行列式｜Prof Ghrist Math

对于三维向量 $u, v, w$，标量三重积 $u\cdot(v\times w)$ 等于将这些向量作为列构成的矩阵的行列式，记为 $\det[u\ v\ w]$。

适用条件：向量 $u, v, w$ 是三维的。；向量在矩阵中排列为列。

不，行列式是一个可以是正数、零或负数的标量值。尽管有时使用符号 $|A|$，但它明确不是矩阵的绝对值。

适用条件：对象是方阵。；正在解释符号 $|A|$ 或 $\det(A)$。

对于 1x1 矩阵 $[a]$，行列式就是标量条目 $a$ 本身。

适用条件：矩阵大小为 1x1。；单个条目是 $a$。

在叉积行列式助记符中，基符号（如 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$）充当形式记忆装置。尽管它们被放置在类似行列式结构的第一行，但它们不被视为数值矩阵的普通标量条目。

适用条件：上下文是计算两个三维向量叉积的助记符。；结构类似于一个顶行包含基向量的 3x3 行列式。

当且仅当其行列式非零时，方阵才是可逆的。如果行列式为零，则矩阵是奇异的且不可逆。

适用条件：矩阵是方阵。；行列式已计算。

本课通过展示三个向量的标量三重积等于由这些向量作为列构成的矩阵的行列式来建立联系。它还澄清了叉积助记符使用基符号作为形式装置，将代数行列式结构与向量运算联系起来。

适用条件：在三维空间中工作。；向量在行列式中被视为列。

对于 2x2 矩阵 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，行列式计算为 $ad-bc$。当且仅当其行列式非零时，方阵才是可逆的。

适用条件：矩阵必须是 2x2 方阵才能使用该特定公式。；矩阵必须是方阵才能应用可逆性条件。

循环对角线模式专门为 3x3 矩阵组织了三个正积和三个负积。它被认为是助记符，因为这种特定模式不会原封不动地扩展到更大的矩阵；它是针对该特定大小的记忆装置。

适用条件：矩阵是 3x3 方阵。；正在讨论的方法是循环对角线模式（萨鲁斯法则）。