二分法 | 数值方法

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们有一个函数，其图像如下所示”，随后提到由输入得到的输出。

2. 图示
   观察依据

   在坐标轴上绘制一条光滑曲线，表示待求根的函数。

f

待求根的非线性函数。

一个实变量的实值函数；视频中未明确说明其定义域。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，根是函数穿过x轴的位置。

2. 图示
   观察依据

   图中画出一条标有“x”的水平轴。

x

所绘函数图像中的自变量／横坐标。

草图中使用的实数；除所选的区间端点外，并未明确给出具体区间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们的第一个x输入值，这里称之为a。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(a) < 0$，随后使用 $f(a) \cdot f(c)$。

3. 图示
   观察依据

   一条垂直虚线标记出区间套的左端点。

a

第一个选定的输入值，作为初始区间的左端点。

函数定义域内的一个实数。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，输入 b 对应的输出应与输入 a 对应的输出互为相反数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(b) > 0$ 和 $f(a) \cdot f(b) < 0$。

3. 图示
   观察依据

   一条垂直虚线标记出括号区间（即有根区间）的右端点。

b

第二个选定的输入值，作为初始区间的右端点。

函数定义域内的一个实数，在图示设定中满足 $a < b$。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们将定义一个新的中间点”，随后使用输入 c。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $c = (a+b)/2$，然后写出 $f(a) \cdot f(c)$。

3. 图示
   观察依据

   在 a 和 b 之间、中点位置添加一条垂直虚线。

c

当前括号区间 [a,b] 的中点。

由 $c = (a+b)/2$ 定义的一个实数，当 $a < b$ 时，c 位于 a 和 b 之间。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(a) < 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明，输入 a 处的输出值可正可负，并在本例中选择了负值情形。

$f(a)$

输入 a 处的函数值（输出）。

一个实数；在所展示的草图中为负数。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(b) > 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，输入 b 处的输出应与输入 a 处的输出互为相反数。

$f(b)$

输入 b 处的函数值（输出）。

一个实数；在所展示的草图中为正数。

1. 公式
   观察依据

   黑板将中点的纵坐标标记为 $f(c)$，随后写出 $f(a) \cdot f(c)$。

2. 图示
   观察依据

   曲线上位于中点水平线之上的某一点被标记为 $f(c)$。

$f(c)$

中点 c 处的函数值（输出）。

一个实数；本片段中设定需检验其符号相对于 $f(a)$ 的正负关系。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(a) \cdot f(b) < 0$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，验证区间跨越的一种方法是将两个输出值相乘。

$f(a) \cdot f(b)$

端点函数值的乘积，用作判断根是否被包围的符号变化检验。

一个实数；所示条件为它小于0。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：$f(a) \cdot f(c)$ 是否小于0？

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，将输入 a 对应的输出与输入 c 对应的输出相乘，并判断该乘积是否小于零。

$f(a) \cdot f(c)$

用于检验根是否位于子区间 [a, c]（其中 c 为中点）内的乘积。

一个实数；视频片段询问它是否小于0，但并未计算其值。

1. 公式
   观察依据

   黑板在乘积检验中反复使用 $f(a)$、$f(b)$ 和 $f(c)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解根所在位置时，旁白提到了自变量取 a、b、c 时的函数输出值。

f

待求根的非线性函数。

一个实变量的实值函数；视频未明确说明其定义域或连续性假设。

1. 公式
   观察依据

   区间区域以端点 a 和 b 标注，屏幕上写出检验式 $f(a)\cdot f(b)<0$。

2. 图示
   观察依据

   在两幅图中，a 均为 x 轴上初始区间的左端点。

a

当前含根区间的左端点。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将本主题介绍为二分法，并指出它用于求解非线性函数的根。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“二分法：一种求解非线性函数及方程组的方法。”

视频将二分法定义为一种通过寻找根来求解非线性函数及非线性方程组的程序。本片段侧重于单变量求根情形，而非完整的方程组求解。

1. 适用于非线性方程或方程组。

2. 本节中，讲解的是单变量非线性函数的解题过程。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，求解非线性函数即为寻找其根，也就是函数图像穿过x轴的位置。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“即：它帮助我们找到根！”

根被描述为函数图像穿过x轴时所对应的x值。该片段通过这一几何定义，说明为何需选取函数值异号的区间端点进行“定界”。

1. 讨论对象是定义在平面上的实值函数。

1. 二分法的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“Step one，我们定义一个区域，即两个x值，使得我们确知其中存在一个根。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“用二分法求根的步骤：”以及“1）定义区间区域”。

3. 图示
   观察依据

   绘出一幅图像，在$x=a$与$x=b$处画出两条竖直虚线，围住曲线中穿过x轴的一段。

第一个操作步骤是选取两个输入值a和b，使其“包围”一个根。视频通过绘制函数曲线，并标出左端点a（满足$f(a)<0$）与右端点b（满足$f(b)>0$），直观展示该区间内存在x轴穿越点。

