导数的幂法则｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   f(x) = x^n

f(x)

x 的函数

任意实数 n 的共同定义域为 x>0；整数情形可能有更大的定义域。

1. 公式
   观察依据

   n \neq 0

n

幂函数中的指数

原片采用固定非零实数指数；n=0 为单独讨论的常数情形。

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = nx^{n-1}

f'(x)

f(x) 的导数

任意实数 n 的共同定义域为 x>0；整数情形可能有更大的定义域。

1. 公式
   观察依据

   \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

\Delta x

导数极限定义中使用的 x 的变化量

趋于零的非零实数增量，并且两处函数输入均在定义域内。

1. 公式
   观察依据

   f(x) = x^n

f(x)

定义为 x 的 n 次方的函数。

任意实数 n 的共同定义域为 x>0；整数情形可能有更大的定义域。

1. 公式
   观察依据

   n \neq 0

n

幂函数中的指数。

原片采用固定非零实数指数；n=0 为单独讨论的常数情形。

1. 公式
   观察依据

   g(x) = x^3

g(x)

指数为 3 的特定幂函数。

实数

1. 公式
   观察依据

   h(x) = x^{-100}

h(x)

具有负整数指数的特定幂函数。

除零以外的实数

1. 公式
   观察依据

   z(x) = x^{2.571}

z(x)

具有小数指数的特定幂函数。

正实数

1. 公式
   观察依据

   f(x) = x^n, n \neq 0

2. 公式
   观察依据

   f'(x) = nx^{n-1}

对于固定实数指数 n，x^n 的导数为 nx^(n-1)，此处在 x>0 上讨论。正整数幂作为多项式可在所有实数上求导，负整数幂要求 x≠0。本片板书列出 n≠0，并应用规则，没有证明规则。n=0 对应常函数 1，其导数为 0；示例未包含它，不表示常数情形没有导数。这些定义域与常数情形的说明属于编辑补充。

1. n 是固定实数指数。

2. 一般实数指数统一在 x>0 上讨论；正整数幂可扩展至所有实数，负整数幂排除 x=0。

3. 原片列出 n≠0；常数 n=0 情形单独说明。

1. 公式
   观察依据

   \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

在内点处，若该差商有有限实数极限，此极限就是导数和切线斜率。非零增量趋于零，且函数输入保持在定义域内。原片回顾这个定义，没有据此证明幂法则。

1. 该点处须存在有限实数导数极限。

2. 该点是内点，取极限时 Δx≠0。

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = nx^{n-1}

对于固定实数指数 n，x^n 的导数为 nx^(n-1)，此处在 x>0 上讨论。正整数幂作为多项式可在所有实数上求导，负整数幂要求 x≠0。本片板书列出 n≠0，并应用规则，没有证明规则。n=0 对应常函数 1，其导数为 0；示例未包含它，不表示常数情形没有导数。这些定义域与常数情形的说明属于编辑补充。

1. n 是固定实数指数。

2. 一般实数指数统一在 x>0 上讨论；正整数幂可扩展至所有实数，负整数幂排除 x=0。

3. 原片列出 n≠0；常数 n=0 情形单独说明。

1. 公式
   观察依据

   f(x) = x^2

2. 公式
   观察依据

   f'(x) = 2x^{2-1} = 2x^1 = 2x

1. 公式

   $$f(x) = x^2$$
   解释

   给定函数

   步骤依据

   问题陈述

   视频直接表达
2. 公式

   $$f'(x) = 2x^{2-1}$$
   解释

   应用幂法则

   步骤依据

   幂法则公式

   视频直接表达
3. 公式

   $$f'(x) = 2x^1$$
   解释

   简化指数

   步骤依据

   算术简化

   视频直接表达
4. 公式

   $$f'(x) = 2x$$
   解释

   最终简化形式

   步骤依据

   算术简化

   视频直接表达

f(x) = x^2 的导数是 f'(x) = 2x。

1. 公式
   观察依据

   f(x) = x^2

2. 公式
   观察依据

   f'(x) = 2x^{2-1} = 2x^1 = 2x

使用幂法则求 f(x) = x^2 的导数。

1. f(x) = x^2

计算 f'(x)

