在对 $x^{2n}$ 积分后， $(2n+1)!$ 分母从何而来？

$(2n+1)!$ 分母来自于将余弦级数系数中原有的阶乘 $(2n)!$ 与积分幂法则引入的新因子 $2n+1$ 相结合。在代数上，$(2n)! \times (2n+1) = (2n+1)!$。

(2n+1)!

分母来自于将余弦级数系数中原有的阶乘

(2n)!

与积分幂法则引入的新因子

2n+1

相结合。在代数上，

(2n)! \times (2n+1) = (2n+1)!

。

适用条件

从积分后的项开始： $\frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 。
将分母因子分组： $(2n)! \times (2n+1)$ 。
应用阶乘递推关系： $(2n)! \times (2n+1) = (2n+1)!$ 。
将该项重写为 $\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 。
将其识别为正弦幂级数的一般项。

演讲者说分母“二 n 阶乘乘以二 n 加一”可以合并成一个阶乘，“二 n 加一阶乘”。