上确界的定义，你们开学了吗？

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学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

0:00在直角坐标系的第一象限内，分布着代表非空数集S的一系列散点。为了寻找这个集合的上界，我们在点的上方画出了三条水平虚线，分别标记为M1、M2和β。从图中可以直观地看出，这三条线所代表的数值均不小于集合S中的任何一个元素，因此M1、M2和β都是该数集的上界。

0:11现在我们将目光聚焦于最下方的一条虚线β。屏幕左侧给出了它的数学定义式：∀$x\in S$, $x\le β$。这意味着对于集合S中的任意一个元素x，其值都必须小于或等于β。画面中出现了一个黄色的向上箭头，它从下方的某个数据点出发，始终无法越过红色的β虚线，生动地诠释了“上界”这一概念的几何意义。

0:23仅仅作为上界还不够，我们需要证明β的特殊性——它是“最小上界”。此时在β下方出现了一条新的绿色虚线γ（$γ<β$）。根据定义式的第二部分 ∀$γ<β$, ∃$x\in S$, $x>γ$，无论我们把界限压得多么低（只要低于β），集合S中总能找到一个橙色的发光点突破这条新界线跑到上面去。这证明了比β小的数都不能成为上界，从而得出结论：β既是上界又是最小的上界，即β是该数集的上确界。

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