1. 公式

   $$f(x) = x^2$$
   解释

   识别函数

   步骤依据

   问题陈述

   视频直接表达
2. 公式

   $$f'(x) = 2x^{2-1}$$
   解释

   应用幂法则

   步骤依据

   幂法则公式

   视频直接表达
3. 公式

   $$f'(x) = 2x^1$$
   解释

   简化指数

   步骤依据

   算术简化

   视频直接表达
4. 公式

   $$f'(x) = 2x$$
   解释

   最终简化形式

   步骤依据

   算术简化

   视频直接表达

f'(x) = 2x

应用已给出的规则，n=2 时 2−1=1，因此得到 2x；这核对的是规则应用，不是独立证明规则。

1. 声音
   观察依据

   讲解把规则用于正整数指数，并化简指数。

2. 公式
   观察依据

   g'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2

使用幂法则求 g(x) = x^3 的导数。

1. g(x) = x^3

2. 正整数幂多项式在所有实数 x 上可微。

计算 g'(x)。

1. 公式

   $$g'(x) = 3x^{3-1}$$
   解释

   应用 n=3 的幂法则。

   步骤依据

   幂法则

   视频直接表达
2. 公式

   $$g'(x) = 3x^2$$
   解释

   简化指数。

   步骤依据

   算术

   视频直接表达

g'(x) = 3x^2

对应用的独立算术检查：3-1=2，因此所述结果为 3x^2。这不是幂法则的证明。

1. 声音
   观察依据

   负整数例子保留负系数，再将指数减一。

2. 公式
   观察依据

   h'(x) = -100x^{-101}

使用幂法则求 h(x) = x^{-100} 的导数。

1. h(x) = x^{-100}

2. 负整数幂示例要求 x≠0。

计算 h'(x)。

1. 公式

   $$h'(x) = -100x^{-100-1}$$
   解释

   应用 n=-100 的幂法则。

   步骤依据

   幂法则

   视频直接表达
2. 公式

   $$h'(x) = -100x^{-101}$$
   解释

   简化指数。

   步骤依据

   算术

   视频直接表达

h'(x) = -100x^{-101}

对应用的独立算术检查：-100-1=-101，因此所述结果为 -100x^{-101}。这不是幂法则的证明。

1. 声音
   观察依据

   最后一个例子代入画面的小数指数，并将其化简。

2. 公式
   观察依据

   z'(x) = 2.571x^{1.571}

使用幂法则求 z(x) = x^{2.571} 的导数。

1. z(x) = x^{2.571}

2. 这个实数小数幂示例在 x>0 上讨论。

计算 z'(x)。

1. 公式

   $$z'(x) = 2.571x^{2.571-1}$$
   解释

   应用 n=2.571 的幂法则。

   步骤依据

   幂法则

   视频直接表达
2. 公式

   $$z'(x) = 2.571x^{1.571}$$
   解释

   简化指数。

   步骤依据

   算术

   视频直接表达

z'(x) = 2.571x^{1.571}

对应用的独立算术检查：2.571-1=1.571，因此所述结果为 2.571x^{1.571}。这不是幂法则的证明。

1. 动画
   观察依据

   在白板书写幂法则公式

1. 白板

2. 马克笔

1. 写出公式 f(x) = x^n

2. 添加条件 n \neq 0

3. 给出导数公式 f'(x)=nx^{n-1}。

1. 黑色背景保持不变

彩色公式展示把固定指数写成系数、再把指数减一；这是规则的陈述与应用，不是证明。

1. 动画
   观察依据

   在白板书写导数的极限定义

1. 白板

2. 马克笔

1. 写出公式 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

1. 黑色背景保持不变

视觉呈现有助于通过极限理解导数的基本概念。

1. 图示
   观察依据

   黑色画布上有各种颜色的手写数学表达式。

1. 手写文本

2. 数学公式

1. 随着示例的解决，依次写出新的方程。

1. 背景保持黑色。

2. 幂法则定义的一般布局保持在左上角。

白板展示规则与依次展开的应用示例；本片没有给出一般证明。

1. 声音
   观察依据

   讲解把幂法则介绍为求导的快捷规则。

幂法则提供了一种简化的方法来计算导数，而导数从根本上由极限定义。

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = nx^{n-1}

1. 幂法则

1. 公式
   观察依据

   \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

1. 导数的极限定义

1. 声音
   观察依据

   本课陈述并应用幂法则。

1. 导数的幂法则