方向导数

1. 公式
   观察依据

   在00:05.000处，图板上显示 $f(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   说话人提到一个具有两个输入、单变量实数输出的函数。

f

作为导数讨论示例对象的标量值多变量函数。

双变量函数；本片段中，说话人将关注点限定于单个实数输出。

1. 公式
   观察依据

   在00:05.000处，x 出现在 $f(x,y)$ 中。

2. 图示
   观察依据

   在00:32.000处，横轴标记为 x。

x

f 的第一个输入变量，也是输入平面横轴方向上的坐标。

输入空间中的实坐标。

1. 公式
   观察依据

   在00:05.000处，y 出现在 $f(x,y)$ 中。

2. 图示
   观察依据

   在00:32.000处，纵轴标记为 y。

y

f 的第二个输入变量，也是输入平面纵轴方向上的坐标。

输入空间中的实坐标。

1. 公式
   观察依据

   在00:53.000处，黑板上显示 ∂f/∂$x(1,2)$。

2. 声音
   观察依据

   说话者说的是函数 f 在点（一，二）处对 x 的偏导数。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$

函数 f 关于 x 的偏导数在输入点 (1,2) 处的取值。

在点 (1,2) 处沿 x 方向微扰输入所对应的标量值。

1. 公式
   观察依据

   在01:33.000处，黑板上显示 $\vec{v} = [-1, 2]$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人引入一个向量 v，并说假设它是负一、二。

$\vec{v}$

输入平面中选定的一个方向向量。

一个二维向量；此处明确给出为 [-1, 2]。

1. 公式
   观察依据

   在02:35.000处，黑板上显示 $h\vec{v}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：你会想到沿着该向量乘以 h 所得的方向迈一步。

h

一个极小的标量乘子，用于将方向向量转化为无穷小步长。

在极限讨论中趋近于0的标量。

1. 公式
   观察依据

   $f(x, y) = x$ 的2次方乘以 y

$f(x,y)$

二元标量函数

R 的2次方

1. 公式
   观察依据

   $v = [-1, 2]$

v

分量为 -1 和 2 的特定方向向量

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   $h v = [-h, 2h]$

h

微小的标量步长

R

1. 公式
   观察依据

   $w = [a, b]$

w

分量为抽象符号 a 和 b 的一般方向向量

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   $w = [a, b]$

a, b

一般方向向量 w 的分量

R

1. 公式
   观察依据

   函数 $f(x,y)$ 关于向量 v 的方向导数

∇_v f

f 沿向量 v 方向的方向导数

ℝ^2 → ℝ

1. 公式
   观察依据

   在00:05.000处，黑板上写下 $f(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   从00:05.000到00:32.000，主讲人指出偏导数涉及具有某种多变量输入的函数，选用两个输入变量是因为最简单，并聚焦于单变量的普通实数值输出。

该片段首先确立方向导数的讨论背景：一个具有两个输入变量、一个实数输出的函数。主讲人明确将讨论范围从可能的向量值输出缩小至标量值函数，以保持几何图示的简洁性。

1. 为简化起见，采用两个输入变量。

2. 本片段中，输出被视为单一实数。

3. 虽提及向量值输出，但此处未作展开。

1. 图示
   观察依据

   在00:32.000处，左侧画出一个标有 x 和 y 的坐标平面。

2. 图示
   观察依据

   在00:39.000处，右侧单独画出一条标有 f 的水平直线。

3. 声音
   观察依据

   从00:32.000到00:53.000，主讲人将输入空间描述为 x-y 平面，并指出其输出仅为实数。

该函数被可视化为从输入平面到输出直线的映射。左侧代表定义域坐标 (x,y)，右侧代表标有 f 的标量输出空间。

1. 用作二元标量值函数的几何解释。

1. 多变量标量函数设定

1. 公式
   观察依据

   在00:53.000处，黑板上显示∂f/∂$x(1,2)$。

2. 图示
   观察依据

   在01:07.000处，一根黄色箭头从输入平面中的点(1,2)水平向右指出。

3. 图示
   观察依据

   在01:10.000处，一根黄色箭头出现在输出直线上。

4. 声音
   观察依据

   从00:53.000到01:20.000，讲解者说明沿x方向进行微小扰动，并计算由此产生的输出扰动与原始输入扰动的比值。

5. 声音
   观察依据

   从01:20.000到01:33.000，讲解者将此过程与沿y方向垂直向上移动进行对比。

偏导数以操作性方式呈现：在输入平面中选取一点，沿某一坐标方向作微小位移，再比较输出量由此产生的变化。对∂f/∂x而言，该位移是水平的；对y方向偏导数而言，则是竖直的。

