间断点处的图像极限｜Khan Academy

1. 图示
   观察依据

   坐标平面左侧的图像标记为 $y = g(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍该函数的图像。

$y = g(x)$

正在从图像估计极限的绘制函数。

可见直角坐标窗口两轴约为 -9 至 9，不等于声明函数的完整定义域。

1. 公式
   观察依据

   右侧的黄色手写文字写着 $\lim_{x \to 7} g(x)$ =。

2. 声音
   观察依据

   讲解询问目标输入处的极限。

$\lim_{x \to 7} g(x)$

当输入 x 趋近于 7 时函数 $g(x)$ 的双侧极限。

相关的输入是接近 $x=7$ 的值，不一定是 $x=7$ 本身。

1. 公式
   观察依据

   极限表达式下方包含 $x \to 7$。

2. 声音
   观察依据

   讲解让输入趋近目标。

$x \to 7$

自变量 x 从附近的值越来越接近 7。

考虑 x 在 7 的邻域内；视频强调小于 7 的值。

1. 声音
   观察依据

   讲解在左侧选取画面中的七个输入。

2. 图示
   观察依据

   粉色点标记了曲线上这些输入对应的输出位置。

1. $g(3)$、$g(4)$ 和 $g(5)$ 的确切数值没有写在屏幕上；仅指示了它们在图上的绘制位置。

$g(x)$

给定输入 x 时函数的输出值，从图像垂直读取。

对于示例，x 取值 3、4、5、6、6.5、6.9 和 6.99。

1. 图示
   观察依据

   在 $x=7$ 处，曲线上 $y=0$ 的位置有一个空心圆，其上方约 $y=3$ 处有一个单独的实心蓝点。

2. 声音
   观察依据

   讲解把分离的点介绍为点间断。

1. 孤立实心点的确切 y 坐标未标记；视觉上接近 3。

$x=7$

图像具有可去间断或点间断且正在评估极限的输入值。

间断显示在垂直线 $x=7$ 处。

1. 公式
   观察依据

   等号后添加了一个粉色手写的 0，使 $\lim_{x \to 7} g(x) = 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解说明附近输出趋近零。

0

根据所示的左侧样本序列，当 x 趋近于 7 时 $g(x)$ 的估计极限输出值。

这是 $x=7$ 附近绘制输出所趋近的 y 值。

1. 公式
   观察依据

   图像标记为 $y = g(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解读取右侧输入样本与目标点的函数值。

$g(x)$

用于估计 $x=7$ 附近极限行为的函数图像。

可见横坐标窗口约为 -9 至 9，不是完整定义域声明；本课关注目标附近。

1. 公式
   观察依据

   书写表达式为 $\lim_{x \to 7} g(x) = 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解说明附近输出趋近零。

