讲解 ARIMA 模型

1. 公式
   观察依据

   白噪声方程写作 $y_t = C + ε_t$，其中 $y_t$ 标注为“观测值”。

$y_t$

时刻 t 的观测值。

时间序列观测索引 t。

1. 公式
   观察依据

   白噪声方程中的常数项写作 C，标注为“常数”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该常数是通过数据拟合得到的；在白噪声过程中，它最终等于均值。

C

拟合到数据的常数；在白噪声过程中，它对应于均值。

1. 公式
   观察依据

   白噪声方程中的误差项写作 $ε_t$，标注为“误差”。

2. 公式
   观察依据

   一条箭头从 $ε_t$ 指向表达式 $ε_t = f$(mean, sd)。

$ε_t$

时刻 t 的误差项，描述围绕常数的波动。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $ε_t = f$(mean, sd)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，时刻 t 的误差仅仅是均值与标准差的一个函数。

f(mean, sd)

表示误差项依赖于均值和标准差的函数。

1. 公式
   观察依据

   主讲人向白噪声方程中添加了 + $β y_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称 β 是为引入自回归而添加的系数。

β

在 AR(1) 修正中，乘以一步滞后观测值的系数。

1. 公式
   观察依据

   所添加的自回归项写作 $β y_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将 $y_{t-1}$ 描述为 t 减一时刻的值或观测，即向后回退一个时间步长。

$y_{t-1}$

在 t-1 时刻的滞后观测值，用作 $y_t$ 的预测变量。

1. 公式
   观察依据

   第一个滞后系数随后被标注下标 1，得到 $β_1 y_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出存在两个系数，且这两个系数并不相同。

$β_1$

AR(2) 模型中针对一步滞后的独立系数。

1. 公式
   观察依据

   第二项滞后项写作 $β_2 y_{t-2}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，针对两步滞后拟合了一个独立的系数。

$β_2$

AR(2) 模型中针对两步滞后的独立系数。

1. 公式
   观察依据

   第二个自回归项写作 $β_2 y_{t-2}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人描述了添加一个系数乘以 t 减二时刻的 y 值。

$y_{t-2}$

$t-2$ 时刻的滞后观测值，作为 AR(2) 模型中的一个额外预测变量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在“自回归模型”下方写下“AR1 阶数 1”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称该模型有时被称为 AR1 模型，或一阶模型。

AR1

阶数为1的自回归模型，使用一个滞后项。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，将模型变为 AR2 意味着这是一个阶数为二、包含两个时间滞后的自回归模型。

2. 公式
   观察依据

   该方程通过增加第二项滞后项 $β_2 y_{t-2}$ 得到扩展。

AR2

阶数为2的自回归模型，使用两个滞后项。

1. 公式
   观察依据

   移动平均修正项写作 + $θ ε_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称添加了另一个系数乘以 t 减一时刻的误差。

θ

移动平均模型中乘以前一误差项的系数。

1. 公式
   观察依据

   黑板标题为“白噪声”，并附有方程 $y_t = C + ε_t$。

2. 公式
   观察依据

   标签将 $y_t$ 标注为“观测值”，C 标注为“常数”，$ε_t$ 标注为“误差”。

3. 公式
   观察依据

   一条箭头将 $ε_t$ 连接到 $ε_t = f$(mean, sd)。

4. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：观测值等于一个常数加上一项误差；该常数通过数据拟合得到，并成为白噪声过程中的均值。

白噪声模型被呈现为最简单的基准时间序列模型：时间 t 的观测值等于一个拟合得到的常数加上一项误差项。该常数代表序列的均值水平，而误差则刻画围绕该常数的波动。误差被描述为依赖于均值和标准差。

1. 用作在添加自回归或移动平均结构前的起点。

2. C 是拟合得到的常数或均值。

3. $ε_t$ 是时间 t 的误差项。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，将对白噪声方程进行一个简单的修改，使其融入自回归结构。