1. 需要两个x值：a和b。

2. 所选区间必须包含一个根。

3. 该示例在区间端点处取到了符号相反的函数值。

1. 此处‘根’的含义

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，输入 b 对应的输出应与输入 a 对应的输出符号相反，从而确保函数图像穿过了 x 轴。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“若 $f(a) < 0$，则需 $f(b) > 0$，或反之，因为这说明函数图像穿过了 x 轴。”以及“$f(a) \cdot f(b) < 0$”。

3. 图示
   观察依据

   示意图显示：在 a 处曲线位于 x 轴下方，在 b 处曲线位于 x 轴上方。

该片段指出：为确保区间内存在函数图像穿过 x 轴的情形，两个端点处的函数输出必须符号相反。它既用语言描述，也用符号表达为 $f(a)\cdot f(b)<0$，并在展示具体情形 $f(a)<0$ 和 $f(b)>0$ 后给出该式。

1. $f(a)$ 和 $f(b)$ 是区间两个端点处的函数输出值。

2. 在所示示例中，其中一个为正，另一个为负。

3. 视频将此作为验证区间是否包含根的条件。

1. 第1步：定义一个包含根的区间区域

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“现在，step two，我们取前两个输入的中点，并定义一个位于中间的新点。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“2）定义中点。”以及“$c = (a+b)/2$”。

3. 图示
   观察依据

   在 a 和 b 的正中间插入一条新的垂直虚线，并在曲线上标出 $f(c)$。

在用 a 和 b 对根完成定界后，该方法计算区间中点。视频给出公式 $c=(a+b)/2$，并在图像上标出对应的函数值 $f(c)$。

1. 需要预先定义的端点 a 和 b。

2. c 是 a 和 b 的算术平均数。

1. 第1步：定义一个包含根的区间区域

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“现在，我们可以应用之前讨论过的输出乘积检验。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上在先前的乘积条件旁写下“输出乘积检验”，然后写出“$f(a) \cdot f(c)$ 是否小于0？”。

视频将端点符号检验称为“输出乘积检验”。下一步中，它将同样的思路应用于数对 (a,c)，通过判断 $f(a)\cdot f(c)<0$ 是否成立，来决定哪一半区间包含根。

1. 在定义中点 c 后使用。

2. 应用与初始定界检验相同的乘积符号逻辑。

1. 用于确定区间包围根的端点符号相反条件
2. 步骤2：定义中点 c

1. 字幕依据
   观察依据

   标题行显示：“二分法：一种求解非线性函数及方程组的方法。”

2. 字幕依据
   观察依据

   副标题行显示：“即：它帮助我们找到根！”

视频将二分法定义为一种数值方法，用于通过寻找根来求解非线性函数及方程组。本片段中，所演示的详细解释针对单变量函数 $f(x)$，利用区间上的符号变化来定位 $f(x)=0$ 的位置。

1. 可推广应用于一般的非线性方程或方程组。

2. 在所演示的过程中，该函数被视为实值单变量函数。

3. 视频未明确说明连续性，但符号变化的逻辑隐含依赖于函数穿过 x 轴。

1. 字幕依据
   观察依据

   步骤①写作“定义区间范围”。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“若 $f(a) < 0$，我们希望 $f(b) > 0$，反之亦然；因为这说明函数图像在 a 与 b 之间穿过了 x 轴。”

3. 公式
   观察依据

   黑板上还写着：“输出乘积检验：$f(a)\cdot f(b) < 0$。”

4. 图示
   观察依据

   第一幅图展示了一条曲线在 a 与 b 之间穿过 x 轴，且标出了 $f(a) < 0$ 和 $f(b) > 0$。

第一个操作步骤是选取两个端点 a 和 b，使得函数值符号相反。视频将此解释为图像在 a 与 b 之间穿过 x 轴的证据，并用乘积检验 $f(a)\cdot f(b) < 0$ 总结该条件。

1. 在疑似根的附近选取端点 a 和 b。

2. $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号必须相反。

3. 视频将此作为二分法的初始定界条件。

1. 二分法的定义

1. 字幕依据
   观察依据

   步骤 ② 写为：“定义中点，并确定根所在的方向。”

2. 公式
   观察依据

   黑板提问：“$f(a)\cdot f(c)$ 是否小于 0？”随后写道：“若是，则我们的根位于中点 c 的左侧！”

3. 公式
   观察依据

   黑板写道：“否则，若 $f(c)\cdot f(b) < 0$，则根位于中点 c 的右侧！”

4. 声音
   观察依据

   讲解员说明：若 a 与 c 处的函数值乘积为正，则根不在该区间内；否则，乘积小于零的那一侧即指示了根所在的方向。

5. 图示
   观察依据

   第二张图标出a与b之间的中点c，并标注$f(c)$。

在将根括定之后，该方法定义a与b之间的中点c。视频接着通过检验$f(a)\cdot f(c)$和$f(c)\cdot f(b)$的符号进行比较。若$f(a)\cdot f(c)<0$，则称根位于c左侧；若$f(c)\cdot f(b)<0$，则称根位于c右侧。解说还补充说明：若乘积为正，表明两个端点处的函数值同号，因此根不在该子区间内。

