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单调收敛原理应用于嵌套区间的左端点和右端点序列。左端点序列是单调递增且有上界的，而右端点序列是单调递减且有下界的。

适用条件：区间是嵌套闭区间 $[a_n, b_n]$。；左端点序列 $\{a_n\}$ 是单调递增且有上界的。；右端点序列 $\{b_n\}$ 是单调递减且有下界的。

epsilon-delta 定义要求对于每一个 $\varepsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得足够接近但与原点不同的每个定义域点都给出接近 $A$ 的输出。这意味着对每个附近的定义域点进行统一控制，而不仅仅是检查几条路径。

适用条件：输入是平面中的一个点 $(x,y)$。；极限在 $(x,y) \to (0,0)$ 时评估。；函数在包含原点去心邻域的定义域上有定义。

使用 $n \ge 3$ 时的不等式 $n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}$，误差项 $\frac{9}{n^2-3}$ 的上界为 $\frac{9}{2n^2/3} = \frac{27}{2n^2} = \frac{13.5}{n^2}$。这提供了比 $18/n^2$ 估计更紧的上界，可能导致更小的有效整数截断值 $N$。

适用条件：$n \ge 3$。；误差项是 $\frac{9}{n^2-3}$。；放缩不等式是 $n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}$。

有限动画只能显示有限数量的项和一个特定的容差 $\varepsilon$。然而，柯西条件是一个全称陈述：它必须对*每一个*正 $\varepsilon$ 和某个 $N$ 之后的*每一对*索引都成立。

适用条件：动画显示了有限数量的数列项。；动画使用了特定的、固定的容差 $\varepsilon$。；柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0$ 和 $\forall m, n > N$。

归结原则指出，当且仅当趋近于 $x_0$ 的每一个定义域点列 $x_n$（且 $x_n \neq x_0$）的函数值 $f(x_n)$ 都趋近于 $A$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$。

适用条件：$x_0$ 是定义域的聚点。；数列 $x_n$ 必须由定义域中的点组成。；对所有 $n$，$x_n \neq x_0$。

该数列不收敛于 $L=1$，因为对于任何选定的容差 $\varepsilon$，奇数项始终为 $-1$，与 $1$ 保持固定距离。无论截断索引 $N$ 有多大，总会有后续的奇数项落在以 $1$ 为中心的容差带之外，违反了 $N$ 之后的所有项必须保持在极限 $\varepsilon$ 范围内的要求。

适用条件：数列定义为 $a_n = (-1)^n$。；候选极限为 $L=1$。；容差 $\varepsilon$ 的选择满足 $0 < \varepsilon < 2$（例如 $\varepsilon=0.5$）。

上确界的定义包含两个条件：$L$ 是一个上界，且没有比 $L$ 小的数是上界。如果我们取任意 $\varepsilon > 0$，值 $L - \varepsilon$ 严格小于 $L$。

适用条件：$L$ 是数列值的上确界。；$\varepsilon > 0$ 是任意正数。

单调性确保一旦某项 $a_N$ 超过 $L - \varepsilon$，所有后续项 $a_n$（对于 $n > N$）都大于或等于 $a_N$。由于数列也被 $L$ 从上方界定，这些项满足 $L - \varepsilon < a_n \le L$。

适用条件：数列是单调递增的。；存在一个索引 $N$ 使得 $a_N > L - \varepsilon$。；$L$ 是数列的上界。

从 $a - \varepsilon$ 到 $a + \varepsilon$ 的容差带等价于绝对值不等式 $|a_n - a| < \varepsilon$。距离极限 $a$ 小于 $\varepsilon$ 意味着项 $a_n$ 严格位于围绕 $a$ 的开带内。

适用条件：极限是 $a$。；容差是 $\varepsilon > 0$。；数列项是 $a_n$。

当 $n$ 趋于无穷大时，数列 $\frac{3n^2}{n^2-3}$ 的极限是 3。这是通过观察到当 $n$ 变大时，分母中的常数 $-3$ 与 $n^2$ 相比变得微不足道，因此表达式表现得像 $\frac{3n^2}{n^2} = 3$。

适用条件：数列为 $a_n = \frac{3n^2}{n^2-3}$。；$n \to \infty$。

横轴记录了项的索引 $n$，而纵轴记录了数列项的值。这种设置说明了数列给出的是离散的点，而不是连续的轨迹。

适用条件：可视化对象是一个数列。；坐标轴分别标记为索引和值。

数学理由依赖于单调收敛定理。序列 $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$ 被证明以 $\sqrt{a}$ 为下界（使用 AM-GM 不等式），并且对于 $n \ge 1$ 是单调递减的（假设 $x_1 > \sqrt{a}$）。

适用条件：常数 $a > 0$。；初始猜测 $x_0 > 0$。；序列由 $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$ 定义。