二元运算

1. 公式
   观察依据

   给定规则的左侧写作 $a*b$。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“我们给出一个二元运算 a 星号 b。”

a

二元运算 * 的第一个输入；在第 (i) 小题中为1，在第 (ii) 小题中被替换为 -7。

示例中使用的数值输入

1. 公式
   观察依据

   给定规则的左侧写作 $a*b$。

2. 声音
   观察依据

   说话者在第 (i) 小题中说“b 等于3”，之后在第 (ii) 小题中说“b 现在是4”。

b

二元运算 * 的第二个输入；在第 (i) 小题中为3，在第 (ii) 小题中为4。

示例中使用的数值输入

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 a 和 b 之间的自定义运算符号为 *。

2. 声音
   观察依据

   说话者称其为“二元运算”，并朗读诸如“一星号三”之类的表达式。

*

黑板上所给规则定义的自定义二元运算符号；并非普通乘法。

作用于两个数的二元运算

1. 公式
   观察依据

   演算过程的最后一步结果为 = -7。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“即负七。”

-7

第(i)问中求得的$1*3$的值，随后在第(ii)问中被复用为第一个输入。

示例计算所得的整数结果

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了定义 $a*b = 2a - b^2$，主讲人反复指出第一个数是 a。

2. 声音
   观察依据

   在 01:04-01:10 处，说话人说：“再次强调，第一个数是 a。”

a

自定义二元运算 * 的第一个操作数。

例题中使用的是实数；视频未明确说明其形式定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了定义 $a*b = 2a - b^2$，主讲人反复指出第二个数是 b。

2. 声音
   观察依据

   在 01:04-01:10 处，说话人说：“而第二个数是 b。”

b

自定义二元运算 * 的第二个操作数。

例题中使用的是实数；视频未明确说明其形式定义域。

1. 公式
   观察依据

   左侧标题行写着“若 $a*b = 2a - b^2$”，且全部三处均在两个量之间使用符号 *。

2. 声音
   观察依据

   在整个片段中，说话人在计算诸如 $1*3$、(-7)*4 和 (-8)*(-7) 等表达式时，口头称该运算为“星号”。

*

一个由 $a*b = 2a - b^2$ 定义的自定义二元运算，并非普通乘法。

应用于例题中出现的数对。

1. 公式
   观察依据

   左侧显示（i）$1*3 = -7$；右侧显示$1*3 = 2(1) - (3^2) = 2 - 9 = -7$。

$1*3$

当 $a = 1$、$b = 3$ 时，该自定义运算的值。

第（i）部分中计算的数值表达式。

1. 公式
   观察依据

   左侧显示（ii）($1*3$)*$4 = -30$；右侧显示 (-7)*$4 = 2(-7) - (4^2) = -14 - 16 = -30$。

($1*3$)*4

该自定义运算的嵌套应用：先计算 $1*3$，再将结果与 4 进行运算。

第（ii）部分中计算的数值表达式。

1. 公式
   观察依据

   左侧显示（iii）(-8)*($1*3$)；右侧将其改写为 (-8)*(-7)，并计算得 -65。

2. 声音
   观察依据

   在 01:54-01:58 处，说话人说：“我们的最终答案是什么？我们的最终答案是负六十五。”

(-8)*($1*3$)

该自定义运算的嵌套应用：先将 $1*3$ 替换为 -7，再计算 (-8)*(-7)。

第（iii）部分中计算的数值表达式。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们定义一个二元运算 a 星号 b，其结果为2乘以 a 减去 b 的2次方。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：若 $a*b = 2a - b^2$。

视频通过规则$a*b = 2a - b^2$定义了一个自定义二元运算。说话人明确指出这是一种二元运算，即它接收两个输入并返回一个输出。在示例中，第一个输入代入$a$，第二个输入代入$b$。

1. 该运算被应用于两个输入。

2. 在所展示的示例中，输入均为数字。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们将以此二元运算为指导，并代入 a 和 b 的具体数值。”

2. 图示
   观察依据

   红色箭头从符号化规则指向第(i)问中的数值输入；之后在第(ii)问中，数字上方分别标注了$a$和$b$。

为求含$*$的表达式的值，视频重写该运算的定义规则，并将具体数值代入$a$和$b$。这一过程首先以$1*3$为例演示，其中$a=1$且$b=3$；随后再次以$-7*4$为例演示，其中$a=-7$且$b=4$。

