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比较判别法如何判定非负函数反常积分的收敛性或发散性？

比较判别法通过用一个更简单的非负函数来界定目标被积函数，从而判定收敛性或发散性。如果在尾部区间上 0≤g(x)≤f(x)0 \le g(x) \le f(x)，较大积分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 的收敛性迫使较小积分 ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx 收敛。反之，较小积分的发散性迫使较大积分发散。

适用条件

  • 函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在尾部区间 [a,∞)[a, \infty) 上非负。
  • 不等式 0≤g(x)≤f(x)0 \le g(x) \le f(x) 对所有 x≥ax \ge a 成立。
  • 假设涉及的函数在有限区间上可积。

理解与推导

  1. 在尾部区间上识别一个从上方界定目标被积函数 g(x)g(x) 的更简单函数 f(x)f(x)。
  2. 验证两个函数在区间 [a,∞)[a, \infty) 上均为非负。
  3. 确定界定积分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 的收敛性或发散性。
  4. 如果 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 收敛，则得出 ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx 也收敛的结论。
  5. 如果 ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx 发散，则得出 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 也发散的结论。

例子

对于尾部上的 0≤g(x)≤f(x)0\le g(x)\le f(x)，在有限区间可积的前提下，∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 的收敛性迫使较小的积分收敛。较小积分的发散性迫使较大的积分发散。

容易误解的地方

  • 假设函数在尾部区间上非负时该测试才有效（注：原文意为假设函数非负时测试才有效，此处纠正为常见误区：假设函数不必非负也能用）。
  • 认为较小积分的收敛性能证明较大积分收敛。
  • 认为较大积分的发散性能证明较小积分发散。

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