如何使用偏序关系 $\le$ 定义实数范畴？

符号 $\cong$ 表示集合范畴中的同构，这意味着它只是两个同态集之间的双射。因为同态集是集合，所以它们的同构是双射函数。

适用条件：比较的对象是同态集；同构所在的背景范畴是集合范畴

数字 2 和 π 被用作具体的例子，以说明包含函子 $I$ 和下取整函子 $F$ 如何在对象上起作用。讲师计算 $I(2) = 2$ 和 $F(\pi) = \lfloor \pi \rfloor = 3$，以便在推导一般的不等式等价性之前为伴随关系建立直觉。

适用条件：示例设置在范畴 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 中。；$I$ 是包含函子 $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$。；$F$ 是下取整函子 $\mathbb{R} \to \mathbb{Z}$。

这个陈述是包含函子 $I$ 和下取整函子 $F$ 之间伴随关系的具体偏序理论推论。它意味着对于任何整数 $a$ 和实数 $b$，不等式 $a \le \lfloor b \rfloor$ 成立当且仅当 $a \le b$ 成立。

适用条件：$a$ 必须是整数。；$b$ 必须是实数。；该等价性被陈述为伴随示例的结果。

在这个例子中，$I$ 是从整数范畴 $\mathbb{Z}$ 到实数范畴 $\mathbb{R}$ 的包含函子，$F$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的下取整函数函子。讲师指出 $I$ 是 $F$ 的左伴随。

适用条件：定义在两个偏序集范畴 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 之间。；$I$ 是包含函子 $\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$。；$F$ 是下取整函数函子 $\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$。

我们不能直接在 $F$ 和 $G$ 之间谈论自然同构，因为自然同构比较的是具有相同定义域和陪域的函子。相反，视频重新表述了这个条件：$F$ 和 $G$ 是伴随的，当且仅当两个 Curry 化的同态函子 $\mathcal{B}(F(-),-)$ 和 $\mathcal{A}(-,G(-))$（两者都从 $\mathcal{A}^{op} \times \mathcal{B}$ 映射到 SET）是自然同构的。

适用条件：$F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 和 $G:\mathcal{B}\to\mathcal{A}$；两边都被视为从 $\mathcal{A}^{op}\times\mathcal{B}$ 发出的函子；自然同构是在具有相同定义域和陪域的函子之间