1. 每次对该运算进行求值时，均使用相同的定义规则。

2. 明确哪个数占据第一输入位置，哪个数占据第二输入位置。

1. 自定义二元运算的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“但若回顾第（i）小题，我们已算出一星三等于负七。因此，我们将括号内的‘一星三’替换为‘负七星四’。”

2. 公式
   观察依据

   左侧第（ii）小题为$(1*3)*4$，其解题过程始于将其重写为$-7*4$。

对于$(1*3)*4$，视频首先计算内层括号$1*3$得到$-7$，再将该括号子表达式替换为该数值，接着继续计算$-7*4$。这展示了如何将嵌套的自定义运算逐步化简为单一的二元运算。

1. 先计算最内层的括号。

2. 在应用外层运算前，先将已完成的子表达式替换为其数值结果。

1. 自定义二元运算的定义
2. 求值运算的代入法

1. 公式
   观察依据

   黑板上持续显示的标题为：“若 $a*b = 2a - b^2$，求值”。

2. 声音
   观察依据

   整个片段包含将该规则应用于三个表达式。

本视频介绍了一种用 * 表示的非常规二元运算，并通过规则 $a*b = 2a - b^2$ 对其进行定义。在每个例子中，数对的第一个数代入 a，第二个数代入 b，然后按算术规则计算结果。

1. * 是一个已定义的运算符号，并非通常的乘法。

2. 对于表达式 $x*y$，将 x 代入 a，y 代入 b。

3. 这些例子均使用整数作为输入。

1. 公式
   观察依据

   每一行演算都直接替换 a 和 b：$1*3$ 变为 $2(1)-(3^2)$，(-7)*4 变为 $2(-7)-(4^2)$，而 (-8)*(-7) 变为 $2(-8)-(-7)^2$。

2. 声音
   观察依据

   在时间点 01:04-01:10，讲解者明确指出：第一个数是 a，第二个数是 b。

要计算任意使用此自定义运算的表达式，需将左操作数识别为 a，右操作数识别为 b，再将其代入表达式 $2a - b^2$ 中。视频在全部三个部分中均采用这一相同方法。

1. 运算顺序至关重要：左操作数为 a，右操作数为 b。

2. 代入负数时需添加括号。

1. 自定义二元运算，定义为 $a*b = 2a - b^2$

1. 公式
   观察依据

   第 (ii) 小题先使用了先前的结果 $1*3 = -7$，再计算 (-7)*4。

2. 公式
   观察依据

   第(iii)小题先将(-8)*($1*3$)重写为(-8)*(-7)，再再次应用该运算法则。

3. 声音
   观察依据

   在00:44-00:53处，说话人说：“如果我们回到第(一)小题的答案，我们得到‘一星三’的结果是负七。因此，我们将括号内的项替换为负七。”

当自定义运算出现在括号内时，必须先计算括号内的表达式，并将其数值结果代入外层运算。该片段在第(ii)和第(iii)小题中均展示了这一点。

1. 含有*的括号内子表达式必须先化简，然后再应用外层的*运算。

2. 先前已算出的结果可以重复使用。

1. 自定义二元运算，定义为 $a*b = 2a - b^2$
2. 将数值代入该运算规则

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们要处理两个数，因为我们使用的是二元运算，而‘二元’即意味着涉及两个对象。”

二元运算需要两个输入。

1. 正在讨论的运算是二元运算。

本课所使用的运算是：

1. 公式
   观察依据

   右侧显示：(i) $a*b = 2a - b^2$，然后 $1*3 = 2(1) - (3^2)$，接着 = 2 x 1 - 3 x 3，再得 = $2 - 9 = -7$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“所以 1 星号 3 等于……a 等于 1，b 等于 3……2 乘以 1 减去 3 的平方……结果是 2 减去 9，即负 7。”

1. 公式

   $$a*b = 2a - b^2$$
   解释

   从自定义运算的定义规则出发。

   步骤依据

   黑板上给出的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1*3 = 2(1) - (3^2)$$
   解释

   将 $a=1$ 和 $b=3$ 代入该规则。

   步骤依据

   直接代入定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= 2 \times 1 - 3 \times 3$$
   解释

