Partition, approximate, 且 take the limit to compute the area of a Curved trapezoid

1. 公式
   观察依据

   画面中坐标系上方标注曲线方程 $y = 1/x$。

$y = \frac{1}{x}$

被积函数曲线方程

$x > 0$

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“分成这么 n 个矩形”。

2. 公式
   观察依据

   画面中矩形宽度标注为 $1/n$，求和项分母含 n。

n

将区间 [1, 2] 等分的矩形个数

正整数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 S_{曲边梯形} = $\lim_{n \to \infty} S$_{矩形总和}。

$S_{\text{curved trapezoid}}$

曲边梯形的面积

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 S_{矩形总和} 及其展开式。

$S_{\text{sum of rectangles}}$

n 个近似矩形面积的总和

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $\ln n + \gamma + \sigma_n$。

2. 声音
   观察依据

   讲解提到“欧拉常数”。

$\gamma$

欧拉常数

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $\sigma_n$。

2. 声音
   观察依据

   讲解提到“随着 n 增大然后趋于零的这么一个数列”。

$\sigma_n$

随 n 增大而趋于零的数列

实数序列

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $S_{\text{rectangular sum}}$

$S_{\text{rectangular sum}}$

矩形面积的总和

数列

1. 公式
   观察依据

   画面中多次出现 $n$ 和 $2n$

$n$

正整数变量

正整数集

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $\gamma$

2. 声音
   观察依据

   讲解中提到“欧拉常数”

$\gamma$

欧拉常数

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $\sigma_n$ 和 $\sigma_{2n}$

2. 声音
   观察依据

   讲解中提到“趋于零的数列”

$\sigma_n$

当 $n \to \infty$ 时趋于零的数列

实数数列

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $S_{\text{region under a curve}}$

$S_{\text{region under a curve}}$

曲边梯形的面积

实数

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“我们先把它这个分成这么 n 个矩形...用这个矩形的面积来近似代替这个曲边梯形的面积”。

2. 图示
   观察依据

   右侧图示展示了区间 [1, 2] 被分割为多个宽度为 $1/n$ 的矩形。

将曲边梯形所在的区间等分为 n 份，构造 n 个矩形，用这些矩形的面积之和来近似代替曲边梯形的面积。

1. 区间 [1, 2]

2. n 为正整数

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“第一个矩形的面积...底 n 分之一乘以它这点对应的高度...横坐标的话这一点是 1 加上 n 分之一...代入这个函数的表达式...得到了这一个表达式”。

2. 公式
   观察依据

   画面右上角红框内显示 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}}$。

第一个矩形的宽度为 $1/n$，高度取右端点 $x = 1 + 1/n$ 处的函数值 $1/(1 + 1/n)$，因此面积为两者的乘积。

1. n 为正整数

1. 黎曼和近似方法

1. 公式
   观察依据

   画面中给出 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} = \ln n + \gamma + \sigma_n$

调和级数的前 $n$ 项和可以表示为自然对数、欧拉常数和一个趋于零的余项之和。

1. $n$ 为正整数

2. $\sigma_n$ 是当 $n \to \infty$ 时趋于零的数列

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“利用这个对数的运算性质进行处理”

2. 公式
   观察依据

   画面中将 $\ln 2n - \ln n$ 化简为 $\ln \frac{2n}{n}$

两个同底对数相减，等于其真数相除的对数。在此用于化简极限表达式中的对数项。

1. $a > 0, b > 0$

1. 公式
   观察依据

   画面下方显示 S_{曲边梯形} = $\lim_{n \to \infty} S$_{矩形总和} 以及 S_{矩形总和} 的展开式。

2. 声音
   观察依据

   讲解提到“按照同样的方法我们可以分别计算出后面每一个矩形的面积...用这个矩形面积的总和，然后当 n 趋于无穷大时候的情况来代替”。

1. 公式

   $$S_{\text{sum of rectangles}} = \frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} + \frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{2}{n}} + \frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{3}{n}} + \cdots + \frac{1}{n}\frac{1}{2}$$
   解释

   将所有 n 个矩形的面积相加，得到矩形总面积的表达式。

   步骤依据

   根据每个矩形的宽度和对应右端点高度的乘积求和。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_{\text{curved trapezoid}} = \lim_{n \to \infty} S_{\text{sum of rectangles}}$$
   解释

   令 n 趋于无穷大，取矩形总面积的极限作为曲边梯形的精确面积。

   步骤依据

   黎曼积分的定义，即无限细分后矩形面积之和的极限等于曲边梯形面积。

   视频直接表达

曲边梯形的面积等于 n 个矩形面积总和当 n 趋于无穷大时的极限。

1. 公式
   观察依据

   画面展示了从 $\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ 化简为 $\frac{1}{n+k}$ 的过程。

2. 声音
   观察依据

   讲解提到“把这个式子每一项的这个分母进行一下化简...就是把这个 n 乘进去...写成这样两个调和级数相减”。

1. 公式

   $$\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \frac{1}{n+k}$$
   解释

   将通项分子分母同乘 n，化简分母中的繁分数。

   步骤依据

   代数恒等变形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_{\text{sum of rectangles}} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{2n}$$
   解释

   将化简后的通项代入求和式，得到连续的倒数和。

   步骤依据

   逐项替换。

   视频直接表达
3. 公式

   $$S_{\text{sum of rectangles}} = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right)$$
   解释

