← 全部问题在什么条件下，R 中的元素 a 在 S−1R 中变为零？
如果存在
S 中的元素
s 使得乘积
sa=0，那么
R 中的元素
a 在局部化环
S−1R 中变为零。这是因为分数
a/1 可以被重写为
sa/s，它等于
0/s，因此在
S−1R 中等于
0。
适用条件
- R 是一个交换环。
- S⊂R 是乘法闭的。
- a∈R 且 s∈S。
- sa=0。
理解与推导
- 假设存在 R 中的元素 a 和 S 中的元素 s 使得 sa=0。
- 将 a 在 S−1R 中的像写为分数 a/1。
- 将分子和分母同乘 s 得到 sa/s。
- 代入 sa=0 得到 0/s。
- 得出 0/s 是 S−1R 中的零元素，因此 a 映射到 0。
例子
黑板逐步推导了结果：1a=ssa=s0=0，因此在 S−1R 中 a=0。演讲者得出结论“a 必须在新环中被设为零”。
容易误解的地方
- 假设如果 R 中的 a 非零，它在 S−1R 中的像 a/1 也必须非零。
- 认为局部化永远不会使非零元素坍缩。
相关问题
理解原因↗ 朴素条件 r1s2=s1r2 是不够的，因为在一般的交换环中，元素可以被 S 的非零元素湮灭。细化条件要求存在某个 t∈S 使得 t(r1s2−s1r2)=0，这考虑了零因子现象并确保等价关系是良定义的。
适用条件：R 是一般的交换环（不一定是整环）。；S⊂R 是乘法闭的。
认识概念↗ 局部化 S−1R 被定义为形式分数 r/s 的集合，其中分子 r 是交换环 R 的元素，分母 s 是乘法闭子集 S 的元素。
适用条件：R 是一个交换环。；S⊂R 是一个乘法闭子集。；r∈R 且 s∈S。
全分式环是局部化 S−1R，其中乘法闭集 S 由环 R 的所有正则元素组成。正则元素是指那些不是零因子的元素。
适用条件：R 是一个交换环。；S 是 R 的所有正则元素（非零因子）的集合。
环 R 的子集 S 是乘法闭的，如果它在乘法下稳定且包含乘法单位元。具体来说，如果从 S 中取出两个元素，它们的乘积也在 S 中，并且单位元属于 S。
适用条件：S 是交换环 R 的子集。；S 中元素的乘积仍在 S 中。；乘法单位元 1 属于 S。
理解原因↗ 局部化被认为是推广，因为它将类似分数的元素引入一般的交换环中，而分式域的构造仅适用于整环。当 R 是整环且 S 被选择为 R 的非零元素集合时，局部化 S−1R 恢复了熟悉的分式域。
适用条件：R 是一个交换环。；在特殊情况下，R 是一个整环且 S 是 R 的非零元素集合。
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