为什么积分后的余弦级数变成了正弦级数？

积分后的余弦级数变成正弦级数，是因为对余弦级数的偶数次幂项 $x^{2n}$ 进行积分会产生奇数次幂项 $x^{2n+1}$。结合阶乘简化 $(2n)!(2n+1) = (2n+1)!$，得到的级数完全匹配 $\sin x$ 的标准麦克劳林级数。

积分后的余弦级数变成正弦级数，是因为对余弦级数的偶数次幂项

x^{2n}

进行积分会产生奇数次幂项

x^{2n+1}

。结合阶乘简化

(2n)!(2n+1) = (2n+1)!

，得到的级数完全匹配

\sin x

的标准麦克劳林级数。

适用条件

写出余弦级数： $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ 。
逐项积分得到 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 。
使用 $(2n)!(2n+1) = (2n+1)!$ 简化分母，得到 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 。
将此结果与已知的 $\sin x$ 麦克劳林级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 进行比较。
得出积分后的级数正是正弦级数的结论。

演讲者说这个幂级数可以被识别为 x 的正弦幂级数。