1. 在特定输入点处求值，此处为(1,2)。

2. 该位移沿坐标轴方向进行。

3. 这一思想基于无穷小扰动，而非有限步长。

1. 多变量标量函数设定
2. 输入平面与输出直线的表示法

1. 公式
   观察依据

   在01:33.000处，黑板上写出$\vec{v} = [-1, 2]$。

2. 图示
   观察依据

   在01:51.000处：从点(1,2)向左上方画出一条紫色箭头。

3. 声音
   观察依据

   从01:33.000到01:58.000，主讲人说：‘假设你有一个向量v……负一、二……即在x方向上移动负一，在y方向上再移动二。’

讲座从坐标轴对齐的微小扰动推广到输入平面中任选的一个方向。向量$\vec{v}=[-1,2]$被用作一个非坐标轴方向的具体例子，解释为从基准点向左移动1、向上移动2。

1. 该向量在图示讲解中附着于点(1,2)。

2. 它表示输入空间中的一个方向，尚不等同于那个无穷小的步长本身。

1. 偏导数作为沿坐标轴方向的定向微扰

1. 声音
   观察依据

   从01:58.000到02:02.000，主讲人提问：‘沿该方向施加一个微小扰动，函数本身会发生什么变化？’

2. 声音
   观察依据

   从02:02.000到02:28.000，主讲人强调：真正相关的步长其实是非常非常小的，且在形式上涉及一个趋近于零的极限。

3. 公式
   观察依据

   在02:35.000处，黑板上写出$h\vec{v}$。

4. 声音
   观察依据

   从02:28.000到02:51.000，主讲人说：‘你会想到沿着该向量乘以某个标量h的方向迈出一步，其中h可能代表一个非常非常小的数；而形式上，则是取h趋近于零时的极限。’

5. 声音
   观察依据

   从02:51.000到02:58.000，主讲人总结道：‘当你沿该向量方向施加一个微小扰动时，输出会发生怎样的变化？’

方向导数被引入为偏导数的类比，但适用于任意方向向量。与恰好沿向量 $\vec{v}$ 移动不同，我们考虑一个无穷小步长 $h\vec{v}$，其中 $h\to 0$，并询问输出相对于该微小输入位移的变化情况。

1. 方向由向量 $\vec{v}$ 指定。

2. 实际考虑的位移被一个微小标量 h 缩放。

3. 形式化定义使用当 h 趋近于0时的极限。

4. 本片段介绍概念与设定，并未给出完整公式或具体计算过程。

1. 偏导数作为沿坐标轴方向的定向微扰
2. 引入一个任意的方向向量

1. 声音
   观察依据

   若将各项展开，该向量所受的微小扰动为……负 h，该分量乘以负一，此处为 2h。

2. 公式
   观察依据

   $h v = [-h, 2h]$

方向导数可通过沿某向量方向迈出一小步（即扰动）来理解。对于向量 $v = [-1, 2]$，大小为 h 的一步导致位移为 [-h, 2h]，即 x 方向变化 -h，y 方向变化 +2h。

1. v 是一个方向向量

2. h 是一个微小的标量步长

1. 声音
   观察依据

   顺便提一下，这种记号是将梯度中使用的同一个 ∇ 符号写在下方并附上向量……此外还有大量其他记号……也可用带向量下标的偏导符号

2. 公式
   观察依据

   f 关于 v 的梯度、f 对 v 的偏导数、f 关于 v 的偏导

方向导数有多种记法。主讲人偏爱记作 ∇_v $f(x,y)$，即在倒三角符号 ∇ 下标标注方向向量 v。其他常见记法包括 ∂$f/v$ 和 ∂_v f。

1. 通过扰动定义方向导数

1. 声音
   观察依据

   一个合理的猜测是：我们在 x 方向上取一个负向的步长……再取它的相反数……在 y 方向上取两步……即二倍的 f 对 y 的偏导数

2. 公式
   观察依据

   $f(x,y)$ 沿向量 v 的方向导数 ∇_v $f(x,y)$ 等于负的 ∂f/∂x 加上 2 乘以 ∂f/∂y

要计算给定向量的方向导数，需将每个偏导数乘以方向向量对应分量。对于 $v = [-1, 2]$，即取 -1 倍的 f 对 x 的偏导数，加上 2 倍的 f 对 y 的偏导数。

