p-积分 $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ 何时收敛或发散？

比较判别法判定收敛性或发散性，但不能确定积分的确切值。此外，它不能根据收敛的较小函数证明较大函数收敛，也不能根据发散的较大函数证明较小函数发散。

适用条件：比较判别法应用于反常积分。；涉及的函数在尾部区间上非负。

视频首先将定积分回顾为曲边梯形的面积，通过分割、采样和取黎曼和的极限来构建。然后将相同的逻辑应用于期望积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，将项 $x f(x) dx$ 解释为值 $x$ 与近似概率 $f(x)dx$（小条带的面积）的乘积，从而将期望视为连续加权平均。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是概率密度函数；积分绝对收敛

使用积分是因为连续随机变量可以在区间内取任何值，导致不可数个可能值。求和适用于离散的值集。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是概率密度函数；积分绝对收敛

比较判别法通过用一个更简单的非负函数来界定目标被积函数，从而判定收敛性或发散性。如果在尾部区间上 $0 \le g(x) \le f(x)$，较大积分 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 的收敛性迫使较小积分 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 收敛。

适用条件：函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在尾部区间 $[a, \infty)$ 上非负。；不等式 $0 \le g(x) \le f(x)$ 对所有 $x \ge a$ 成立。；假设涉及的函数在有限区间上可积。

该定义要求绝对收敛，以确保期望是一个良定义的有限实数。如果没有绝对收敛，反常积分可能会发散或依赖于求和/积分的顺序，这意味着期望值将无法唯一定义。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是 X 的概率密度函数；积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$ 绝对收敛