1. 必须在当前端点a与b之间定义一个中点c。

2. 判定规则依据每个候选子区间端点处函数值乘积的符号。

3. 视频呈现了所选区间内存在唯一根的判定规则。

1. 步骤 1：定义一个包围根的区间。

1. 字幕依据
   观察依据

   步骤③写作：‘重复前述步骤，直至达到可接受的误差水平。’

2. 声音
   观察依据

   解说员指出，需持续将输入范围对半分割，判断哪一侧的输出小于零，并重复该过程，直至达到可接受的误差水平。

3. 公式
   观察依据

   黑板上写着：‘误差可通过|input_range1 - input_range2|来度量。’

4. 图示
   观察依据

   误差公式旁的一个简略示意图显示了一个缩窄后的区间，箭头指示剩余范围。

二分过程是迭代的：不断将当前区间对半分割，并重新应用符号乘积检验，直至剩余区间足够小。视频以当前输入区间的宽度来度量误差，即写为当前范围两个端点之差的绝对值。

1. 重复中点计算与符号检验步骤。

2. 当区间宽度达到可接受的误差范围时停止。

3. 视频中展示的误差判据基于当前输入区间的宽度。

1. 步骤2：定义中点，并利用符号乘积选择子区间

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“尽管简单，二分法仍存在一些缺点，就像所有闭式方法非线性求解器一样。”

2. 字幕依据
   观察依据

   黑板在介绍完求解步骤后立即列出“潜在缺点”。

1. “闭式方法”这一短语被口头提及，但本片段中未展开为正式定义。

视频指出二分法属于闭式方法非线性求解器这一类别。该分类被用作讨论其缺点的背景。

1. 该陈述是对该方法的归类，而非定理。

2. 本片段中未给出“闭式方法”的正式定义。

1. 二分法的定义

1. 声音
   观察依据

   说话人说，求解非线性函数即寻找其根，也就是函数穿过 x 轴的位置。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“即，它有助于我们找到根！”

对于视频中所画函数的图像，根是函数穿过x轴时对应的x值。

1. 该函数以平面上的图像形式表示。

2. 讨论的是某个非线性函数的实数根。

针对本例中所考虑的函数。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，选择符号相反的函数输出值，可确保函数穿过了x轴。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“若$f(a) < 0$，则需$f(b) > 0$，或反之，因为这表明我们穿过了x轴。”以及“$f(a) \cdot f(b) < 0$”。

1. 该片段未明确说明f的连续性，尽管所画曲线是连续的。

2. 该陈述被呈现为一条实用的验证规则，而非一条所有前提条件都已明确写出的形式化定理。

若$f(a)$与$f(b)$符号相反，即等价于$f(a)\cdot f(b)<0$，则根据视频的解释，从a到b的区间内存在一个x轴交点。

1. 选取两个输入值 a 和 b。

2. 输出值 $f(a)$ 和 $f(b)$ 符号相反。

3. 该函数在示意图中被描绘为一条连续曲线。

在图示示例中，所选的端点对为 a 和 b。

1. 声音
   观察依据

   说话者称，中点通过将输入 a 与 b 相加后除以二得到。

2. 公式
   观察依据

   黑板上书写："$c = (a+b)/2$"。

二分法步骤中所用的中点为 $c=(a+b)/2$。

1. 端点 a 和 b 已经被定义。

针对当前正在考虑的区间 [a,b]。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写道：“若 $f(a)<0$，则希望 $f(b)>0$，或反之，因为这表明函数图像穿过了 x 轴。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写道：“输出乘积检验：$f(a)\cdot f(b)<0$。”

3. 图示
   观察依据

   第一张图像显示曲线在 a 和 b 之间穿过 x 轴。

1. 该视频片段并未明确说明函数 f 的连续性，但其视觉推理隐含了端点之间存在穿过 x 轴的情形。

若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反，等价于 $f(a)\cdot f(b)<0$，则图像在 a 和 b 之间穿过了 x 轴，因此该区间内存在一个根。

1. 选取两个端点 a 和 b。

2. 函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$ 有定义。

3. $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号相反。

在所展示的单变量情形下，端点处函数值符号相反意味着该两点之间的区间内存在一个根。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：‘$f(a)\cdot f(c)$ 是否小于0？→ 若是，则我们的根位于中点 c 的左侧！’

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出：若 a 与 c 处函数值的乘积为正，则根不在此区域；否则，乘积小于零的那一侧即指示了根所在的方向。

在定义中点 c 后，若 $f(a)\cdot f(c)<0$，则根位于 c 的左侧。

1. 当前区间 [a,b] 已选定。

2. 已在 a 与 b 之间定义中点 c。

3. 乘积 $f(a)\cdot f(c)$ 为负数。

在所演示的二分步骤中，若左半部分乘积为负，则选择左子区间。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：'否则，若 $f(c)\cdot f(b) <0$，则根位于中点 c 的右侧！'