1. $v = [-1, 2]$

1. 通过扰动定义方向导数
2. ∂$f/x$
3. ∂$f/y$

1. 声音
   观察依据

   假设我们有一个向量 w……记其分量为 a 和 b……那么 f 沿 w 方向的方向导数等于 a 倍的 f 对 x 的偏导数，加上 b 倍的 f 对 y 的偏导数

2. 公式
   观察依据

   ∇_w f 等于 a 乘以 ∂f/∂x 加上 b 乘以 ∂f/∂y

对于一般方向向量 $w = [a, b]$，方向导数等于向量分量与对应偏导数的点积：a * (∂f/∂x) + b * (∂f/∂y)。

1. $w = [a, b]$

1. 由分量计算方向导数
2. w

1. 声音
   观察依据

   有时你会看到这种写法……用梯度来表达……形式更简洁……看起来就像一个点积……即向量 [a, b] 与含偏导数的向量之间的点积

2. 公式
   观察依据

   ∇_w $f = [a, b]$ · [∂f/∂x, ∂f/∂y]

方向导数的一般公式可简洁地表示为方向向量 $w = [a, b]$ 与梯度向量 ∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y] 的点积。该形式更具一般性，且适用于更高维的情形。

1. $w = [a, b]$

2. ∇f 是梯度向量

1. 方向导数的一般公式
2. ∇f

1. 公式
   观察依据

   红色框内：$\nabla_{\vec w} f = a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial f}{\partial y}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人解释道，系数来自向量的分量，而偏导数则来自梯度。

对于标量场$f(x,y)$和方向向量$\vec w=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$，黑板上所示的方向导数是各偏导数的加权和，权重等于$\vec w$的各个分量。

1. $f$是在所示情境下关于两个变量的可微标量场。

2. $\vec w$被视作一个方向向量，其分量为$a,b$。

3. 视频未明确说明$\vec w$是否必须单位化。

1. 二元函数的梯度向量
2. 偏导数作为梯度的分量

1. 公式
   观察依据

   列向量$\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix}$写在$\vec w$旁边。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“这正是梯度，即函数f的梯度。”

$f$的梯度是这样一个向量：其各分量分别为$f$关于每个自变量的偏导数；在二维情形下，它写作由$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$构成的列向量。

1. $f$对其自变量具有偏导数。

2. 所展示的形式适用于二元函数。

1. 偏导数作为梯度的分量

1. 公式
   观察依据

   黑板上同时展示了$\nabla_{\vec w} f = a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial f}{\partial y}$和$\vec w\cdot\nabla f$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出偏导数组成的列向量即为梯度，并称这是教材中常见的紧凑记号。

在所示的双变量情形中，$\nabla_{\vec w} f = a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial f}{\partial y}$ 等价于 $\vec w\cdot\nabla f$ 当 $\vec w=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ 且 $\nabla f=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix}$。

1. $f$是一个关于两个变量的标量场。

2. $\vec w$的分量为$a,b$。

3. 梯度由对应的偏导数构成。

针对所展示的双变量设定。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“如果我们讨论的是具有五维输入的对象……那么梯度将有五个分量，该向量本身也将有五个分量。”

1. 视频仅口头陈述此内容，未在屏幕上写出五维情形的公式。

紧凑记号$\vec w\cdot\nabla f$在更高维空间中依然适用；对于五维输入，方向向量与梯度均具有五个分量。

1. 该函数具有高维输入。

2. 方向导数采用相同的点积结构来表达。

通过一个五维例子加以说明。

1. 声音
   观察依据

   从00:53.000到01:33.000，主讲人将偏导数解释为在 x 和 y 方向上的微小扰动。

2. 声音
   观察依据

   从01:33.000到02:58.000，主讲人推广至任意向量方向，并引入 $h\vec{v}$，其中 $h\to 0$。

3. 图示
   观察依据

   在01:07.000和01:25.000处显示与坐标轴对齐的箭头；在01:51.000处，从同一起点显示一个倾斜的向量。

1. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$$
   解释

   从点 (1,2) 处 x 方向的偏导数开始。

   步骤依据

   该表述直接出现在音频中，并在00:53.000时刻写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{nudge in }x\text{ direction} \Rightarrow \text{output change}$$
   解释

   将偏导数理解为：比较沿 x 方向的微小输入位移与输出直线上相应产生的位移。

   步骤依据

   由00:53.000到01:20.000的口述讲解，辅以位于01:07.000和01:10.000处的黄色箭头。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{nudge in }y\text{ direction} \Rightarrow \text{different output change}$$
   解释

   在 y 方向上重复相同思路，以说明输入微扰的方向会影响结果。

   步骤依据

   由01:20.000到01:33.000的口述对比，辅以位于01:25.000处的红色向上箭头。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\vec{v} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$
   解释

