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归纳假设是在归纳步骤中做出的临时假设，即命题 $P(k)$ 对任意整数 k 成立。它被用作推导 $P(k+1)$ 为真的前提。

适用条件：用于归纳步骤的证明中。；假设对于固定的任意 k，$P(k)$ 为真。；用于证明 $P(k+1)$。

归纳假设是在归纳步骤中做出的临时假设，即命题 $P(k)$ 对任意整数 k 成立。它被用作推导 $P(k+1)$ 为真的前提。

适用条件：用于归纳步骤的证明中。；假设对于固定的任意 k，$P(k)$ 为真。；用于证明 $P(k+1)$。

该证明使用数学归纳法。首先，通过检查 $a_1=1 \ge \frac{1}{2}$ 来验证基础情况。

适用条件：数列由 $n \ge 1$ 时的 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 定义。；初始值为 $a_1=1$。；目标是证明对于所有 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。

该证明使用数学归纳法。首先，通过检查 $a_1=1 \ge \frac{1}{2}$ 来验证基础情况。

适用条件：数列由 $n \ge 1$ 时的 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 定义。；初始值为 $a_1=1$。；目标是证明对于所有 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。

这两个条件是：1) 基础步骤，验证命题陈述 $P(1)$ 在初始值 $n=1$ 时为真。2) 归纳步骤，证明如果该陈述对任意整数 k 成立（$P(k)$），那么它对 $k+1$ 也必然成立（$P(k+1)$）。

适用条件：陈述是由自然数索引的命题 $P(n)$。；基础步骤通常在 $n=1$ 处检查。；归纳步骤假设 $P(k)$ 为真以证明 $P(k+1)$。

这两个条件是：1) 基础步骤，验证命题陈述 $P(1)$ 在初始值 $n=1$ 时为真。2) 归纳步骤，证明如果该陈述对任意整数 k 成立（$P(k)$），那么它对 $k+1$ 也必然成立（$P(k+1)$）。

适用条件：陈述是由自然数索引的命题 $P(n)$。；基础步骤通常在 $n=1$ 处检查。；归纳步骤假设 $P(k)$ 为真以证明 $P(k+1)$。

假设 $P(k)$ 为真：$2 + 4$ + ... + $2k = k(k+1)$。为了证明 $P(k+1)$，将左边写为直到 2k 的和加上下一项 $2(k+1)$。

适用条件：归纳假设：$P(k)$ 为真。；目标：证明 $P(k+1)$ 为真。；代数操作涉及提取公因式。

假设 $P(k)$ 为真：$2 + 4$ + ... + $2k = k(k+1)$。为了证明 $P(k+1)$，将左边写为直到 2k 的和加上下一项 $2(k+1)$。

适用条件：归纳假设：$P(k)$ 为真。；目标：证明 $P(k+1)$ 为真。；代数操作涉及提取公因式。