   将 $3^2$ 的平方展开为 $3\times 3$。

   步骤依据

   按指数记号进行算术展开。

   视频直接表达
4. 公式

   $$= 2 - 9 = -7$$
   解释

   计算乘积并相减。

   步骤依据

   标准整数运算。

   视频直接表达

$1*3$ 的值为 $-7$。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出 (ii) $(1*3)*4$；右侧演算行以 (ii) -7*$4 = 2(-7) - 4^2$ 开始。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们将括号项‘一星三’替换为‘负七星四’”，接着又说：“原本的 2a 中，现在 a 变为负七，b 变为四。”

1. 在所提供的片段中，未得出第 (ii) 小题的最终数值答案。

1. 公式

   $$(1*3)*4$$
   解释

   从第 (ii) 小题的嵌套表达式开始。

   步骤依据

   黑板上的题目陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-7*4$$
   解释

   将内层括号 $1*3$ 替换为其先前算得的值 $-7$。

   步骤依据

   使用第 (i) 小题的结果。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= 2(-7) - 4^2$$
   解释

   对 $a=-7$ 和 $b=4$ 应用相同的定义规则。

   步骤依据

   代入$a*b = 2a - b^2$。

   视频直接表达

本片段中，$(1*3)*4$被化简为$-7*4$，并重写为$2(-7) - 4^2$；最终的化简步骤未展示。

1. 公式
   观察依据

   右侧显示：(-7)*$4 = 2(-7) - (4^2) = -14 - 16 = -30$。

2. 声音
   观察依据

   从00:00-00:22起，说话人叙述运算过程：2乘以负7，减去4乘以4，得到负14减16，等于负30。

1. 公式

   $$1*3 = -7$$
   解释

   将第(i)小题中已确立的结果作为内层运算的值来使用。

   步骤依据

   黑板上展示的先前已完成的例题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(1*3)*4 = (-7)*4$$
   解释

   将括号内的项$1*3$替换为-7。

   步骤依据

   代入先前计算出的值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(-7)*4 = 2(-7) - (4^2)$$
   解释

   应用自定义运算的定义 $a*b = 2a - b^2$，其中 $a = -7$，$b = 4$。

   步骤依据

   自定义运算的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2(-7) - (4^2) = -14 - 16$$
   解释

   计算 $2(-7) = -14$ 和 $4^2 = 16$。

   步骤依据

   算术求值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-14 - 16 = -30$$
   解释

   合并两个负项。

   步骤依据

   有符号数的加法。

   视频直接表达

对应的式子为：($1*3$)*$4 = -30$。

1. 公式
   观察依据

   右侧显示 (-8)*(-7) = $2(-8) - (-7)^2 = -16 - 49 = -65$。

2. 声音
   观察依据

   从 00:39-01:58 出发，说话人解释将 $1*3$ 替换为 -7，再代入运算规则，得到结果为负六十五。

1. 公式

   $$1*3 = -7$$
   解释

   回顾第(i)部分所得结果。

   步骤依据

   黑板上先前算出的值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-8)*(1*3) = (-8)*(-7)$$
   解释

   将括号内的表达式$1*3$替换为-7。

   步骤依据

   使用内部结果进行代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(-8)*(-7) = 2(-8) - (-7)^2$$
   解释

   应用定义，其中$a = -8$，$b = -7$。

   步骤依据

   自定义运算的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2(-8) - (-7)^2 = -16 - 49$$
   解释

   计算$2(-8) = -16$以及(-7)^$2 = 49$。

   步骤依据

   算术运算，包括对负数进行平方。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-16 - 49 = -65$$
   解释

   合并两个负项。

   步骤依据

   有符号数的加法。

   视频直接表达

对应的式子为：(-8)*($1*3$) = -65。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出（i）$1*3$；右侧将其解出为－7。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们被要求计算1星3”，并得出结论：“结果为负7”。

计算 $1*3$，使用规则 $a*b = 2a - b^2$。

1. 对应的式子为：$a*b = 2a - b^2$

2. 第一个输入是1

3. 第二个输入是3

求$1*3$的数值。

1. 公式

   $$1*3 = 2(1) - (3^2)$$
   解释

   将$a=1$和$b=3$代入定义。

   步骤依据

   自定义二元运算的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= 2 \times 1 - 3 \times 3$$
   解释