   通过添加并减去前 n 项，将表达式改写为两个调和级数部分和的差。

   步骤依据

   代数恒等变形（裂项/凑项）。

   视频直接表达

矩形总面积可以表示为前 2n 项调和级数部分和与前 n 项调和级数部分和的差。

1. 公式
   观察依据

   画面底部显示 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} = \ln n + \gamma + \sigma_n$ 以及代入后的 S_{矩形总和} 表达式。

2. 声音
   观察依据

   讲解提到“使用这个调和级数它可以写成对数加上欧拉常数再加上一个随着 n 增大然后趋于零的这么一个数列的表达式”。

1. 公式

   $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{m} = \ln m + \gamma + \sigma_m$$
   解释

   引入调和级数部分和的渐近展开公式。

   步骤依据

   已知的数学结论（视频未证明，直接引用）。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_{\text{sum of rectangles}} = (\ln 2n + \gamma + \sigma_{2n}) - (\ln n + \gamma + \sigma_n)$$
   解释

   将 $m=2n$ 和 $m=n$ 分别代入渐近公式，替换之前的两个括号项。

   步骤依据

   等量代换。

   视频直接表达

将调和级数的渐近公式代入后，矩形总面积被转化为包含对数和无穷小量的表达式，为后续求极限做准备。

1. 公式
   观察依据

   画面展示了从 $\lim_{n \to \infty} S_{\text{rectangular sum}}$ 到最终结果 $\ln 2$ 的完整推导过程

2. 声音
   观察依据

   讲解逐步说明了消去欧拉常数、代入极限、使用对数性质和余项趋于零的过程

1. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} S_{\text{rectangular sum}} = \lim_{n \to \infty} [\ln 2n + \gamma + \sigma_{2n} - (\ln n + \gamma + \sigma_n)]$$
   解释

   将矩形面积总和的表达式两边取极限。

   步骤依据

   极限的线性性质及前文得出的表达式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_{\text{region under a curve}} = \lim_{n \to \infty} [\ln 2n - \ln n + \sigma_{2n} - \sigma_n]$$
   解释

   打开括号，两个欧拉常数 $\gamma$ 相互抵消。左边取极限后定义为曲边梯形的面积。

   步骤依据

   代数化简及定积分（曲边梯形面积）作为黎曼和极限的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \lim_{n \to \infty} \ln \frac{2n}{n} + \lim_{n \to \infty} \sigma_{2n} - \lim_{n \to \infty} \sigma_n$$
   解释

   将对数相减合并为对数的商，并将极限符号分配到各项。

   步骤依据

   对数的运算性质（商法则）以及极限的四则运算法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$= \ln 2 + 0 - 0 = \ln 2$$
   解释

   计算各项极限：$\frac{2n}{n} = 2$，且 $\sigma_{2n}$ 和 $\sigma_n$ 均趋于 0。

   步骤依据

   分式约分及余项数列趋于零的定义。

   视频直接表达

曲边梯形的面积为 $\ln 2$。

1. 图示
   观察依据

   左侧展示完整的曲边梯形阴影区域；右侧展示相同的曲线和区间，但内部被划分为多个矩形，并高亮标注了第一个矩形的尺寸和面积公式。

1. 坐标系

2. 曲线 $y=1/x$

3. 曲边梯形阴影

4. 分割矩形

5. 尺寸标注 $1/n$

6. 高度标注 $1/(1+1/n)$

7. 面积公式红框

1. 右侧图形逐渐显示出多个矩形的轮廓

2. 红框标出第一个矩形的面积计算式

1. 曲线方程 $y=1/x$ 保持不变

2. 积分区间 [1, 2] 保持不变

直观展示了用有限个矩形的面积和去逼近曲边梯形面积的思想，并明确了单个矩形面积的计算规则。

1. 动画
   观察依据

   画面中出现红色的斜线，划去了表达式中的两个 $\gamma$

1. 红色斜线

2. $\gamma$

1. 两个 $\gamma$ 被划去并抵消

1. 其余数学符号保持不变

直观展示在展开括号后，正负欧拉常数相互抵消的代数过程。

1. 动画
   观察依据

   画面中出现蓝色的曲线箭头，将外部的 $\lim_{n \to \infty}$ 指向括号内的各个项

1. 蓝色曲线箭头

2. $\lim_{n \to \infty}$

1. 极限符号被分配到括号内的每一项

1. 数学表达式的值不变

直观展示利用极限的四则运算法则，将和差的极限转化为极限的和差。

1. 公式
   观察依据

   画面中 S_{曲边梯形} = $\lim_{n \to \infty} S$_{矩形总和} 建立了近似和与精确面积的联系。

黎曼和近似方法的具体应用就是构造矩形总和并求其极限。

1. 公式
   观察依据

   画面中将调和级数部分和替换为 $\ln n + \gamma + \sigma_n$。

代数化简得到的调和级数差的形式，是为了能够应用调和级数的渐近公式来求极限。

1. 公式
   观察依据

   整个推导过程基于调和级数的渐近展开来计算曲边梯形面积

曲边梯形面积的计算推导应用了调和级数部分和的渐近展开公式。

1. 声音
   观察依据

   讲解详细说明了第一个矩形底和高的来源。

1. 第一个矩形面积计算

1. 公式
   观察依据

   画面展示了将求和式拆分为两个调和级数相减的步骤。

1. 矩形总面积表达式的代数化简
2. 利用调和级数渐近公式求极限

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“这两个欧拉常数只要把这个括号打开就刚好消掉了”

1. 曲边梯形面积的计算推导

1. 声音
   观察依据

   讲解提到“前面这两项可以利用这个对数的运算性质进行处理”

1. 对数的商法则