2. 公式
   观察依据

   该方程通过添加 + $β y_{t-1}$ 进行修改。

3. 声音
   观察依据

   主讲人指出，前一时刻的取值 $y_{t-1}$ 是当前时刻 $y_t$ 取值的预测因子之一。

4. 公式
   观察依据

   黑板上写下“自回归模型”。

自回归模型是通过在白噪声方程中加入一个滞后期观测值而形成的。在一阶情形下，前一次观测值 $y_{t-1}$ 乘以系数 β 后，作为当前观测值 $y_t$ 的预测因子加入。

1. 从白噪声模型出发。

2. 加入一个滞后期观测值 $y_{t-1}$。

3. β 是一步滞后的系数。

1. 白噪声模型

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“AR1 阶数1”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，AR1 表示阶数为一。

3. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，“一”指的是模型中所包含的滞后期个数，此处即 t 减一。

自回归模型的阶数是指模型中所包含的滞后观测值的个数。AR1模型包含一个滞后项，即 $y_{t-1}$；AR2模型包含两个滞后项，即 $y_{t-1}$ 和 $y_{t-2}$。

1. 阶数统计的是被观测变量 y 的滞后项个数。

2. AR1模型使用一个滞后项。

3. AR2模型使用两个滞后项。

1. 从白噪声出发构建自回归模型

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，要将该模型转化为一个AR模型2, or an autoregressive model with an order of two, they add a coefficient times y at t minus two.

2. 公式
   观察依据

   该方程扩展为包含 + $β_2 y_{t-2}$。

3. 声音
   观察依据

   说话者指出，现在有两个系数，且这两个系数并不相同。

4. 公式
   观察依据

   第一个系数标记为 $β_1$，第二个系数标记为 $β_2$。

5. 声音
   观察依据

   说话者指出，该模型已不再是白噪声过程，而是一个自回归模型。

The AR2 模型通过增加第二个滞后观测值 $y_{t-1}$ 来扩展 AR2 模型。每个滞后项都拥有其自身的系数：$β_1$ 对应 $y_{t-1}$ 且 $β_2$ 对应 $y_{t-2}$。增加更多阶数会添加更多滞后项。

1. 需要两个滞后期的观测值。

2. $β_1$ 和 $β_2$ 是两个独立的系数。

3. 一旦加入自回归滞后期，该模型便不再被视为白噪声过程。

1. 从白噪声出发构建自回归模型
2. 自回归模型的阶数

1. 声音
   观察依据

   讲话者表示，他们将把一个白噪声模型转化为移动平均模型。

2. 公式
   观察依据

   新方程以 $y_t = C + ε_t$ 开始。

3. 声音
   观察依据

   讲话者表示，他们将加入前期时间步误差的影响。

4. 公式
   观察依据

   方程扩展为 $y_t = C + ε_t + θ ε_{t-1}$。

5. 公式
   观察依据

   黑板上写下“移动平均模型”。

移动平均模型从白噪声核心方程出发，并加入前期误差项的影响。在所示的一阶情形中，前期误差 $ε_{t-1}$ 乘以一个系数 θ 后，被加到当前方程中。

1. 从白噪声模型出发。

2. 加入的是滞后期的误差项，而非滞后期的观测值。

3. θ 是前一时刻误差 $ε_{t-1}$ 的系数。

1. 白噪声模型

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释，通过加入前几个时间步的误差信息来构建MA-2模型。

2. 公式
   观察依据

   方程 $y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-1} + \Theta_2 \varepsilon_{t-2}$ 被写在黑板上。

移动平均（MA）模型根据一个常数、当前误差以及过去的误差来预测当前值。模型的阶数对应所包含的过去误差项的个数。

1. 需要事先确定模型的阶数。

2. 对每个滞后误差项使用独立的系数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，自回归与移动平均并非互斥，二者可合并为单一模型。

2. 公式
   观察依据

   在ARMA标题下写出了方程 $y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \beta_1 y_{t-1}$。

1. 所写的公式对移动平均成分和自回归成分均使用了 $y_{t-1}$，这与标准定义相矛盾——标准定义中移动平均成分应使用滞后误差 $\varepsilon_{t-1}$。