$x \to 7$

自变量趋近于值 7；在此片段中，强调的数值检查是从大于 7 的值进行的。

接近 7 的实数输入。

1. 公式
   观察依据

   极限陈述的右侧是一个粉色手写的 0。

2. 声音
   观察依据

   讲解指出输出趋近的高度为零。

0

当 x 趋近于 7 时，$g(x)$ 声称的极限 y 值。

$g(x)$ 的输出值。

1. 公式
   观察依据

   手写表达式变为 $g(7) = 3$。

2. 图示
   观察依据

   在 (7,3) 处显示一个实心蓝点。

3. 声音
   观察依据

   讲解指出目标点的指定函数值为三。

$g(7)$

通过将 $x=7$ 代入 g 得到的实际函数值。

在显示的图像中于 $x=7$ 处有定义。

1. 图示
   观察依据

   显示了标记为 $y=g(x)$ 的坐标图，在 $x=7$ 处有间断，右侧提示 $\lim_{x \to 7} g(x)$=。

2. 声音
   观察依据

   任务是从图像估计画面中的极限。

视频将问题框架设定为从绘制的函数中读取极限值，而不是将输入代入公式。关键思想是问当输入越来越接近目标 x 值时，函数趋近什么输出值。

1. 有函数的图像可用。

2. 在 x 轴上确定了目标输入值。

3. 问题涉及输入附近的行為，而不一定是输入处的值。

1. 图示
   观察依据

   在 $x=7$ 处，曲线在 $y=0$ 处有一个空心圆，其上方有一个单独的实心蓝点。

2. 声音
   观察依据

   讲解指出目标输入处的间断。

1. 孤立实心点的确切坐标未写出；视觉上大约在 (7,3)。

点间断在视觉上表示为曲线在单个输入处的断裂。在此图中，曲线在 $x=7$ 附近趋近一个高度，但 $x=7$ 处实际绘制的点在别处，因此函数值和附近的趋势不匹配。

1. 间断发生在单个 x 值处。

2. 图像显示了附近的曲线行为以及该 x 值处的孤立或缺失点。

3. 完整例子中，两侧极限同为零，而实心点给出另一个函数值。仅有空心点记号不足以确定双侧极限。

1. 从图像估计极限

1. 声音
   观察依据

   讲解把极限解释为附近输出的趋近行为。

2. 公式
   观察依据

   显示的表达式是 $\lim_{x \to 7} g(x)$。

记号 $\lim_{x \to 7} g(x)$ 被解释为当输入 x 越来越接近 7 时输出 $g(x)$ 趋近的值。解释强调趋近而不是在 $x=7$ 处的求值。

1. x 接近 7。

2. 关注输入趋近目标时的输出行为。

1. 从图像估计极限

1. 声音
   观察依据

   首次观察选取小于目标的输入。

2. 图示
   观察依据

   粉色点依次放置在曲线上 $x=3$、4、5、6、6.5、6.9 和 6.99 处，向右移动趋近 $x=7$。

输入 3、4、5、6、6.5、6.9、6.99 递增趋近目标 7。较远样本的输出不必单调趋近零：曲线先下降，再上升。充分靠近目标时，左侧输出趋近空心点的高度。

1. 使用小于 7 的输入值。

2. 让输入逐渐更接近 7。

3. 从图像读取相应的输出。

4. 本课根据目标附近的局部图像读极限。有限样本用于展示趋势，不是 epsilon-delta 证明；原片未给出解析公式。

1. 此示例中极限记号的含义
2. 图像上显示的点间断

1. 图示
   观察依据

   图像在 (7,0) 处的曲线上显示一个空心圆，其上方靠近 (7,3) 处有一个实心蓝点。

2. 声音
   观察依据

   讲解关注附近行为，而不是孤立点。

1. 实心点的确切 y 坐标未标记；看起来接近 3。

空心圆标记了周围曲线在 $x=7$ 处趋近的高度，而实心点标记了该输入处单独绘制的函数值。极限是从附近点的趋近中读取的，而不是从孤立的实心点读取的。

1. 图像在同一 x 值处既包含空心圆又包含单独的实心点。

2. 问题要求的是极限而不是该 x 处的函数值。

3. 完整例子中，两侧极限同为零，而实心点给出另一个函数值。仅有空心点记号不足以确定双侧极限。

1. 图像上显示的点间断
2. 此示例中极限记号的含义

1. 声音
   观察依据

   讲解从右侧采样输入，读取曲线的近似高度。

2. 图示
   观察依据

   粉色引导标记和虚线水平参考线显示相应的 y 值越来越接近 x 轴。

3. 公式
   观察依据

   持续书写的结论是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

1. 7.01 之后听到的具体小数位数是 7.0000001，但无法从图像中独立测量 $x=7$ 附近的微小视觉差异。

该片段演示了一种图形极限程序：选择目标 x 值一侧的输入值，从曲线读取相应的输出值，并观察这些输出是否趋向于单个数字。这里选择的输入都大于 7 并靠近 7，因此该方法被用来从右侧推断 $x=7$ 附近的极限行为。

1. 目标点是 $x=7$。

2. 显示的数值检查使用 $x>7$。

3. 结论是从图像读取的，而不是从 g 的代数公式得出的。

4. 本课根据目标附近的局部图像读极限。有限样本用于展示趋势，不是 epsilon-delta 证明；原片未给出解析公式。

5. 本后续段检查右侧，前一段检查左侧；有限双侧极限要求两侧极限都存在且相同。

1. 声音
   观察依据

   讲解把这一不匹配称为点间断或可去间断。

2. 图示
   观察依据

   周围曲线趋近空心点 (7,0)，实心点 (7,3) 给出指定函数值。

3. 公式
   观察依据

   黑板对比了 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$。

本例的有限双侧极限为零，指定函数值却为三。这是可去间断：把目标点的函数值重新定义为极限，就可使函数在那里连续。更一般地，可去间断也可以在该点尚未定义函数值。

1. 极限在所讨论的点存在。

2. 函数在该点有定义。

3. 极限值和函数值不相等。

1. 通过样本输入逼近来从图像估计极限

1. 声音
   观察依据

   讲解通过比较极限与指定值介绍连续性检查。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上进行的比较是在 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$ 之间。

