为什么矩阵逆行重排问题的答案是选项 (5)？

适用条件

• 原矩阵 $A$ 有逆矩阵 $A^{-1}$。
• 新矩阵 $N$ 是通过将 $A$ 的行置换为 3, 1, 2 形成的。
• 候选矩阵以各种顺序包含 $A^{-1}$ 的元素。

理解与推导

1. 分析 $N$ 相对于 $A$ 的行置换：第 3 行变为第 1 行，第 1 行变为第 2 行，第 2 行变为第 3 行。
2. 确定逆矩阵所需的列置换：$A^{-1}$ 的第 3 列必须变为第 1 列，第 1 列必须变为第 2 列，第 2 列必须变为第 3 列。
3. 检查给定的选项，找出符合此列顺序的选项。
4. 验证所选选项满足单位矩阵的行列配对。

例子

$N$ 的行是 $[g\ h\ i]$, $[a\ b\ c]$, $[d\ e\ f]$。$A^{-1}$ 的列是 $\begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} b' \\ e' \\ h' \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} c' \\ f' \\ i' \end{bmatrix}$。选项 (5) 是 $\begin{bmatrix} c' & a' & b' \\ f' & d' & e' \\ i' & g' & h' \end{bmatrix}$。它的列是 $\begin{bmatrix} c' \\ f' \\ i' \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} b' \\ e' \\ h' \end{bmatrix}$。将 $N$ 的第 1 行与选项 (5) 的第 1 列配对得到 $[g\ h\ i] \cdot \begin{bmatrix} c' \\ f' \\ i' \end{bmatrix} = gc' + hf' + ii' = 1$（来自 $A A^{-1}=I$）。将 $N$ 的第 2 行与第 2 列配对得到 $[a\ b\ c] \cdot \begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix} = aa' + bb' + cc' = 1$。所有配对都与单位矩阵匹配。

容易误解的地方

• 选择包含正确元素但列顺序错误的选项。
• 假设只需要对角线元素为 1，而不检查非对角线元素是否为 0。

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