10% 利息的无风险银行账户（在所有状态下收益为 110）。
• 每个证券的当前价格为 100。
• 证券 X 的收益：220, 55, 0。
• 证券 Y 的收益：0, 0, 250。

理解与推导

1. 写出银行账户的定价方程：$110\psi_1 + 110\psi_2 + 110\psi_3 = 100$。
2. 写出证券 X 的定价方程：$220\psi_1 + 55\psi_2 + 0\psi_3 = 100$。
3. 写出证券 Y 的定价方程：$0\psi_1 + 0\psi_2 + 250\psi_3 = 100$。
4. 求解第三个方程得到 $\psi_3 = 100/250 = 2/5$。
5. 将 $\psi_3$ 代入第一个方程，并与第二个方程一起求解剩余的 2x2 系统，得到 $\psi_1 = 24/55$ 和 $\psi_2 = 4/55$。
6. 组装状态价格向量 $[\psi_1, \psi_2, \psi_3]$。

例子

文档明确显示了解：$\psi_1=\frac{24}{55}$，$\psi_2=\frac{4}{55}$，$\psi_3=\frac{2}{5}$，状态价格向量为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$。

容易误解的地方

• 假设状态价格向量的元素总和为 1；它们是价格而不是概率，其总和为 $24/55 + 4/55 + 22/55 = 50/55 \neq 1$。
• 在建立方程时省略零收益项，这会导致对变量数量的混淆。

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继续追问

• 在三状态市场模型中，为什么状态价格向量的解是唯一的？
• 如何将状态价格向量转换为风险中性概率？

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