   将平方写成重复相乘的形式。

   步骤依据

   算术记号。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= 2 - 9 = -7$$
   解释

   计算乘积并作减法。

   步骤依据

   整数运算。

   视频直接表达

对应的式子为：-7

板书与口述均将最终结果表述为负七。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出 (ii) ($1*3$)*4；右侧将其重写为 -7*$4 = 2(-7) - 4^2$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们将括号内的项‘一星三’替换为‘负七星四’”，随后代入 $a=-7$、$b=4$。

1. 该片段在算术运算完成前即停止，因此部分 (ii) 的最终数值在此处既不可见也不可听闻。

计算 $(1*3)*4$，使用相同规则，但需先求出 $1*3$。

1. 对应的式子为：$a*b = 2a - b^2$

2. 由第(i)小题得，$1*3 = -7$

3. 外层的第二个输入是4

将$(1*3)*4$化简为对该运算的一次应用，并代入规则中。

1. 公式

   $$(1*3)*4$$
   解释

   从嵌套表达式出发。

   步骤依据

   黑板上呈现的问题陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-7*4$$
   解释

   用第(i)小题的结果替换内层括号。

   步骤依据

   代入先前已算出的值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= 2(-7) - 4^2$$
   解释

   将定义规则应用于$a=-7$和$b=4$。

   步骤依据

   直接代入$a*b = 2a - b^2$。

   视频直接表达

视频片段中展示的设定是$2(-7) - 4^2$；本片段内未得出最终化简结果。

可见的演算过程验证了化简与代入，但片段结束前未展示最终的算术运算。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出(i) $1*3 = -7$；右侧显示$1*3 = 2(1) - (3^2) = 2 - 9 = -7$。

利用 $a*b = 2a - b^2$，计算 $1*3$。

1. 定义：$a*b = 2a - b^2$

2. 表达式：$1*3$

求 $1*3$ 的数值。

1. 公式

   $$1*3 = 2(1) - (3^2)$$
   解释

   将 $a = 1$ 和 $b = 3$ 代入定义。

   步骤依据

   直接应用自定义运算规则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2(1) - (3^2) = 2 - 9$$
   解释

   计算乘积与平方。

   步骤依据

   基础算术运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2 - 9 = -7$$
   解释

   相减得到最终结果。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

对应的式子为：-7

黑板在第 (i) 小题旁写出最终结果 -7。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出 (ii) ($1*3$)*$4 = -30$；右侧显示 (-7)*$4 = 2(-7) - (4^2) = -14 - 16 = -30$。

利用 $a*b = 2a - b^2$，计算 ($1*3$)*4

1. 定义：$a*b = 2a - b^2$

2. 由第 (i) 小题得，$1*3 = -7$

3. 表达式：($1*3$)*4

求 ($1*3$)*4 的数值

1. 公式

   $$(1*3)*4 = (-7)*4$$
   解释

   将内层括号内的项替换为已知值 -7

   步骤依据

   代入先前算出的结果

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-7)*4 = 2(-7) - (4^2)$$
   解释

   将 $a = -7$、$b = 4$ 代入定义进行计算

   步骤依据

   自定义运算规则

   视频直接表达
3. 公式

   $$2(-7) - (4^2) = -14 - 16$$
   解释

   计算乘积与平方

   步骤依据

   算术求值。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-14 - 16 = -30$$
   解释

   合并各项。

   步骤依据

   有符号数加法。

   视频直接表达

对应的式子为：-30

黑板在第(ii)小题旁写出最终结果为-30。

1. 公式
   观察依据

   左侧列出第(iii)小题：(-8)*($1*3$)；右侧将其重写为(-8)*(-7)，并计算得-65。

2. 声音
   观察依据

   在01:54-01:58处，说话人指出最终答案为负六十五。

利用$a*b = 2a - b^2$，计算(-8)*($1*3$)。

1. 定义：$a*b = 2a - b^2$

2. 由第(i)小题可知，$1*3 = -7$

3. 表达式：(-8)*($1*3$)

求 (-8)*($1*3$) 的数值。

1. 公式

   $$(-8)*(1*3) = (-8)*(-7)$$
   解释

   将括号内的项 $1*3$ 替换为 -7。

   步骤依据

   使用第 (i) 小题的结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-8)*(-7) = 2(-8) - (-7)^2$$
   解释

   代入定义，其中 $a = -8$，$b = -7$。

   步骤依据

   自定义运算规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2(-8) - (-7)^2 = -16 - 49$$
   解释