2. 声音
   观察依据

   哪一侧的乘积小于零，你就知道根位于那一侧。

在定义中点 c 后，若 $f(c)\cdot f(b)<0$，则根位于 c 的右侧。

1. 当前区间 [a,b] 已选定。

2. 已在 a 与 b 之间定义中点 c。

3. 乘积 $f(c)\cdot f(b)$ 为负数。

在所演示的二分步骤中，若右半部分乘积为负，则选择右子区间。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“误差可通过 |input_range1 - input_range2| 来度量”。

2. 声音
   观察依据

   解说员说，误差可通过范围一与范围二之间输入的绝对差来度量，因为根位于该区间内的某处。

1. 该片段未说明这究竟是绝对误差界、容差准则，还是二者兼具；它仅给出了这一度量公式。

二分法中的误差可通过当前输入区间两个端点之间的绝对差来度量。

1. 当前的围隔区间是已知的。

2. 假定根位于该区间内的某处。

在迭代过程中，当前区间所显示的误差度量即为该区间的宽度。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上写着“① 定义初始范围2（即上述的 a 与 b）并不总是容易。”

2. 声音
   观察依据

   解说员说，定义包含根的两个初始范围并不总是容易。

二分法的一个缺点是，定义包含根的两个初始范围并不总是容易。

1. 该方法需要一个已知包含根的初始区间。

这被表述为该方法的一种实际局限性，而非普遍定理。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上写着：② 若你的区间内存在多个根，你将遇到问题。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，单个区间内可能出现两个根，此时会产生问题，因为你无法在存在两个根的情况下收敛到其中某一个根。

3. 图示
   观察依据

   底部有一个小图，显示一条曲线两次穿过x轴，并标注为“双重根！”。

1. 标注“双重根！”在画面上清晰可见，但口述解释描述的是一个区间内有两个根；该片段并未区分重根与两个不同根。

若所选区间内存在不止一个根，则二分法会遇到问题，因为它无法在存在两个根时收敛到某一个特定根。

1. 所选区间包含不止一个根。

这被表述为对包含多个根的区间的局限性。

1. 声音
   观察依据

   说话者依次进行：定义区间范围、选取符号相反的端点、计算中点、再以 c 为新端点之一重复乘积检验。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示如下序列：定义区间范围；$f(a)<0$；$f(b)>0$；$f(a)\cdot f(b)<0$；定义中点；$c=(a+b)/2$；$f(a)\cdot f(c)$ 是否 < 0？

3. 图示
   观察依据

   图像首先在根的附近标出 a 和 b，然后在它们之间插入中点线，并标注 $f(c)$。

1. 视频片段在决定保留哪个子区间之前就停止了，因此本段内推导仅部分完成。

1. 公式

   $$\text{Choose two inputs } a \text{ 且 } b \text{ around the suspected root.}$$
   解释

   该方法首先选取一个被认为包含根的区间区域。

   步骤依据

   音频中直接陈述，并在黑板上写作第1步。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(a) < 0, \quad f(b) > 0$$
   解释

   在示例中，左端点的函数值为负，右端点的函数值为正。

   步骤依据

   在黑板上明确写出，并与所绘制的图像对应。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(a) \cdot f(b) < 0$$
   解释

   由于端点函数值符号相反，其乘积为负；视频将此作为验证区间穿过 x 轴的条件。

   步骤依据

   明确写出并口头解释为函数值乘积检验。

   视频直接表达
4. 公式

   $$c = \frac{a+b}{2}$$
   解释

   下一步计算当前区间的中点。

   步骤依据

   音频中陈述，并在黑板上写作第2步。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f(a) \cdot f(c) \text{ is it } < 0?$$
   解释

   接着对数对 (a,c) 应用相同的乘积符号逻辑，以检验区间哪一半包含根。

   步骤依据

   写在黑板上，并通过口头说明指出这是应用此前讨论过的输出乘积检验法。

   视频直接表达

该片段推导出二分法的前两个操作步骤：先利用端点函数值符号相反来确定根所在的区间，再计算中点，并为在子区间上重复进行符号乘积检验做好准备。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了两个乘积检验式：$f(a)\cdot f(c)<0$ 和 $f(c)\cdot f(b)<0$，并附有对应的左侧/右侧结论。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将乘积为正的情形解释为：根不在该区域内；接着指出，哪一侧的乘积小于零，就表明根位于那一侧。

3. 图示
   观察依据

   第二张图显示 a、c 和 b 沿 x 轴依次排列，并标出了 $f(c)$。

1. 该片段通过图像和口头讲解给出了规则，但并未依据介值定理写出形式化的证明。

1. 公式

   $$f(a)\cdot f(b)<0$$
   解释

   从一个端点函数值异号的区间 [a,b] 出发。

   步骤依据

   这是初始区间定位条件，以输出乘积检验的形式写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$c\in(a,b)$$
   解释

   在 a 和 b 之间引入中点 c。

   步骤依据

   黑板上的步骤②指出需定义中点，图示也将 c 置于 a 和 b 之间。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(a)\cdot f(c)<0 \Rightarrow \text{root left of }c$$
   解释