ARMA模型将自回归成分与移动平均成分整合进单一方程，用于拟合同时呈现两类相关结构的时间序列数据。

1. 融合了AR模型与MA模型的要素。

1. 移动平均模型

1. 声音
   观察依据

   讲解者引入ARIMA模型，并说明其中的“积分”成分可通过修改方程左侧来拟合趋势。

2. 公式
   观察依据

   在ARIMA标题下写出了方程 $y_t - y_{t-1} = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \beta_1 y_{t-1}$。

1. 所写的公式再次对移动平均成分使用了 $y_{t-1}$，而非 $\varepsilon_{t-1}$。

ARIMA 模型在 ARMA 模型的基础上增加了积分成分，即先对数据作差分以消除趋势，再应用自回归成分和滑动平均成分。

1. 适用于时间序列数据中存在趋势的情形。

2. 通过对等式左侧取差分来修改该侧表达式。

1. 自回归移动平均模型

1. 公式
   观察依据

   白板上手写的 ARIMA 方程为：$y_t - y_{t-1} = c + ε_t + Θ_1 y_{t-1} + Φ_1 y_{t-1}$

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，'I' 代表积分分量，涉及差分运算。

1. 黑板上的手写方程可能存在错误：移动平均项误用了 $y_{t-1}$，而应为 $ε_{t-1}$。

ARIMA（自回归积分滑动平均）模型是 ARMA 模型的扩展，通过引入差分来处理时间序列数据中的趋势。其中 'I' 表示积分分量，它通过对序列取差分来改变拟合所用的数据值。

1. 适用于具有趋势的非平稳时间序列数据。

1. ARMA 模型定义

1. 公式
   观察依据

   白板显示 ARMA 方程：$y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-1} + \Phi_1 y_{t-1} + \Phi_2 y_{t-2}$

ARMA（自回归移动平均）模型结合了自回归部分与移动平均部分，用于拟合时间序列数据。

1. 适用于平稳时间序列数据。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，'I'（差分）的阶数可以大于一，意味着方程左侧的差分操作会回溯到更早的时间点。

差分用于消除时间序列数据中的趋势。差分阶数记为 d，表示差分操作执行的次数；阶数越高，表示对前一次差分结果再做差分。

1. d 可以大于 1。

1. ARIMA 模型定义

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $ε_t = f$(均值, 标准差)。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，t 时刻的误差仅仅是均值和标准差的函数。

在所示的白噪声模型中，t 时刻的误差项被描述为均值和标准差的函数。

1. 正在讨论的模型是白噪声模型 $y_t = C + ε_t$。

针对所展示白噪声模型中的误差项 $ε_t$。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，前一时刻的取值 $y_{t-1}$ 是 t 时刻 y 取值的预测因子之一。

2. 公式
   观察依据

   该方程包含新增项 $β y_{t-1}$。

在 AR1 模型中，前一观测值 $y_{t-1}$ 被用作当前观测值 $y_t$ 的预测因子。

1. 该模型通过添加 $β y_{t-1}$ 从白噪声模型修改而来。

针对所示的一阶自回归模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，其中的‘一’指的是模型中所包含的滞后阶数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“AR1阶数1。”

AR1或AR2中的阶数表示自回归模型中所包含的时间滞后阶数。

1. 该模型是一种基于滞后y值构建的自回归模型。

针对视频片段中讨论的自回归阶数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在，这已不再是一个白噪声过程，而是一个自回归模型。”

2. 公式
   观察依据

   该方程已扩展为包含$β_1 y_{t-1}$和$β_2 y_{t-2}$。

一旦将滞后观测值加入白噪声方程，所得过程便被描述为自回归模型，而非白噪声过程。

1. 该方程包含滞后y项，例如$y_{t-1}$和$y_{t-2}$。

针对添加了自回归项后的修正模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，将加入前几个时间步的误差影响，以构建移动平均模型。