   将坐标方向替换为输入平面中任一方向向量。

   步骤依据

   在01:33.000和01:51.000处通过口头与视觉方式引入。

   视频直接表达
5. 公式

   $$h\vec{v},\quad h\to 0$$
   解释

   不要直接使用整个向量作为步长；而是将其乘以一个极小的标量 h，并取 h 趋近于零时的极限。

   步骤依据

   从02:28.000到02:51.000明确陈述，并在02:35.000处写在黑板上。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\text{directional derivative} = \text{resulting output change for a slight nudge in the direction of }\vec{v}$$
   解释

   得出结论：方向导数衡量的是沿所选方向移动所引起的输出无穷小变化。

   步骤依据

   从02:51.000到02:58.000的总结句。

   视频直接表达

该片段通过将偏导数微扰图示从坐标轴推广至任意向量方向，引出方向导数的概念，其中无穷小步长表示为 $h\vec{v}$，且 h 趋近于0。

1. 声音
   观察依据

   而这实际上正是你计算它的方法。若要进一步推广……

2. 公式
   观察依据

   从 ∇_v f = -∂f/∂$x + 2$∂f/∂y 过渡到 ∇_w $f = a$ ∂f/∂$x + b$ ∂f/∂y

1. 公式

   $$\nabla_{\vec{v}} f(x,y) = -\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   从特定向量 $v = [-1, 2]$ 的计算出发。

   步骤依据

   依据向量 v 的分量作为偏导数的乘子。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\vec{w} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$$
   解释

   引入一个具有一般分量 a 和 b 的向量 w。

   步骤依据

   将结果推广至超出具体数值 -1 和 2 的情形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\nabla_{\vec{w}} f = a \frac{\partial f}{\partial x} + b \frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   将具体分量1和2替换为一般分量 a 和 b。

   步骤依据

   计算的结构保持不变：分量乘以其对应的偏导数。

   视频直接表达

沿任意向量 $w = [a, b]$ 方向的方向导数，由该向量各分量加权的偏导数线性组合给出。

1. 声音
   观察依据

   观察这个表达式，它看起来像一个点积。

2. 公式
   观察依据

   ∇_w $f = [a, b]$ · [∂f/∂x, ∂f/∂y]

1. 公式

   $$\nabla_{\vec{w}} f = a \frac{\partial f}{\partial x} + b \frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   从方向导数的一般代数公式出发。

   步骤依据

   此公式已在前一步推导中确立。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   识别出乘积之和正是两个向量之间点积的定义。

   步骤依据

   第一个向量包含方向的分量，第二个向量包含偏导数（即梯度）。

   视频直接表达

方向导数可通过方向向量与梯度向量的点积来计算。

1. 公式
   观察依据

   黑板上先写出$\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix}$，然后是紧凑形式$\vec w\cdot\nabla f$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐步演示如何将$a,b$与向量对应，将偏导数与梯度对应。

1. 公式

   $$\nabla_{\vec w} f = a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   从红色方框中已写出的方向导数公式出发。

   步骤依据

   直接在黑板上观察得到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix}$$
   解释

   识别出系数$a,b$即为$\vec w$的各个分量，而两个偏导数则构成一个向量的分量。

   步骤依据

   音频指出$a,b$为原始向量，偏导数为梯度。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\vec w\cdot\nabla f$$
   解释

   用$\vec w$替换分量向量，用$\nabla f$替换偏导数向量。

   步骤依据

   $\vec w$的定义及梯度记号。

   视频直接表达

展开的方向导数等价地写作方向向量与梯度的点积。

1. 公式
   观察依据

   在00:53.000处，黑板上显示 ∂f/∂$x(1,2)$。

2. 图示
   观察依据

   在01:01.000处，点(1,2)被标记在输入平面上。

3. 公式
   观察依据

   在01:33.000处，黑板上显示向量 $\vec{v} = [-1, 2]$。

4. 图示
   观察依据

   在01:51.000处，从点(1,2)画出一个紫色向量。

5. 公式
   观察依据

   在02:35.000处，黑板上显示 $h\vec{v}$。

1. 本片段中未计算方向导数的具体数值。

2. 该例题保持概念性；函数 f 的规则仅以符号形式 $f(x,y)$ 给出，未进一步明确。

解释如何在点(1,2)处可视化偏导数，并说明同一思想如何借助向量 $\vec{v}=[-1,2]$ 推广到方向导数。

1. 一个标量函数 $f(x,y)$。

2. 输入平面中的取值点(1,2)。

3. 方向向量 $\vec{v}=[-1,2]$。

4. 一个趋近于0的微小标量乘子 h。

描述所选点与方向下偏导数和方向导数的几何意义。

1. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$$
   解释

   标出点（1,2），并考虑在x方向上的一个微小水平位移。

   步骤依据

   在黑板上00:53.000处展示，并由01:07.000处的黄色向右箭头示意。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{output-line arrow}$$
   解释