   若左侧一对数值异号，则保留左子区间。

   步骤依据

   黑板明确写出了这一蕴含关系，讲解也指出：根位于乘积小于零的那一侧。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f(c)\cdot f(b)<0 \Rightarrow \text{root right of }c$$
   解释

   若右侧一对数值异号，则保留右子区间。

   步骤依据

   黑板明确写出了‘否则如果’情形：$f(c)\cdot f(b)<0$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f(a)\cdot f(c)>0 \Rightarrow \text{root not in }[a,c]$$
   解释

   若乘积为正，则两个端点输出同号，因此舍弃该侧。

   步骤依据

   讲解者指出，正值的乘积意味着函数输出同为负值或同为正值，因此根不在该区间内。

   视频直接表达

二分法步骤选取端点函数值符号相反的半区间；等价地说，乘积为负的一侧包含根。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“误差可通过 |input_range1 - input_range2| 来度量”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称根必定位于该区间内的某处，只是尚不能确定具体位置。

3. 图示
   观察依据

   一幅简略示意图展示了一个缩窄后的区间，箭头标出了剩余范围。

1. 该片段并未证明区间宽度可限定中点到根的距离；它仅陈述了这一误差度量方式。

1. 公式

   $$\text{root} \in [\text{input\_range1},\text{input\_range2}]$$
   解释

   经过多次对半分割后，根仍被确定位于当前区间内部某处。

   步骤依据

   讲解者称根必定位于该区间内的某处，只是尚不能确定具体位置。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\left|\text{input\_range1}-\text{input\_range2}\right|$$
   解释

   不确定性由当前区间的宽度来表征。

   步骤依据

   黑板明确指出，该绝对差值可用于度量误差。

   视频直接表达

所显示的误差度量即当前夹逼区间的宽度，反映出区间内根的确切位置仍未知。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设我们有一个这样的函数”，然后在该示意图上逐步讲解步骤1和2。

2. 图示
   观察依据

   整个讲解过程中使用了一个手绘的坐标系，其中一条平滑上升的曲线穿过x轴。

3. 公式
   观察依据

   黑板上的示意图标注了a、b、c，以及$f(a)<0$、$f(b)>0$、$f(a)\cdot f(b)<0$和$c=(a+b)/2$。

1. 未给a、b或c赋予具体数值，因此这是一个符号化/几何化的示例，而非数值计算。

针对一个手绘的非线性函数图像，设置二分法的初始步骤以定位其根。

1. 在x-y平面上绘制了一条函数曲线。

2. 选取一个以a和b为端点的区间。

3. 该示例使用$f(a)<0$和$f(b)>0$。

定义一个包围根的区间，并计算用于下一次二分检验所需的中点。

1. 公式

   $$\text{Draw the function \text{且} mark a candidate interval containing the x-axis crossing.}$$
   解释

   示例从函数的图像草图开始，并标出根附近的两个 x 值。

   步骤依据

   在图中直接标出，并在音频中同步介绍。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(a) < 0, \quad f(b) > 0$$
   解释

   示例中所选的端点被赋予了相反的符号。

   步骤依据

   写在图像旁边的黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(a) \cdot f(b) < 0$$
   解释

   乘积条件验证了该方法所依赖的区间套性质。

   步骤依据

   作为区间有效性的判定规则写在黑板上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$c = \frac{a+b}{2}$$
   解释

   计算区间的中点，用于下一次迭代。

   步骤依据

   写作步骤2，并口头读出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f(a) \cdot f(c) \text{ is it } < 0?$$
   解释

   示例以提出下一个基于中点的符号检验作结。

   步骤依据

   写在视频片段末尾的黑板上。

   视频直接表达

设定得到初始区间 [a,b]，满足 $f(a)\cdot f(b)<0$，且中点 $c=(a+b)/2$；随后进行下一次检验：判断 $f(a)\cdot f(c)<0$ 是否成立。

视频中展示的验证兼具图形与代数两种方式：曲线在 a 与 b 之间穿过 x 轴，且端点函数值的符号满足乘积不等式。

1. 动画
   观察依据

   文字在黑色背景顶部逐字手写呈现。

2. 公式
   观察依据

   标题与定义行出现：“二分法：一种求解非线性函数及方程组的方法。”

1. 黑色背景

2. 手写橙色标题

3. 手写白色定义文字

4. StudySession.ca 标志

1. 首先出现“二分法”字样。

2. 定义句随后书写在下方。

3. 左下角标志持续可见。

1. 背景保持黑色。

2. 尚未出现任何图像。

本开场画面在任何数学构建开始之前，先确立主题。

1. 动画
   观察依据

   在定义下方添加一条青色注释。

2. 公式
   观察依据

   该注释写道：“即：它有助于我们求出根！”

1. 青色手写注释

2. 已有标题与定义

1. 在定义下方新增一行文字。

1. 整体版式保持纯文本形式，不包含图像。

该视觉注释将所命名的方法与求根这一具体目标关联起来。

1. 动画
   观察依据

   在注释下方手写新增一个橙色标题。

2. 公式
   观察依据

   该标题写道：“使用二分法求根的步骤：”

