如果 F 和 G 本身指向相反的方向，我们怎么能谈论自然同构？

范畴 $\mathbb{R}$ 被定义为一个偏序集范畴，其中对象是实数，并且当且仅当 $x \le y$ 时存在态射 $x \to y$。这意味着态射编码了实数上的普通偏序关系。

适用条件：对象是实数。；当且仅当 $x\le y$ 时存在态射 $x\to y$。

符号 $\cong$ 表示集合范畴中的同构，这意味着它只是两个同态集之间的双射。因为同态集是集合，所以它们的同构是双射函数。

适用条件：比较的对象是同态集；同构所在的背景范畴是集合范畴

数字 2 和 π 被用作具体的例子，以说明包含函子 $I$ 和下取整函子 $F$ 如何在对象上起作用。讲师计算 $I(2) = 2$ 和 $F(\pi) = \lfloor \pi \rfloor = 3$，以便在推导一般的不等式等价性之前为伴随关系建立直觉。

适用条件：示例设置在范畴 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 中。；$I$ 是包含函子 $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$。；$F$ 是下取整函子 $\mathbb{R} \to \mathbb{Z}$。

这个陈述是包含函子 $I$ 和下取整函子 $F$ 之间伴随关系的具体偏序理论推论。它意味着对于任何整数 $a$ 和实数 $b$，不等式 $a \le \lfloor b \rfloor$ 成立当且仅当 $a \le b$ 成立。

适用条件：$a$ 必须是整数。；$b$ 必须是实数。；该等价性被陈述为伴随示例的结果。

在这个例子中，$I$ 是从整数范畴 $\mathbb{Z}$ 到实数范畴 $\mathbb{R}$ 的包含函子，$F$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的下取整函数函子。讲师指出 $I$ 是 $F$ 的左伴随。

适用条件：定义在两个偏序集范畴 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 之间。；$I$ 是包含函子 $\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$。；$F$ 是下取整函数函子 $\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$。