   计算 $2(-8)$ 和 (-7)^2。

   步骤依据

   算术运算，包括对负数进行平方。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-16 - 49 = -65$$
   解释

   合并两个负项。

   步骤依据

   有符号数的加法。

   视频直接表达

对应的式子为：-65

黑板在第 (iii) 小题旁写出最终结果 -65。

1. 图示
   观察依据

   白板被一条竖直线分为左右两部分：左侧为问题陈述，右侧为解题过程。

1. 左侧问题栏

2. 右侧解答栏

3. 垂直分隔线

1. 右侧栏随时间逐步呈现手写解答步骤，而左侧栏始终保持问题列表不变。

1. 定义规则及所列的三个部分在整个视频片段中始终保留在左侧可见。

该布局将给定任务与逐步演算过程分开，使代入过程更易于理解。

1. 图示
   观察依据

   红色箭头从符号化规则指向$1*3$中的数字，同时讲解者指出$a=1$和$b=3$。

1. 规则$a*b = 2a - b^2$

2. 表达式$1*3$

3. 红色箭头

1. 箭头似乎将抽象变量与具体数字连接起来。

1. 底层公式保持不变。

视觉标注强调位置替换：第一个数字对应$a$，第二个数字对应$b$。

1. 图示
   观察依据

   在讲解第(ii)部分时，字母$a$和$b$被写在$-7*4$中的数字上方。

1. 表达式$-7*4$

2. 标签$a$和$b$

1. 先前解出的内层结果成为新的第一个输入，且标签被置于数字上方。

1. 仍在应用相同的定义规则。

这一视觉步骤表明：括号化简后，外层表达式再次仅是一个具有第一输入和第二输入的二元运算。

1. 图示
   观察依据

   白板被一条竖直黑线分为左右两部分：左侧列出第 (i)、(ii)、(iii) 小题的题目陈述与最终答案，右侧展示分步演算过程。

1. 左栏显示题目陈述与答案

2. 右栏显示逐步演算过程

3. 垂直分隔线

1. 随着片段推进，右栏逐步补充第(ii)问和第(iii)问的详细计算过程。

2. 左栏填入最终答案：-30 和 -65。

1. 定义式 $a*b = 2a - b^2$ 始终显示在顶部。

2. 所要求的三个表达式始终列于左栏。

该布局将题目陈述与解题过程分开，使代入步骤清晰易追踪。

1. 图示
   观察依据

   在演算示例中，包括 (-8)*(-7) 这一行，操作数上方以红色手写标注字母 a 和 b。

1. 红色字母 a

2. 红色字母 b

3. 蓝色书写出的表达式

1. 这些标签用于标明在每次应用该规则时，哪个数字充当 a，哪个数字充当 b。

1. 第一个位置始终标记为 a，第二个位置标记为 b。

颜色编码在视觉上强化了代入规则 $a*b = 2a - b^2$，以及顺序的重要性。

1. 公式
   观察依据

   板书使用 $*$ 表示自定义规则中的运算 $a*b = 2a - b^2$，而普通乘法则单独写作 $2 \times 1$ 和 $3 \times 3$，出现在演算步骤中。

由于出现了符号$*$，学习者可能将$a*b$视为标准的乘法运算。

此处$*$表示一个由公式$2a-b^2$定义的特殊二元运算；普通乘法在算术步骤中单独处理。

1. 声音
   观察依据

   讲解者强调二元运算是对两个数进行的操作，并在每个例子中指出哪个数是$a$、哪个数是$b$。

2. 公式
   观察依据

   第(ii)问处理 $-7$作为第一个输入，$4$作为第二个输入，代入到$-7*4$。

人们可能认为这两个数可以以任意顺序代入公式中。

视频始终将左操作数指定为$a$、右操作数指定为$b$，因此$-7*4$表示$a=-7$和$b=4$，而非其逆序。

1. 声音
   观察依据

   在 01:04-01:10 处，说话者强调：“再次提醒，第一个数字是 a，第二个数字是 b。”