   在标记为f的输出线上，显示对应的微小变化。

   步骤依据

   在01:10.000处绘出，并在音频中描述为输出空间中由此产生的微小扰动。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\vec{v} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$
   解释

   通过从点（1,2）出发画一个向量来引入非坐标轴方向，该向量向左移动1、向上移动2。

   步骤依据

   书写于01:33.000处，并在01:51.000处绘出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$h\vec{v}$$
   解释

   将整个向量步长替换为同一方向上的无穷小缩放步长。

   步骤依据

   书写于02:35.000处，并从02:28.000至02:51.000处作口头解释。

   视频直接表达
5. 公式

   $$h\to 0$$
   解释

   取标量步长趋近于零时的极限，以定义方向变化率。

   步骤依据

   从02:14.000至02:51.000处作口头陈述。

   视频直接表达

该示例表明，∂f/∂$x(1,2)$ 对应一个无穷小的水平输入扰动及其引发的输出变化；而方向导数则将此推广至沿向量$\vec{v}$方向的无穷小扰动，即通过$h\vec{v}$实现，其中$h\to 0$。

验证仅通过几何与口头方式进行：黑板始终标出基点（1,2），从该点画出坐标轴对齐方向与倾斜方向，且讲解内容与所绘的输入-输出图景一致。视频片段中未进行代数验证。

1. 公式
   观察依据

   $f(x,y) = x$的2次方乘以y，v = [负1，2]

2. 声音
   观察依据

   负 h，即该分量乘以负一，然后此处为2h……很好猜测……x 方向上的负步长……y 方向上的两步

求函数 $f(x,y) = x^2y$ 沿向量 $v = [-1, 2]$ 方向的方向导数表达式。

1. $f(x, y) = x$ 的2次方乘以 y

2. $v = [-1, 2]$

用偏导数表示 ∇_v f。

1. 公式

   $$h\vec{v} = \begin{bmatrix} -h \\ 2h \end{bmatrix}$$
   解释

   通过将向量 v 缩放 h 倍来计算微小位移向量。

   步骤依据

   向量标量乘法的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\nabla_{\vec{v}} f(x,y) = -\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   将对 x 的偏导数乘以 x 分量（-1），将对 y 的偏导数乘以 y 分量（2），再将二者相加。

   步骤依据

   利用向量分量计算方向导数的方法。

   视频直接表达

负的 f 对 x 的偏导数加上2乘以 f 对 y 的偏导数

当 $a = -1$ 且 $b = 2$ 时，与一般公式一致。

1. 公式
   观察依据

   顶部居中的向量是$\vec v=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$。

2. 公式
   观察依据

   黄色公式显示为$\nabla_{\vec v} f(x,y) = -\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$。

1. 本片段并未在某一点对该表达式进行数值计算。

已知$f(x,y)=x^2y$和$\vec v=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$，请用$\vec v$方向表示方向导数。

1. 对应的式子为：$f(x,y)=x^2y$

2. 对应的式子为：$\vec v=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$

将$\nabla_{\vec v} f(x,y)$用偏导数表示。

1. 公式

   $$\vec v = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$
   解释

   指出方向向量的各个分量。

   步骤依据

   如黑板上所示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\nabla_{\vec v} f(x,y) = (-1)\frac{\partial f}{\partial x} + (2)\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   将$\vec v$的各分量代入一般的方向导数模式中。

   步骤依据

   采用与$\vec w$所示相同的按分量取系数的规则。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\nabla_{\vec v} f(x,y) = -\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   化简系数。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达

对应的式子为：$\nabla_{\vec v} f(x,y) = -\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$

与黑板上写的黄色公式一致。

1. 公式
   观察依据

   红色批注显示$h\vec v = \begin{bmatrix}-h\\2h\end{bmatrix}$，其旁标有$h=0.001$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人描述沿向量做微小扰动，并询问输出如何变化。

1. 该片段并未显式计算$f$的相应变化量或其比值。

解释将方向向量乘以一个微小标量步长的含义。

1. 对应的式子为：$\vec v=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$

2. 对应的式子为：$h=0.001$

写出微小位移向量，并将其与方向导数的概念联系起来。

1. 公式

   $$h\vec v = 0.001\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$
   解释

   用一个微小的正数对方向向量进行缩放。

   步骤依据

   如黑板上所示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$h\vec v = \begin{bmatrix}-h\\2h\end{bmatrix}$$
   解释

