反常积分｜Dr. Trefor Bazett

比较判别法判定收敛性或发散性，但不能确定积分的确切值。此外，它不能根据收敛的较小函数证明较大函数收敛，也不能根据发散的较大函数证明较小函数发散。

适用条件：比较判别法应用于反常积分。；涉及的函数在尾部区间上非负。

对于指数 $p>0$ 的基准 p-积分，$\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $0<p\le1$ 时发散。$p=2$ 的情况为比较判别法提供了一个方便的收敛上界。

适用条件：指数 $p$ 是正实数（$p>0$）。；积分从 $1$ 计算到 $\infty$。

比较判别法通过用一个更简单的非负函数来界定目标被积函数，从而判定收敛性或发散性。如果在尾部区间上 $0 \le g(x) \le f(x)$，较大积分 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 的收敛性迫使较小积分 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 收敛。

适用条件：函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在尾部区间 $[a, \infty)$ 上非负。；不等式 $0 \le g(x) \le f(x)$ 对所有 $x \ge a$ 成立。；假设涉及的函数在有限区间上可积。

为了证明收敛性，将积分分为 $[1,2]$ 和 $[2,\infty)$ 两部分。在 $[1,2]$ 上，被积函数是连续的，因此有限部分是良定义的。

适用条件：积分为 $\int_1^\infty \frac{x-2}{x^3+1}\,dx$。；比较函数为 $\frac{1}{x^2}$。；不等式对 $x \ge 2$ 成立。