代数 / 英语

基与维数｜3Blue1Brown

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视频中的要点

01坐标是组合系数
02另一组基
03用矩阵转换坐标

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在新基下表示变换

建议预备知识

向量加法与数乘
矩阵乘法与逆矩阵

概念关联

基与维数讲解
查看关联依据 · 0:32
坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。 Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。要在 Jennifer 的坐标中表示标准坐标下的变换 $A$ ，先用 $P$ 转换坐标，再作用 $A$ ，最后用 $P^{-1}$ 转回，得到 $P^{-1}AP$ 。对逆时针旋转四分之一周的例子，结果为 $\begin{bmatrix}1/3&-2/3\\5/3&-1/3\end{bmatrix}$ 。
基与维数讲解
查看关联依据 · 0:32
坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。 Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。要在 Jennifer 的坐标中表示标准坐标下的变换 $A$ ，先用 $P$ 转换坐标，再作用 $A$ ，最后用 $P^{-1}$ 转回，得到 $P^{-1}AP$ 。对逆时针旋转四分之一周的例子，结果为 $\begin{bmatrix}1/3&-2/3\\5/3&-1/3\end{bmatrix}$ 。

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更换坐标后，向量本身并没有改变。这个可视化讲解从基向量和线性组合出发，说明坐标如何转换，以及同一个线性变换如何在另一组基下表示。

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章节

0:32坐标是组合系数 1:40另一组基 4:40用矩阵转换坐标 7:30反向转换使用逆矩阵 11:05在新基下表示变换

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。

Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。

把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。

反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。

要在 Jennifer 的坐标中表示标准坐标下的变换 $A$ ，先用 $P$ 转换坐标，再作用 $A$ ，最后用 $P^{-1}$ 转回，得到 $P^{-1}AP$ 。对逆时针旋转四分之一周的例子，结果为 $\begin{bmatrix}1/3&-2/3\\5/3&-1/3\end{bmatrix}$ 。

知识卡片

坐标是组合系数

坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。

另一组基

Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。

用矩阵转换坐标

把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。

反向转换使用逆矩阵

反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。

在新基下表示变换

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基与维数讲解定位 0:32
查看关联依据
坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。 Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。要在 Jennifer 的坐标中表示标准坐标下的变换 $A$ ，先用 $P$ 转换坐标，再作用 $A$ ，最后用 $P^{-1}$ 转回，得到 $P^{-1}AP$ 。对逆时针旋转四分之一周的例子，结果为 $\begin{bmatrix}1/3&-2/3\\5/3&-1/3\end{bmatrix}$ 。
基与维数讲解定位 0:32
查看关联依据
坐标 $(3,2)$ 表示 $3\hat{i}+2\hat{j}$ 。一组坐标数必须结合选定的有序基来理解。 Jennifer 采用 $b_1=(2,1)$ 和 $b_2=(-1,1)$ ，它们不必互相垂直。同一个向量 $(3,2)$ 在这组基下的坐标是 $(5/3,1/3)$ ，因为 $(5/3)b_1+(1/3)b_2=(3,2)$ 。把新基向量的标准坐标按列放入 $P=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 。于是 $P(-1,2)^T=(-4,1)^T$ ，把 Jennifer 的坐标转成标准坐标。反方向的转换是 $P^{-1}v$ 。这里 $P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\-1/3&2/3\end{bmatrix}$ ，作用于 $(3,2)^T$ 后得到 $(5/3,1/3)^T$ 。要在 Jennifer 的坐标中表示标准坐标下的变换 $A$ ，先用 $P$ 转换坐标，再作用 $A$ ，最后用 $P^{-1}$ 转回，得到 $P^{-1}AP$ 。对逆时针旋转四分之一周的例子，结果为 $\begin{bmatrix}1/3&-2/3\\5/3&-1/3\end{bmatrix}$ 。