单调有界原理证闭区间套定理

根据单调收敛原理，有界单调序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 分别收敛于极限 $a$ 和 $b$。第 $n$ 个区间的长度为 $L_n = b_n - a_n$。

适用条件：$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是收敛序列，极限分别为 $a$ 和 $b$。；随着 $n \to \infty$，区间长度 $b_n - a_n$ 趋近于 0。

嵌套区间的左右端点极限收敛于同一点，因为随着 $n$ 趋于无穷大，嵌套区间的长度趋于零。由于端点之间的距离消失，它们各自的极限必须相等，从而建立一个唯一的公共点 $\xi$。

适用条件：区间是嵌套闭区间 $[a_n, b_n]$。；区间的长度 $b_n - a_n$ 随着 $n \to \infty$ 趋于零。；端点序列分别收敛于极限 $a$ 和 $b$。

序列 $\{b_n\}$ 必须是单调递减（非增）且有下界的。在嵌套区间的背景下，$b_{n+1} \le b_n$ 源于包含关系 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$，这确保了单调性。

适用条件：区间是嵌套的：$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$。

公共点的唯一性是通过反证法证明的。假设存在另一个不同的点 $\eta$ 被所有区间共享，会导致逻辑冲突，因为区间收缩到单个点 $\xi$，如果 $\eta \neq \xi$，则 $\eta$ 不可能保留在所有区间内。

适用条件：区间是嵌套闭区间 $[a_n, b_n]$。；区间的长度随着 $n \to \infty$ 趋于零。；存在一个属于所有区间的公共点 $\xi$。

单调收敛原理应用于嵌套区间的左端点和右端点序列。左端点序列是单调递增且有上界的，而右端点序列是单调递减且有下界的。

适用条件：区间是嵌套闭区间 $[a_n, b_n]$。；左端点序列 $\{a_n\}$ 是单调递增且有上界的。；右端点序列 $\{b_n\}$ 是单调递减且有下界的。

包含条件 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$ 蕴含了两个不等式：$a_n \le a_{n+1}$ 和 $b_{n+1} \le b_n$。不等式 $a_n \le a_{n+1}$ 意味着左端点序列是非递减的（即单调的）。

适用条件：闭区间序列满足对所有 $n$ 有 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$。