2. 公式
   观察依据

   该方程写作 $y_t = C + ε_t + θ ε_{t-1}$。

通过在白噪声核心方程中加入前几个时间步的误差项影响，可构建移动平均模型。

1. 起始方程为 $y_t = C + ε_t$。

2. 加入一个滞后误差项 $ε_{t-1}$，其系数为 θ。

针对所展示的一阶移动平均示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，将从白噪声方程出发，仅作一项简单修改，以引入自回归。

2. 公式
   观察依据

   黑板上在 $y_t = C + ε_t$ 后添加 + $β y_{t-1}$。

3. 公式
   观察依据

   黑板将该结果标注为“自回归模型”。

1. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t$$
   解释

   从黑板上展示的白噪声模型开始。

   步骤依据

   这是标题“白噪声”下方显示的起始方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t + \beta y_{t-1}$$
   解释

   添加一个系数 β，乘以前一时刻的观测值 $y_{t-1}$。

   步骤依据

   主讲人指出，这一简单修改引入了自回归结构。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Autoregressive model}$$
   解释

   将修改后的方程命名为自回归模型。

   步骤依据

   主讲人表示，该修改构建了一个自回归模型，其中 $y_{t-1}$ 用于预测 $y_t$。

   视频直接表达

白噪声模型通过添加滞后观测项 $β y_{t-1}$ 而成为一个 AR1。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，要将模型转化为 AR2，需添加一个系数乘以 t 减二时刻的 y。

2. 公式
   观察依据

   该方程扩展为 + $β_2 y_{t-2}$。

3. 公式
   观察依据

   第一个系数标注为 $β_1$，第二个系数标注为 $β_2$。

4. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这两个系数并不相同。

1. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t + \beta y_{t-1}$$
   解释

   从黑板上已写出的AR1方程开始。

   步骤依据

   这是经过第一次自回归修正后的模型。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t + \beta y_{t-1} + \beta_2 y_{t-2}$$
   解释

   添加一个包含$y_{t-2}$的二阶滞后观测项。

   步骤依据

   说话者指出，AR2模型具有两个时间滞后。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t + \beta_1 y_{t-1} + \beta_2 y_{t-2}$$
   解释

   将这两个滞后系数分别记为$β_1$和$β_2$。

   步骤依据

   说话者明确指出，这些系数并不相同，且每个滞后都对应一个独立的系数。

   视频直接表达

AR2模型包含两个滞后观测值$y_{t-1}$和$y_{t-2}$，其对应系数分别为$β_1$和$β_2$。

1. 声音
   观察依据

   说话者表示，他们将把白噪声模型转化为移动平均模型。

2. 公式
   观察依据

   新方程以$y_t = C + ε_t$开头。

3. 公式
   观察依据

   添加了项+ $θ ε_{t-1}$。

4. 公式
   观察依据

   黑板将该结果标注为“移动平均模型”。

1. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t$$
   解释

   从核心白噪声方程重新开始。

   步骤依据

   主讲人表示将从源自白噪声的核心方程出发。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_t = C + \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$
   解释

   添加一个系数 θ，乘以前一时刻的误差 $ε_{t-1}$。

   步骤依据

   主讲人指出，通过加入前一时刻误差的影响，构建出移动平均模型。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Moving Average Model}$$
   解释

   将所得方程标记为移动平均模型。

   步骤依据

   黑板在该方程下方写下“移动平均模型”。

   视频直接表达

所展示的移动平均模型，是通过在白噪声方程中加入滞后误差项 $θ ε_{t-1}$ 得到的。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将多个独立方程中的要素合并到同一个方程中。

2. 公式
   观察依据

   讲解者通过将自回归方程与滑动平均方程的各项相加，写出 ARMA 方程。

1. 推导步骤中，讲解者写出了 $\Theta_1 y_{t-1}$ 而非 $\Theta_1 \varepsilon_{t-1}$，这在数学上与滑动平均成分的定义不一致。

1. 公式

   $$y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-1} + \Theta_2 \varepsilon_{t-2}$$
   解释