   将该标量分配到每个分量中。

   步骤依据

   按分量进行标量乘法。

   视频直接表达

微小位移为$\begin{bmatrix}-h\\2h\end{bmatrix}$，表示沿向量$\vec v$方向的一次微小移动。

这与主讲人所口头描述的“沿该向量方向施加一次微小扰动”完全一致。

1. 图示
   观察依据

   在00:32.000，左侧绘制了一个蓝色坐标平面，其坐标轴分别标记为 x 和 y。

2. 图示
   观察依据

   在00:39.000，右侧绘制了一条独立的水平蓝色直线，并标记为 f。

3. 图示
   观察依据

   在00:44.000，一条弯曲的蓝色箭头连接输入平面与输出直线。

1. x 轴

2. y 轴

3. 输入平面

4. 标记为 f 的输出直线

5. 弯曲的映射箭头

1. 先绘制输入空间。

2. 再添加输出空间。

3. 最后绘制连接箭头，以表示从输入到输出的映射关系。

1. 左侧对象表示双变量输入空间。

2. 右侧对象表示一维输出空间。

该图将函数 f 编码为从平面上一点 (x,y) 到输出直线上一个实数的变换。

1. 图示
   观察依据

   在01:01.000处，输入平面中标记了点 (1,2)。

2. 图示
   观察依据

   在01:07.000处，一条黄色箭头从该点水平向右指出。

3. 图示
   观察依据

   在01:10.000处，输出直线上出现一条黄色箭头。

1. 点 (1,2)

2. 黄色水平输入箭头

3. 黄色输出箭头

1. 在输入平面中选定一个基点。

2. 显示一个向右的输入位移。

3. 输出轴上对应的位移被标出。

1. 输入位移与x轴对齐。

2. 输出位移保持在一维输出轴上。

成对的箭头说明：仅改变x会导致f发生相应变化，这正是该点处∂f/∂x的几何含义。

1. 图示
   观察依据

   在01:25.000处，一根红色箭头从点(1,2)垂直向上指出。

2. 图示
   观察依据

   在01:28.000处，输出轴上出现一根红色箭头。

1. 点(1,2)