1. 橙色手写标题

2. 先前的定义与根注释

1. 屏幕内容从仅显示定义过渡到程序性小节标题。

1. 此时仍未出现坐标图。

这标志着内容从概念性引入转向分步方法描述。

1. 动画
   观察依据

   先绘制坐标轴和一条曲线，再在区间端点附近添加标签和不等式。

2. 图示
   观察依据

   出现带 x 轴和 y 轴的坐标系，以及一条穿过 x 轴的光滑曲线。

3. 公式
   观察依据

   黑板上添加“1) 定义区间区域”，$f(a)<0$，$f(b)>0$，以及 $f(a)\cdot f(b)<0$。

1. x 轴

2. y 轴

3. 函数曲线

4. 在 a 处的垂直虚线

5. 在 b 处的垂直虚线

6. 标注 $f(a)$＜0 和 $f(b)$＞0

7. 乘积不等式 $f(a)\cdot f(b)$＜0

1. 先绘制坐标轴。

2. 再添加一条穿过 x 轴的曲线。

3. 左端点 a 用虚线标出，并标注负的函数值。

4. 右端点 b 用虚线标出，并标注正的函数值。

5. 将乘积条件作为验证依据写出。

1. 该曲线在此区间内保持不变。

2. 根在视觉上位于 a 与 b 之间。

动画将抽象方法转化为几何图示：选取一个端点函数值异号（即跨过零点）的区间。

1. 动画
   观察依据

   在第一个图像下方添加第二个图像，并在 a 与 b 的正中间插入一条新的虚线。

2. 图示
   观察依据

   下方图像重复显示相同的曲线和区间，且标出中点。

3. 公式
   观察依据

   黑板上书写“2) 定义中点。”，$c=(a+b)/2$，标注 $f(c)$，最后提问：$f(a)\cdot f(c)$ 是否小于 0？

1. 中点线的精确像素位置仅为近似值，但公式清楚表明了其预期位置。

1. 下方重复的图像

2. 中点标记 c

3. 位于 c 处的垂直虚线

4. 标注 $f(c)$

5. 公式 $c=(a+b)/2$

6. 问题：$f(a)\cdot f(c)$ 是否小于 0？

1. 在第一个图像下方放置一个复制的图像。

2. 一条新的垂直虚线出现在 a 和 b 的正中间。

3. 中点标记为 c，并标出其函数值 $f(c)$。

4. 接下来涉及 $f(a)$ 和 $f(c)$ 的乘积检验被写出。

1. 底层曲线及原始端点 a 和 b 保持不变。

2. 在图中，根仍位于 a 和 b 之间。

这一视觉事件展示了二分法的核心操作：将区间对半分割，并准备检验哪一半包含符号变化。

1. 图示
   观察依据

   上方图像显示坐标轴、一条与x轴相交的曲线、在a和b处的两条垂直虚线，以及标注$f(a)<0$和$f(b)>0$。

2. 公式
   观察依据

   旁边文字说明乘积判据：$f(a)\cdot f(b)<0$。

1. x轴

2. y轴

3. 曲线$y=f(x)$

4. x轴上的两点a和b

5. 标注$f(a)<0$和$f(b)>0$

6. 在a和b处的垂直虚线

1. 黑板引入区间端点a和b。

2. 标出$f(a)$和$f(b)$的符号，以表明二者符号相反。

1. 所绘曲线在a与b之间穿过x轴。

2. 区间端点保持有序，a 在左侧，b 在右侧。

图像直观地表明：端点函数值符号相反，意味着在 a 与 b 之间存在一个根。

1. 图示
   观察依据

   下方图像在 a 与 b 之间添加了一个中点 c，并标出 $f(c)$。

2. 公式
   观察依据

   旁边的文本询问 $f(a)\cdot f(c)$ 的符号，随后给出向左或向右的结论。

1. x 轴

2. y 轴

3. 曲线 $y = f(x)$

4. x 轴上的点 a、c 和 b

5. 标注 $f(c)$

6. 在 a、c 和 b 处绘制的垂直虚线

1. 在 a 与 b 之间插入一个新点 c。

2. 黑板上写出测试，比较 $f(a)$ 与 $f(c)$，以及 $f(c)$ 与 $f(b)$。

1. x 轴上保持 $a<c<b$ 的顺序。

2. 使用同一条底层曲线来说明子区间的选择。

第二张图展示了添加中点如何将原区间分割为两个候选子区间，而符号乘积检验则决定哪一侧包含根。

1. 图示
   观察依据

   误差公式附近有一个小示意图，显示一个缩窄后的区间，并用箭头标出剩余范围。

2. 公式
   观察依据

   公式 |input_range1 - input_range2| 写在其旁边。

1. 该小示意图已简化，且未完整标注各点名称。

1. x 轴上的缩窄区间

2. 标出剩余范围的箭头

3. 附近的误差公式

1. 视觉焦点从完整的区间套图转移至更小的区间表示。

2. 误差公式与示意图一同引入。

1. 示意图继续将方程的根表示为位于剩余区间内的某个位置。

示意图强调：对分之后，剩余的不确定性即为当前输入区间的宽度。

1. 图示
   观察依据

   底部有一个小图，显示一条曲线两次穿过x轴，并标有“双重根！”字样。

2. 字幕依据
   观察依据

   该图出现在关于‘区间内存在多个根’这一缺点的说明下方。

1. 标签‘双重根！’可能是非正式表达，意指一个区间内有两个根，而非严格意义上的重数概念。

1. 小型坐标系

2. 曲线两次穿过x轴

3. 标签‘双重根！’