   从滑动平均模型的一般形式出发。

   步骤依据

   滑动平均模型的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_t = c + \varepsilon_t + \beta_1 y_{t-1} + \beta_2 y_{t-2}$$
   解释

   从自回归模型的一般形式出发。

   步骤依据

   自回归模型的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \beta_1 y_{t-1}$$
   解释

   将常数项、当前误差项和滞后项合并为一个方程，从而构成ARMA模型。

   步骤依据

   讲话者指出，自回归（AR）分量与移动平均（MA）分量可以合并为一个单一模型。

   视频直接表达

ARMA模型通过将自回归分量与移动平均分量合并为单一方程而构成。

1. 声音
   观察依据

   讲话者解释说，差分（积分）分量通过修改方程左侧来使数据趋于平稳。

2. 公式
   观察依据

   讲话者在ARIMA方程左侧写下 $y_t - y_{t-1}$。

1. 公式

   $$y_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \beta_1 y_{t-1}$$
   解释

   从ARMA模型方程出发。

   步骤依据

   ARMA模型的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_t - y_{t-1} = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \beta_1 y_{t-1}$$
   解释

   通过对时间序列取一阶差分来修改方程左侧，以消除趋势。

   步骤依据

   讲话者解释说，差分（积分）分量通过取差分实现对趋势的拟合。

   视频直接表达

ARIMA模型通过在ARMA方程左侧对时间序列取差分来处理趋势而构成。

1. 图示
   观察依据

   黑板显示标题“白噪声”、方程 $y_t = C + ε_t$，并标注“观测值”、“常数”和“误差”，以及一条从 $ε_t$ 指向 $ε_t = f$(mean, sd) 的箭头。

1. 标题“白噪声”

2. 方程 $y_t = C + ε_t$

3. 在 $y_t$ 下方标注“观测值”

4. 在 C 下方标注“常数”

5. 在 $ε_t$ 下方标注“误差”

6. 从 $ε_t$ 指向 $ε_t = f$(mean, sd) 的箭头

1. 此区间内，方程各项均不发生变化。

2. 讲话者在解释现有标签时做出手势。

1. 白噪声方程保持为 $y_t = C + ε_t$。

2. 误差依赖表达式保持为 $ε_t = f$(mean, sd)。

该视觉布局确立了基准模型，此时尚未引入任何自回归或移动平均修正。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在白噪声方程末尾写下 + $β y_{t-1}$。

2. 动画
   观察依据

   主讲人在修改后的方程下方写下“自回归模型”。

1. 原始方程为 $y_t = C + ε_t$

2. 新增项 + $β y_{t-1}$

3. 手写标签“自回归模型”

1. 在方程末尾添加一个新的滞后观测项。

2. 在方程下方写下新的模型名称。

1. 原始项 C 和 $ε_t$ 保持位置不变。

2. 误差依赖表达式 $ε_t = f$(mean, sd) 仍显示在上方。

动画通过添加一个滞后的 y 项，直观展示从白噪声模型到一阶自回归模型的概念转变。

1. 动画
   观察依据

   主讲人写下“AR1”，然后在“自回归模型”下方写下“阶数1”。

1. 文字“AR1”

2. 文字“阶数1”