2. 红色垂直输入箭头

3. 红色输出箭头

1. 输入微扰的方向由水平变为垂直。

2. 新的输出位移以红色标出。

1. 基准点保持为（1，2）。

2. 输出仍表示在同一水平线上。

这种视觉对比表明，不同的输入方向会导致不同的诱导输出变化，从而区分了对 y 的偏导与对 x 的偏导。

1. 公式
   观察依据

   在01:33.000处，黑板上写出向量 $\vec{v} = [-1, 2]$。

2. 图示
   观察依据

   在01:51.000处，从点（1，2）向左上方画出一个紫色箭头。

1. 公式 $\vec{v} = [-1,2]$

2. 紫色向量箭头

3. 基准点（1，2）

1. 引入了一个新的符号化向量。

2. 从用于计算偏导数的同一基准点出发，画出一个倾斜箭头。

1. 该向量锚定在点（1，2）。

2. 该方向不再与任一坐标轴对齐。

紫色箭头具体呈现了在输入平面中沿任意方向移动这一概念，为方向导数做铺垫。

1. 公式
   观察依据

   在02:35.000处，黑板上写出了$h\vec{v}$。

2. 声音
   观察依据

   从02:28.000到02:51.000，主讲人指出h可能代表一个非常非常小的数，并提及当h趋近于零时的极限。

1. 本片段中，黑板上未完整写出任何显式的极限表达式。

2. 数值示例0.001被口头提及，但根据现有视觉证据，它并未被明确作为黑板上的书写内容确立下来。

1. 符号h

2. 向量$\vec{v}$

3. 乘积$h\vec{v}$

1. 讨论从完整的方向向量转向其缩放版本。

2. 标量h被认定为极小且趋于零。

1. 方向仍为向量〔v〕的方向。

2. 这种构造仍是一种输入空间中的位移，用于推断输出的变化。

写作 h〔v〕表明方向导数关注的是沿向量〔v〕方向的一个无穷小步长，而非该有限向量本身。

1. 图示
   观察依据

   黑色背景，手写方程与图表，使用多种颜色（绿色、紫色、红色、黄色、蓝色）

1. 带向量的坐标系

2. 函数定义 $f(x,y)=x^2y$

3. 向量 v 的定义

4. 缩放后向量 hv 的计算

5. 方向导数记号

6. 一般向量 w 的定义

7. 通用公式

8. 点积表示法

1. 文字随讲解者解说逐步呈现

2. 箭头连接相关概念（例如从输入空间指向输出空间）

3. 颜色用于区分不同的数学对象（向量、标量、算子）。

1. 核心函数 $f(x,y)=x^2y$ 始终清晰可见。

2. 坐标系的初始设定与向量 v 一直保留在屏幕上。

视觉演进过程与逻辑推导过程相呼应：从一个具体的数值例子出发，过渡到一般的代数公式，最终以梯度实现几何解释。

1. 图示
   观察依据

   静态黑板式布局：函数位于左上方，向量位于上方中央及右方，公式横贯中部，紧凑记号添加于右下方。

1. 坐标轴

2. 函数$f(x,y)=x^2y$

3. 向量$\vec v$和$\vec w$

4. 方向导数公式

5. 梯度列向量

6. 紧凑的点积记号

1. 视频片段右下角依次出现新内容：先显示$\vec w$，再显示$\vec w\cdot\nabla f$。

1. 黑板上已有的主要公式和图示在整个视频片段中始终可见。

视觉演进过程着重体现将展开的方向导数重写为紧凑的梯度与方向向量点积形式。

1. 图示
   观察依据

   一条弯曲的蓝色箭头从左上方的向量图指向一条标有$f$的水平线，该水平线上带有红色与黄色箭头。

1. 该片段未完全解释水平线上红/黄箭头的确切语义对应关系。

1. 弯曲的蓝色箭头

2. 标有$f$的水平线

3. 红色箭头

4. 黄色箭头

1. 该箭头在视觉上将输入平面上的运动与输出直线上的变化关联起来。

1. 线条和箭头一旦呈现，便保持静止。

这有助于支撑说话人后续口头阐述的观点：沿某一方向移动，并观察输出如何变化。

1. 动画
   观察依据

   右下角逐步出现新的紫色文字：先是$\vec w$，然后是点号，最后是$\nabla f$。

1. 对应的式子为：$\vec w$

2. 对应的式子为：$\cdot$

3. 对应的式子为：$\nabla f$

1. 紧凑表达式是一部分一部分地构建而成，而非一次性全部出现。

1. 在添加新记法的过程中，周围公式保持不变。

动画突出了从按分量展开的表达式到简洁的点积形式的过渡。

1. 声音
   观察依据

   从02:02.000到02:28.000，说话者指出：你实际上并不把它看作一个很大的步长；你真正想到的是某个非常非常小的量。

2. 声音
   观察依据

   从02:28.000到02:35.000，说话者指出：你并未考虑实际向量本身沿着该方向迈出一步。

有人可能以为方向导数意味着实际沿整个向量〔v〕移动。

该片段强调：向量〔v〕仅提供方向，而实际相关的位移是一个极小的缩放步长 h〔v〕，其中 $h\to 0$。

1. 图示
   观察依据

   在01:07.000和01:25.000处，箭头显示沿 x 和 y 方向的输入扰动。

2. 声音
   观察依据

   从00:53.000到01:33.000，说话者反复用“扰动输入并观察输出变化”来描述偏导数。

有人可能仅把 ∂f/∂x 和 y 方向的偏导数视作公式，却忽略了它们对应于输入空间中特定的坐标方向。

视频将偏导数阐释为方向特定的无穷小变化：x 方向为水平变化，y 方向为竖直变化。

1. 声音
   观察依据

   还有大量其他记号……有些人会直接写成带小下标向量的偏微分符号……但这是我偏爱的记号。

学生可能因在不同教材或讲义中见到不同符号（如 ∇_v、∂/∂v、∂_v）表示同一概念而感到困惑。

主讲人承认存在多种有效记号。关键在于理解：无论采用何种符号，它们均表示函数在某一特定方向上的变化率。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这里……是底部没有小w的倒三角符号。”