1. 黑板在列出缺点后，补充了一个反例式示意图。

2. 视觉重点从成功实现区间定位，转向当存在多个根时的失效情形。

1. 示意图显示在一个显示范围内存在两个交点。

图示说明了口头警告：若所选区间包含多于一个根，则该方法无法收敛到单一的根。

1. 动画
   观察依据

   白板内容消失，取而代之的是带有‘STUDY SESSION’、‘THE EASIEST WAY TO STUDY’以及循环展示的社交平台链接的品牌化结束画面。

1. STUDY SESSION 标志

2. 文字‘THE EASIEST WAY TO STUDY’

3. 循环切换的社交媒体图标及对应网址

1. 数学白板被一张宣传性质的结束卡片取代。

2. 社交平台链接依次循环显示 Patreon、网站、Teespring、Twitter 和 Instagram。

1. 此时间段内未引入任何新的数学内容。

本片段属于非数学性质的频道品牌宣传与行动号召内容。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“这两个输出的乘积永远不会大于零。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(a)\cdot f(b)<0$。

人们可能认为，在寻找根时，端点处的函数值乘积应为正值。

视频明确使用异号条件 $f(a)\cdot f(b)<0$作为验证：该区间内存在 x 轴穿越点。

1. 声音
   观察依据

   说话者通过函数值异号及图示的穿越点来论证区间选择的合理性，但未提及连续性定理。

2. 图示
   观察依据

   曲线被画成连续的，但口头解释并未将连续性作为假设明确提出。

1. 这是分析者额外添加的警示，并非讲话者明确指出的误解。

观众可能误以为仅凭函数值异号就足以构成完全形式化的保证，而未意识到其中隐藏着未明说的假设。

该片段以视觉化和操作化方式呈现该法则；标准的严格表述还需要求函数在区间〔a,b〕上连续，但本片段中并未口头明确陈述这一假设。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，若输出值 a 与 c 的乘积为正，则二者要么均为负，要么均为正；这意味着根不在该区域内。

2. 公式
   观察依据

   黑板将负积情形与口述的正积解释进行了对比。

人们可能认为，无论端点函数值的符号如何，任意一对端点值都可用于保留某个子区间。

视频指出，正积意味着两个输出值同号，因此根不在该区域内；只有积为负的一侧才被保留。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上写着：‘若你的取值范围内存在多个根，你将遇到问题。’

2. 声音
   观察依据

   解说员指出，当存在两个根时，你无法收敛到单一的根。

3. 图示
   观察依据

   小幅示意图显示，在一个展示的范围内有两次函数图像穿越横轴。

1. 该片段未分析特殊情形（例如偶重数根导致无符号变化的情形）；它仅警示了单个范围内存在多个根的问题。

人们可能默认：任何包含符号变化的选定区间都恰好隔离一个根。

视频警告，若所选范围内存在多个根，则该方法会出现问题，因为当存在两个根时，它无法收敛到单一的根。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上写着：‘定义初始区间2（即上述的 a 与 b）并不总是简单的。’

2. 声音
   观察依据

   讲解者再次强调，为确保区间内存在根而定义两个初始范围并不总是容易的。

有人可能认为二分法总能轻松开始，因为只需选定两个数。

视频明确将‘定义包含根的两个初始区间’列为该方法的一个缺点，并指出这并不总是容易的。

1. 声音
   观察依据

   讲话者首先点出二分法之名，随后解释“求解”即指寻找方程的根。

2. 公式
   观察依据

   板书从方法定义直接过渡到注释：“即，它能帮我们找到方程的根！”

二分法的定义被立即应用于求根任务。

1. 声音
   观察依据

   在将根解释为函数图像与x轴交点之后，讲话者通过定义一个已知包含根的区间来开启步骤1。

2. 公式
   观察依据

   板书从关于根的注释过渡到“1）定义区间区域”。

根的含义说明了为何第一步程序性操作是隔离出一个包含x轴交点的区间。

1. 公式
   观察依据

   板书先写出步骤1，再补充明确条件：$f(a)<0$，$f(b)>0$，以及$f(a)\cdot f(b)<0$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过要求端点处的函数值异号，来说明该区间内必然存在一个根。

界定步骤将端点函数值异号作为其验证准则。

1. 声音
   观察依据

   在解释完端点乘积后，主讲人说：“现在，step two，我们取之前两个输入的中点。”

