为什么重建点用帽子符号表示为 $\hat{\mathbf{x}}$ 而不是原始的 $\mathbf{x}$？

在这里展示的 PCA 设置中，数据矩阵 X 的组织方式是其行是数据点，其列是特征。每一行都被视为一个 D 维向量。

适用条件：行对应于数据点。；列对应于特征。；每一行位于 $\mathbb{R}^D$ 中。

符号 $D = 2$ -> D' = 1 意味着将二维数据集降维到一维。它将 PCA 框定为一种方法，用于将数据的二维描述压缩成一维摘要，同时保留最重要的变异方向。

适用条件：显示的示例使用二维数据集。；显示的目标降维是一维。

视频使用椭圆来解释主成分，因为它为数据云提供了一个直观的几何模型。椭圆的主轴被识别为 PCA 想要找到的方向，这些方向称为主成分。

适用条件：数据由椭圆近似。；椭圆在口头上被描述为“基本上是二维高斯分布”。

这意味着原始数据几乎是二维的；数据云极其贴近二维投影平面。将其压平几乎没有代价，因为在被丢弃的维度中几乎没有深度或厚度可失去。

适用条件：数据被投影到较低维的子空间上。；解释的方差是根据主成分的特征值计算的。

垂直距离被定义为原始点到目标平面上任意一点的最小欧几里得距离。在几何上，这个最小值在从点到平面的垂直降落的正交垂足处实现。

适用条件：已选定目标平面 $\mathcal{P}$。；投影垂直于该平面。；距离使用向量范数进行测量。