2. 图示
   观察依据

   红色标签 a 和 b 分别写在演算行中第一个和第二个运算元上方。

人们可能将 $a*b$ 视作普通乘法，从而误以为两个输入的顺序无关紧要。

视频明确地将第一个数字追踪为 a、第二个数字追踪为 b，因为规则 $a*b = 2a - b^2$ 依赖于它们的位置。

1. 声音
   观察依据

   在 00:44-00:53 处，说话者表示他们回到第一部分，并在继续之前将括号内的项替换为负七。

2. 公式
   观察依据

   第 (iii) 部分被重写为 (-8)*(-7)，然后再一次应用该定义。

有人可能试图不先化简括号，就直接将定义应用于 (-8)*($1*3$)。

详细解答首先计算 $1*3 = -7$，然后再计算 (-8)*(-7)。

1. 声音
   观察依据

   讲解者在陈述规则后，说明将代入$a$和$b$的具体数值。

2. 公式
   观察依据

   演算行直接将$a*b = 2a - b^2$转化为$1*3 = 2(1) - (3^2)$。

代入法是将所定义的二元运算实际应用于具体输入的实用方法。

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释道：由于$1*3$已计算完毕，括号内的项可先替换为$-7$，再继续后续运算。

2. 公式
   观察依据

   该解法先将$(1*3)*4$重写为$-7*4$，然后再次应用该规则。

嵌套求值依赖于先对内层表达式进行代入，再将该结果代入外层表达式。

1. 声音
   观察依据

   讲解者在说明为何必须将该表达式视为两个数来处理时指出：“二元意味着某物有两个。”

关于二元运算的论述，支持了为何在每个示例中该规则都应用于一对有序输入。

1. 公式
   观察依据

   每一步演算都从将表达式 $x*y$ 变为 $2x - y^2$ 开始。

代入法是直接按定义的运算规则 $a*b = 2a - b^2$ 进行的程序化操作。

1. 公式
   观察依据

   第 (ii) 问和第 (iii) 问均需先获得内层结果，才能进行外层代入。

嵌套运算依赖于先掌握如何将数值代入该运算规则。

1. 公式
   观察依据

   第 (ii) 问将第 (i) 问中得到的值 -7 作为新的左操作数使用。

($1*3$)*4 的计算依赖于先前得出的结果 $1*3 = -7$。

1. 公式
   观察依据

   第 (iii) 问利用第 (i) 问的结果，将 (-8)*($1*3$) 改写为 (-8)*(-7)。

(-8)*($1*3$) 的计算同样依赖于先前求得的值 $1*3 = -7$。

1. 声音
   观察依据

   开场旁白陈述了给定的二元运算及其公式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：若 $a*b = 2a - b^2$。

1. 自定义二元运算的定义

1. 公式
   观察依据

   第(i)小题的演算过程以 -7 结束。

2. 声音
   观察依据

   讲解者口述了对 $1*3$ 进行代入与算术运算的过程。

1. 自定义二元运算的定义
2. 求值运算的代入法
3. 计算 $1*3$ 的值
4. 例（i）：计算$1*3$

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明将括号项$1*3$替换为$-7$，代入到$(1*3)*4$。

2. 公式
   观察依据

   右侧显示 $(ii)\ -7*4 = 2(-7) - 4^2$。

1. 通过代入内层结果来化简嵌套表达式
2. 为计算 ($1*3$)*4 做准备。
3. 例题 (ii)：列出 ($1*3$)*4

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，“binary”意味着某物有两个。

1. 二元运算需使用两个输入
2. 自定义二元运算的定义

1. 公式
   观察依据

   自定义运算法则使用$*$，而普通乘法在算术行中写作$\times$。

1. 自定义二元运算的定义
2. 切勿将自定义运算符与普通乘法混淆

1. 公式
   观察依据

   黑板标题写明：“若 $a*b = 2a - b^2$”。

1. 自定义二元运算，定义为 $a*b = 2a - b^2$

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出第一个数是 a，第二个数是 b。

1. 将数值代入该运算规则
2. 切勿在自定义二元运算中交换运算元的位置。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将括号内的项 $1*3$ 替换为 -7 后继续推导。

1. 在嵌套运算中，先计算括号内的表达式。
2. 先计算内层括号，再进行外层运算

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 (ii) ($1*3$)*$4 = -30$，右侧附有完整推导过程。

1. 例 (ii)：计算 ($1*3$)*4 的值
2. 第(ii)小题的推导过程：($1*3$)*4

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 (-8)*(-7) = $2(-8) - (-7)^2 = -16 - 49 = -65$。

1. 例题(iii)：计算(-8)*($1*3$)。
2. 第(iii)部分的推导：(-8)*($1*3$)。