2. 公式
   观察依据

   板书从 $f(a)\cdot f(b)<0$ 过渡到“2) 定义中点。”以及 $c=(a+b)/2$。

必须先确立一对有效的界定端点 a 和 b，才能定义中点 c。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，此前讨论过的输出乘积检验现在可以再次应用。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(a)\cdot f(c)$ 是否小于0？在引入 $c = (a + b) / 2$之后。

一旦中点 c 被定义，相同的乘积符号逻辑便被重新应用于数对 (a,c)。

1. 公式
   观察依据

   先前的条件 $f(a)\cdot f(b)<0$ 在后续问题 $f(a)\cdot f(c)$ 是否小于 0？ 中被复用。

2. 声音
   观察依据

   主讲人明确将后续检验称为此前讨论过的输出乘积检验。

后续的中点检验，是将相同的符号乘积原理应用于一对新点，而非原始端点。

1. 字幕依据
   观察依据

   二分法的一般定义之后紧跟着‘使用二分法求根的步骤：’以及第①步。

视频片段通过定义区间区域这一首个操作步骤，将二分法的一般定义具体化。

1. 字幕依据
   观察依据

   第①步定义区间区域，第②步定义中点并判断根所在的方向。

2. 图示
   观察依据

   第二个图像在第一个图像基础上，在 a 和 b 之间插入了 c。

步骤2中的中点检验依赖于步骤1所提供的括号区间 [a,b]。

1. 字幕依据
   观察依据

   第③步指出：重复前述步骤，直至达到可接受的误差水平。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，需持续将输入区间对半分割，并重复该过程。

步骤3中的迭代，是指重复步骤2中的中点计算与符号乘积判定规则。

1. 公式
   观察依据

   左右乘积法则直接写在黑板上步骤②的正下方。

步骤2中描述的方法依赖于两条符号乘积命题，用以判断根位于c的左侧还是右侧。

1. 公式
   观察依据

   误差公式出现在步骤③之后，该步骤说明要重复迭代直至达到可接受的误差水平。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将停止准则与当前输入区间长度所度量的误差联系起来。

区间宽度误差度量是决定重复二分步骤何时可以停止的准则。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出二分法存在缺陷，与其他闭式非线性求解器一样，随后逐一列举这些缺陷。

将其归类为闭式非线性求解器，引出了后续关于实际缺陷的讨论。

1. 公式
   观察依据

   板书写道：“二分法：一种求解非线性函数及方程组的方法。”

1. 二分法的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，求解是指找出函数穿过x轴时的根。

1. 此处‘根’的含义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“1) 定义区间范围”，并在交点两侧标出a和b。

1. 第1步：定义一个包含根的区间区域

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f(a)<0$、$f(b)>0$，以及$f(a)\cdot f(b)<0$。

1. 用于确定区间包围根的端点符号相反条件
2. 端点处函数值符号相反，表明该区间内存在一个根

1. 公式
   观察依据

   黑板将该规则标记为“输出乘积检验”，随后提问：$f(a)\cdot f(c)$是否小于0？

1. 对符号乘积检验的命名
2. 用于确定区间包围根的端点符号相反条件

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下 $c=(a+b)/2$，位于“2) 定义中点。”

1. 步骤2：定义中点 c
2. 括住区间的中点

1. 公式
   观察依据

   最后写在黑板上的问题是：$f(a)\cdot f(c)$是否小于0？

1. 视频片段在答案分支显示之前结束。

1. 对符号乘积检验的命名
2. 从有根区间到中点符号检验

1. 字幕依据
   观察依据

   标题与副标题将该方法定义为求解非线性函数并寻找其根。

1. 二分法的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出输出乘积检验式 $f(a)\cdot f(b)<0$，并解释其含义为函数图像穿过 x 轴。

1. 步骤 1：定义一个包围根的区间。
2. 两端点函数值符号相反，表明曲线在 a 和 b 之间穿过了 x 轴。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示两个中点检验式：$f(a)\cdot f(c)<0$ 和 $f(c)\cdot f(b)<0$，并分别给出左侧/右侧的结论。

2. 声音
   观察依据

   解说员解释道：哪一侧的乘积小于零，就表明根位于该侧。

1. 步骤2：定义中点，并利用符号乘积选择子区间
2. 若 $f(a)\cdot f(c)<0$，则根位于 c 的左侧。
3. 若 $f(c)\cdot f(b)<0$，则根位于 c 的右侧。
4. 由符号乘积推导左/右子区间的选择依据。

1. 声音
   观察依据

   解说员指出：若乘积为正，则说明两个输出同为负数或同为正数，因此该区间内不存在根。

1. 步骤2：定义中点，并利用符号乘积选择子区间
2. 所纠正的误解：正积并不意味着根位于该子区间内。

1. 字幕依据
   观察依据

   步骤③指出：重复执行，直至达到可接受的误差水平。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出误差度量式 |input_range1 - input_range2|。

1. 步骤3：重复对半分割，直至满足误差容限
2. 误差由当前区间宽度来度量。
3. 为何以区间宽度作为误差度量