3. 方程中的项 $β y_{t-1}$

1. 该模型被简称为 AR1。

2. 添加阶数标签“阶数1”。

1. 该方程仍仅包含一个滞后观测项 $y_{t-1}$。

2. 此时系数仍记为 β。

所写的标签将单个滞后项 $y_{t-1}$ 与术语“阶数1”关联起来。

1. 动画
   观察依据

   主讲人向方程中添加 + $β_2 y_{t-2}$。

2. 动画
   观察依据

   主讲人将第一个系数标注为 $β_1$，第二个系数标注为 $β_2$。

3. 动画
   观察依据

   主讲人在“白噪声”标题上画了一个大叉，并圈出“自回归模型”。

1. 项 $β y_{t-1}$

2. 新增项 $β_2 y_{t-2}$

3. β 上的下标1和2

4. 划掉的“白噪声”标题

5. 圈出的“自回归模型”标签

1. 添加了第二个滞后观测项。

2. 两个β系数通过下标加以区分。

3. 原始的“白噪声”标题被划掉。

4. “自回归模型”标签被圈出。

1. 基础结构 $y_t = C + ε_t$ 仍保留在方程中。

2. 误差依赖表达式仍可见。

这些视觉修改强调：添加多个滞后观测项会将模型分类从白噪声变为自回归。

1. 动画
   观察依据

   主讲人写下新的下方方程 $y_t = C + ε_t$。

2. 动画
   观察依据

   主讲人追加 + $θ ε_{t-1}$。

3. 动画
   观察依据

   主讲人在新方程下方写下“移动平均模型”。

1. 新方程：$y_t = C + ε_t$

2. 添加项：+ $θ ε_{t-1}$

3. 标注为“移动平均模型”

1. 从白噪声核心出发，另起一个下方方程。

2. 追加一个滞后误差项。

3. 将新模型标注为移动平均模型。

1. 上方的自回归方程仍保持可见。

2. 常数 C 和当前误差 $ε_t$ 保留在新方程中。

视觉对比表明：移动平均修正使用了先前的误差 $ε_{t-1}$，而自回归修正则使用了先前的观测值 $y_{t-1}$ 和 $y_{t-2}$。

1. 动画
   观察依据

   讲话者在视频中全程于数字白板上书写数学公式。

1. 白板

2. 数字笔

3. 数学方程

1. MA、ARMA 和 ARIMA 模型的方程依次写在白板上。

1. 主讲人始终出现在右上角。

方程书写的视觉演进过程，展示了时间序列模型从简单的移动平均模型到复杂的差分整合模型的层次化发展。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在白板上‘$d=1$’下方写下‘order’。

1. 白板

2. 记号笔

1. 板书上添加了‘阶数’一词。

1. 其余方程保持不变。

这一可视化操作强调：‘d’代表ARIMA模型中差分的阶数。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“哦，只是现在我有了两个系数，它们并不是相同的系数。”

2. 公式
   观察依据

   黑板通过添加下标来区分 $β_1$ 和 $β_2$。

从AR1扩展到AR2时，人们可能假设同一个系数β同时乘以$y_{t-1}$和$y_{t-2}$。

视频明确纠正了这一误解，指出这两个系数并不相同，并分别为两个滞后项写出了独立的系数$β_1$和$β_2$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称该模型不再是一个白噪声过程，而是一个自回归模型。

2. 动画
   观察依据

   演示者划掉了“白噪声”标题，并圈出了“自回归模型”。

在白噪声方程中加入滞后观测值后，该过程仍可能被称作白噪声过程。

视频通过视觉与语言双重方式标示了这一转变：一旦存在自回归滞后项，模型即被描述为自回归模型，而非白噪声。

1. 公式
   观察依据

   主讲人在 ARMA 方程中写下 $\Theta_1 y_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将其称为“移动平均过程”。

在所书写的 ARMA 和 ARIMA 方程中，移动平均成分错误地使用了滞后期的观测值（$y_{t-1}$），而非滞后期的误差项（$\varepsilon_{t-1}$）。

真正的移动平均成分应使用过去的误差项，因此该项应为 $\Theta_1 \varepsilon_{t-1}$，而非 $\Theta_1 y_{t-1}$。

1. 公式
   观察依据

   板书上的手写ARIMA方程为 $y_t - y_{t-1} = c + \varepsilon_t + \Theta_1 y_{t-1} + \Phi_1 y_{t-1}$。

手写ARIMA方程中的移动平均项错误地使用了 $y_{t-1}$，而非滞后的误差项 $\varepsilon_{t-1}$。

在标准ARIMA(p,d,q)模型中，移动平均成分应涉及过去的误差项（$\varepsilon$），而非过去的观测值（y）。右侧的正确形式应为 $c + \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-1} + \Phi_1 (y_{t-1} - y_{t-2})$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们将从白噪声方程出发，对其进行修改以纳入自回归成分。