有人可能认为普通的梯度符号与方向导数符号是同一个对象。

视频区分了$\nabla_{\vec w} f$（沿方向$\vec w$的方向导数）与$\nabla f$（梯度向量本身）；紧凑公式使用了二者的点积。

1. 声音
   观察依据

   说话人明确以五维输入为例，说明该方法的灵活性。

由于黑板上只展示了$x$和$y$，人们可能推断该方法仅限于两个变量。

说话人指出，点积形式具有普适性；在五维情形下，方向向量与梯度向量都简单地具有五个分量。

1. 声音
   观察依据

   从00:01.000到00:05.000，主讲人指出方向导数将偏导数的概念进行了推广。

2. 声音
   观察依据

   从01:33.000起，主讲人将沿坐标轴的微小扰动替换为任意矢量方向。

方向导数被阐释为偏导数的一种推广：从仅限于坐标轴方向，扩展至任意矢量方向。

1. 公式
   观察依据

   在00:05.000处，先写出 $f(x,y)$，之后才出现任何导数记号。

2. 声音
   观察依据

   从00:05.000到00:53.000，主讲人首先定义函数设定，然后才讨论偏导数。

理解本片段中的偏导数，需先将 f 视为关于两个输入变量的标量函数。

1. 图示
   观察依据

   在00:32.000和00:39.000处，先画出输入平面与输出直线，再画出导数箭头。

2. 图示
   观察依据

   在01:07.000和01:10.000处，偏导数的解释使用了相同的这两个空间。

输入平面/输出直线的表示法，是用于阐释偏导数作用的视觉框架。

1. 公式
   观察依据

   在01:33.000处引入 $\vec{v} = [-1,2]$。

2. 声音
   观察依据

   从01:58.000到02:58.000，主讲人先提问：沿该方向施加一个微小扰动会产生什么效果？随后定义无穷小步长 $h\vec{v}$。

本片段中的方向导数概念，直接建立在先前对输入平面中任意向量方向的介绍基础之上。

1. 公式
   观察依据

   ∇_w f 等于 a 乘以 ∂f/∂x 加上 b 乘以 ∂f/∂y

方向导数的一般公式是通过对函数的偏导数进行构造而得到的。

1. 公式
   观察依据

   w 方向上的梯度 ∇_w f 等于 w 与 ∇f 的点积

方向导数等价于方向向量与梯度向量的点积。

1. 声音
   观察依据

   如果我想更一般化一些……

使用抽象分量 a 和 b 的公式，推广了针对特定向量 [-1, 2] 所示的计算方法。

1. 公式
   观察依据

   $\nabla f$写作由$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$构成的列向量。

梯度由偏导数组装而成。

1. 公式
   观察依据

   在将偏导数向量确认为梯度之后，引入了紧凑记号$\vec w\cdot\nabla f$。

将偏导数向量识别为$\nabla f$，正是实现将方向导数重写为点积的关键。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了含$\vec w=(a,b)$的一般公式和含$\vec v=(-1,2)$的具体公式。

含$\vec v=(-1,2)$的示例是方向导数一般公式的直接代入实例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出该记号在维度上更灵活，并给出了一个五维示例。

点积形式被呈现为能自然推广到高维输入的版本。

1. 声音
   观察依据

   从01:58.000到02:58.000，主讲人通过沿某一向量方向的无穷小扰动来定义方向导数。

1. 方向导数的概念
2. 从坐标方向的偏导数过渡到方向导数

1. 声音
   观察依据

   从00:53.000到01:33.000，偏导数被解释为沿x方向和y方向的扰动。

2. 声音
   观察依据

   从01:33.000到02:58.000，同一思想被推广至任意向量方向。

1. 偏导数作为沿坐标轴方向的定向微扰
2. 方向导数的概念
3. s0-rel-partial-to-directional

1. 声音
   观察依据

   从02:02.000到02:51.000，主讲人指出该步长应非常小，并形式化地使用当h趋近于零时的极限。

2. 公式
   观察依据

   在02:35.000处，黑板上写出$h\vec{v}$。

1. 方向导数的概念
2. 混淆方向向量与实际的无穷小位移

1. 公式
   观察依据

   在00:53.000处，黑板上显示∂f/∂$x(1,2)$。

2. 图示
   观察依据

   在01:07.000处，一条从点(1,2)出发的水平箭头示意x方向的扰动。

1. 偏导数作为沿坐标轴方向的定向微扰
2. 水平方向偏导数的可视化

1. 公式
   观察依据

   在01:33.000处，黑板上写出向量 $\vec{v} = [-1,2]$。

2. 图示
   观察依据

   在01:51.000处，一条紫色箭头从点(1,2)出发，表示该方向。

1. 引入一个任意的方向向量
2. 从基准点出发的倾斜方向向量

1. 声音
   观察依据

   你最终是如何计算它的

1. 由分量计算方向导数
2. 方向导数的一般公式

1. 声音
   观察依据

   以梯度为基准写出的表达式……看起来像一个点积

1. 方向导数作为方向向量与梯度的点积
2. ∇f

1. 声音
   观察依据

   还有大量其他记号

1. 方向导数的记号

1. 公式
   观察依据

   红色方框中的公式为$\nabla_{\vec w} f = a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial f}{\partial y}$。

1. 沿任意向量方向的方向导数

1. 声音
   观察依据

   主讲人将偏导数向量识别为梯度，并写出$\vec w\cdot\nabla f$。

1. 方向导数可表示为与梯度的点积
2. 二元函数的梯度向量

1. 声音
   观察依据

   主讲人将$\nabla_{\vec w} f$与$\nabla f$进行了对比。

1. 沿任意向量方向的方向导数
2. 二元函数的梯度向量

1. 公式
   观察依据

   黄色公式表示$\vec v=(-1,2)$。

1. 沿特定方向$\vec v=(-1,2)$的方向导数