← 全部问题交换环 R 在乘法闭集 S 处的局部化 S−1R 的定义是什么？
局部化
S−1R 被定义为形式分数
r/s 的集合，其中分子
r 是交换环
R 的元素，分母
s 是乘法闭子集
S 的元素。
适用条件
- R 是一个交换环。
- S⊂R 是一个乘法闭子集。
- r∈R 且 s∈S。
理解与推导
- 识别交换环 R 和乘法闭子集 S。
- 构造所有分子 r∈R 且分母 s∈S 的形式分数 r/s 的集合。
- 将该分数集合定义为 S−1R。
例子
黑板上显示了集合构造符号 S−1R={r/s∣r∈R,s∈S}，讲师将这些元素描述为分子在 R 中且分母在乘法闭集中的分数。
容易误解的地方
- 假设 S−1R 仅在 R 是整环时才有定义。
- 认为 S−1R 的元素只是对 (r,s) 而没有等价关系（尽管等价关系在视频后面有讨论）。
相关问题
理解原因↗ 朴素条件 r1s2=s1r2 是不够的，因为在一般的交换环中，元素可以被 S 的非零元素湮灭。细化条件要求存在某个 t∈S 使得 t(r1s2−s1r2)=0，这考虑了零因子现象并确保等价关系是良定义的。
适用条件：R 是一般的交换环（不一定是整环）。；S⊂R 是乘法闭的。
全分式环是局部化 S−1R，其中乘法闭集 S 由环 R 的所有正则元素组成。正则元素是指那些不是零因子的元素。
适用条件：R 是一个交换环。；S 是 R 的所有正则元素（非零因子）的集合。
环 R 的子集 S 是乘法闭的，如果它在乘法下稳定且包含乘法单位元。具体来说，如果从 S 中取出两个元素，它们的乘积也在 S 中，并且单位元属于 S。
适用条件：S 是交换环 R 的子集。；S 中元素的乘积仍在 S 中。；乘法单位元 1 属于 S。
理解原因↗ 局部化被认为是推广，因为它将类似分数的元素引入一般的交换环中，而分式域的构造仅适用于整环。当 R 是整环且 S 被选择为 R 的非零元素集合时，局部化 S−1R 恢复了熟悉的分式域。
适用条件：R 是一个交换环。；在特殊情况下，R 是一个整环且 S 是 R 的非零元素集合。
判断用途↗ 如果存在 S 中的元素 s 使得乘积 sa=0，那么 R 中的元素 a 在局部化环 S−1R 中变为零。这是因为分数 a/1 可以被重写为 sa/s，它等于 0/s，因此在 S−1R 中等于 0。
适用条件：R 是一个交换环。；S⊂R 是乘法闭的。；a∈R 且 s∈S。；sa=0。
答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。