2. 公式
   观察依据

   AR1方程是通过在$y_t = C + ε_t$右侧添加$β y_{t-1}$而形成的。

自回归模型直接由白噪声模型通过增加一个滞后观测项推导而来。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称，为将模型转化为AR2，他们添加了一个系数乘以t减二时刻的y。

2. 公式
   观察依据

   AR2方程包含AR1滞后项，外加一个额外的$β_2 y_{t-2}$项。

AR2模型通过添加一个带独立系数的二阶滞后观测值，将AR1模型进行了推广。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道，阶数指的是模型中所纳入的滞后项个数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将AR1标注为阶数1，而后续的方程则为AR2包含了两个滞后项。

自回归阶数的定义适用于AR1和AR2，其判定依据是模型中包含多少个滞后的y项。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们将从源自白噪声的核心方程出发，再加入前期误差的影响，从而构建一个移动平均模型。

2. 公式
   观察依据

   移动平均方程起始形式为$y_t = C + ε_t$，随后添加$θ ε_{t-1}$。

所展示的移动平均模型，是从同一白噪声核心方程出发，通过加入一个滞后误差项推导而来。

1. 公式
   观察依据

   自回归方程添加了诸如$y_{t-1}$和$y_{t-2}$这样的滞后观测值。

2. 公式
   观察依据

   移动平均方程添加了一个滞后误差$ε_{t-1}$。

3. 声音
   观察依据

   主讲人对比了添加自回归项与添加前期时间步误差影响这两种做法。

自回归模型使用滞后的观测值作为预测变量，而所展示的移动平均模型则使用滞后的误差项。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，自回归与移动平均并非互斥，二者可以结合使用。

ARMA 模型在其结构中包含了移动平均成分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将 ARIMA 模型介绍为比 ARMA 模型更复杂的进阶模型。

ARIMA 模型通过增加一个差分整合成分，对 ARMA 模型进行推广，以处理趋势。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将差分成分与在右侧增加更多项进行对比，暗示ARIMA是在ARMA基础上构建的。

ARIMA模型通过增加一个积分（差分）成分，推广了ARMA模型，从而可处理具有趋势的非平稳数据。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道，‘I’即积分成分，涉及差分运算。

差分是ARIMA模型积分成分内部所应用的具体数学运算。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在“白噪声”标题下列出了公式 $y_t = C + ε_t$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释了观测值、常数项和误差项。

1. 白噪声模型

1. 公式
   观察依据

   该方程通过添加 $β y_{t-1}$ 进行了修改。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这一修改引入了自回归结构。

1. 白噪声模型
2. 从白噪声出发构建自回归模型
3. 从白噪声推导 AR1模型

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有“AR1 阶数为1”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说明，其中的‘一’指的是模型中所包含的滞后阶数。

1. 自回归模型的阶数

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这两个系数并不相同。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将系数标记为 $β_1$ 和 $β_2$。

1. AR2模型
2. 假设所有自回归滞后系数都相同

1. 公式
   观察依据

   自回归模型使用滞后的 y 项，而移动平均模型使用 $θ ε_{t-1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过加入先前时间步的误差影响，引出移动平均模型。

1. 从白噪声出发构建自回归模型
2. 移动平均模型
3. s0-rel-ar-contrasts-ma

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该模型已不再是白噪声过程，而是一个自回归模型。

2. 动画
   观察依据

   “白噪声”标题被划掉，“自回归模型”被圈出。

1. AR2模型
2. 将自回归模型仍视为白噪声
3. 添加自回归滞后项会改变过程类型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人通过加入前若干时间步的误差信息，来构建 MA-2 模型。

1. 移动平均模型

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释如何将自回归与移动平均要素合并为单一方程。

1. 自回归移动平均模型

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释，整合成分通过修改方程左侧，使其适配趋势。

1. 自回归积分滑动平均模型

1. 公式
   观察依据

   板书上展示的ARIMA方程。

1. ARIMA 模型定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人讲解差分阶数。

1. 差分阶数