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该可视化表明，当曲线上两点之间的水平距离 $\Delta x$ 缩小趋近于零时，连接这两点的割线会绕固定点旋转，并渐近地与切线对齐。这种动态对齐展示了导数是平均变化率（割线斜率）在区间消失时的极限。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。；$\Delta x$ 代表曲线上两点输入值的差。

该可视化表明，当曲线上两点之间的水平距离 $\Delta x$ 缩小趋近于零时，连接这两点的割线会绕固定点旋转，并渐近地与切线对齐。这种动态对齐展示了导数是平均变化率（割线斜率）在区间消失时的极限。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。；$\Delta x$ 代表曲线上两点输入值的差。

只要内部函数 $h$ 在 $x$ 处可微，且外部函数 $g$ 在 $h(x)$ 处可微，链式法则就成立。如果 $h'(x)=0$，公式 $g'(h(x))h'(x)$ 正确地给出 0。

适用条件：$h$ 在 $x$ 处可微；$g$ 在 $h(x)$ 处可微；不要求 $h'(x) \neq 0$

只要内部函数 $h$ 在 $x$ 处可微，且外部函数 $g$ 在 $h(x)$ 处可微，链式法则就成立。如果 $h'(x)=0$，公式 $g'(h(x))h'(x)$ 正确地给出 0。

适用条件：$h$ 在 $x$ 处可微；$g$ 在 $h(x)$ 处可微；不要求 $h'(x) \neq 0$

方向导数表示当输入沿选定方向发生无穷小偏移时，函数输出的变化率。在几何上，它是曲面与经过该点且平行于方向向量的垂直平面相交所得曲线的切线斜率。

适用条件：函数是二元标量值函数。；方向由输入平面中的一个向量指定。；步长趋于零。

方向导数表示当输入沿选定方向发生无穷小偏移时，函数输出的变化率。在几何上，它是曲面与经过该点且平行于方向向量的垂直平面相交所得曲线的切线斜率。

适用条件：函数是二元标量值函数。；方向由输入平面中的一个向量指定。；步长趋于零。

微积分基本定理通过陈述如下事实来联系累积和变化率：如果 $F'(x) = f(x)$，那么从固定点 $a$ 到 $x$ 的累积面积 $A(x)$ 由 $A(x) = F(x) - F(a)$ 给出。它表明微分和积分是互逆过程：累积函数 $A(x)$ 的导数恢复了被积函数 $f(x)$，而原函数允许计算定积分。

适用条件：函数 $f$ 是连续的。；$F$ 是 $f$ 的原函数（即 $F' = f$）。

微积分基本定理通过陈述如下事实来联系累积和变化率：如果 $F'(x) = f(x)$，那么从固定点 $a$ 到 $x$ 的累积面积 $A(x)$ 由 $A(x) = F(x) - F(a)$ 给出。它表明微分和积分是互逆过程：累积函数 $A(x)$ 的导数恢复了被积函数 $f(x)$，而原函数允许计算定积分。

适用条件：函数 $f$ 是连续的。；$F$ 是 $f$ 的原函数（即 $F' = f$）。

方向导数被定义为瞬时变化率，因此需要无穷小的步长而非有限步长。通过将方向向量 $\mathbf{v}$ 乘以标量 $h$ 并取 $h \to 0$ 的极限，该定义捕捉了沿特定方向的局部斜率。如果仅使用完整的向量 $\mathbf{v}$，则代表有限位移，无法体现导数作为区间趋近于零时的比率的极限本质。

适用条件：函数在该点可微。；方向由向量 v 指定。；h 是趋于 0 的标量。

方向导数被定义为瞬时变化率，因此需要无穷小的步长而非有限步长。通过将方向向量 $\mathbf{v}$ 乘以标量 $h$ 并取 $h \to 0$ 的极限，该定义捕捉了沿特定方向的局部斜率。如果仅使用完整的向量 $\mathbf{v}$，则代表有限位移，无法体现导数作为区间趋近于零时的比率的极限本质。

适用条件：函数在该点可微。；方向由向量 v 指定。；h 是趋于 0 的标量。

方向导数通过将轴对齐的位移替换为由小标量 $h$ 缩放的任意方向向量，从而推广了偏导数的概念。它衡量当 $h$ 趋于零时的无穷小输出变化，将偏导数从坐标轴方向扩展到输入平面内的任意向量方向。

适用条件：函数是二元标量值函数。；偏导数沿坐标轴定义。；方向导数使用任意向量方向。

方向导数通过将轴对齐的位移替换为由小标量 $h$ 缩放的任意方向向量，从而推广了偏导数的概念。它衡量当 $h$ 趋于零时的无穷小输出变化，将偏导数从坐标轴方向扩展到输入平面内的任意向量方向。

适用条件：函数是二元标量值函数。；偏导数沿坐标轴定义。；方向导数使用任意向量方向。

莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 $\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u$，其中 $\epsilon \to 0$。

适用条件：函数是可导的。；内层导数 $du/dx$ 可以为零。；论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。

莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 $\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u$，其中 $\epsilon \to 0$。

适用条件：函数是可导的。；内层导数 $du/dx$ 可以为零。；论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。