1. 视频将此作为测试连续性的一种方式呈现，并未详细说明包含所有标准条款的完整正式定义。

对实函数定义域内的内点 c，连续要求 $f(c)$ 有定义、有限双侧极限存在，而且极限等于 $f(c)$。本例极限存在，却不同于指定值，因此不连续。端点处的连续性使用相应单侧极限。

1. 应用于特定输入 c。

2. 此处用于检测两个量不同时的不连续性。

3. 视频没有将此比较之外的完整正式连续性定义展开。

4. 完整条件与端点说明为配套澄清；原片简要介绍两者比较。

1. 通过样本输入逼近来从图像估计极限
2. $x=7$ 处的点间断 / 可去间断

1. 声音
   观察依据

   讲解说明左侧局部输出趋近零的趋势。

2. 图示
   观察依据

   粉色样本点沿曲线向 (7,0) 处的空心圆移动。

3. 公式
   观察依据

   最终写出的结果是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

1. 首段明确只开发了左侧趋近过程然后结束；写出的结论呈现为极限值。

对于从小于 7 的值趋近 7 的输入，$g(x)$ 的绘制输出趋近 0。

1. 显示的图像是 $y=g(x)$。

2. 考虑的输入小于 7 并越来越接近 7。

对于从左侧趋近 7 的 x 值。

1. 公式
   观察依据

   手写方程完成为 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解指出趋近的输出为零。

1. 首段在写出结果后立即结束；此部分内未显示单独的右侧验证。

$\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

1. 图像是视频中显示的那个。

2. 极限是在 x 趋近于 7 时取的。

在函数 g 的特定点 $x=7$ 处。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的书面陈述是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解说明右侧输出趋近零。

3. 图示
   观察依据

   具有 $x>7$ 的连续样本点的 y 值在视觉上更接近 x 轴。

1. 本段展示右侧观察；同一完整视频的前一段展示左侧观察。

$\lim_{x \to 7} g(x)=0$

1. 函数由显示的图像 $y=g(x)$ 表示。

2. 目标输入值是 $x=7$。

3. 此片段中显示的数值探索使用 $x>7$。

对于趋近于 7 的 x，$g(x)$ 的输出值趋近于 0。

1. 公式
   观察依据

   手写方程变为 $g(7)=3$。

2. 图示
   观察依据

   在 (7,3) 处绘制了一个实心蓝点。

3. 声音
   观察依据

   讲解从实心点读取指定函数值。

$g(7)=3$

1. 图像定义了 g 在 $x=7$ 处的值。

2. (7,3) 处的实心点代表函数值。

在单一输入 $x=7$ 处，函数取值 3。

1. 声音
   观察依据

   讲解把本例中的不匹配判断为可去间断。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示了 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$。

3. 图示
   观察依据

   周围曲线趋近高度零，而目标处实心点的高度为三。

因为 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 而 $g(7)=3$，所以函数在 $x=7$ 处有一个点间断。

1. $x=7$ 处的极限存在且等于 0。

2. $x=7$ 处的函数值存在且等于 3。

3. $0 \neq 3$。

在 $x=7$ 处，极限行为和分配的函数值不同。

1. 声音
   观察依据

   讲解依次读取画面中的七个左侧输入样本。

2. 图示
   观察依据

   粉色点依次出现在曲线上，虚线粉色引导线指示接近 -1、-0.5 和略低于 0 的输出水平。

1. $g(3)$、$g(4)$ 和 $g(5)$ 的确切值未写出；它们仅在图上定位。

2. 个别口头样本表述不确定；根据实际标记的位置辨认目标附近的正输入，不推断负输入例子。

1. 公式

   $$x=3$$
   解释

   选择第一个小于 7 的样本输入并在曲线上标记。

   步骤依据

   说话者从小于 7 的值开始，并在图上识别 $g(3)$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=4$$
   解释

   该输入更接近目标，但曲线高度比前一个样本更低；不要求全部样本的输出单调变化。

   步骤依据

   原始图像显示较远的左侧分支先下降，再转向上升。

   补充解释
3. 公式

   $$x=5$$
   解释

   样本点仍然更接近 7。

   步骤依据

   说话者提到 $g(5)$ 作为另一个从下方趋近目标的输入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=6$$
   解释

   输出读作略小于 -1。

   步骤依据

   说话者说 $g(6)$ 看起来比负 1 小一点，并用虚线引导线标记该水平。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=6.5$$
   解释

   输出上升到约 -0.5。

   步骤依据

   说话者说 $g(6.5)$ 看起来大约是负一半，并有另一条虚线引导线。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=6.9$$
   解释

   输出现在略低于 0。

   步骤依据

   说话者说随着输入更接近 7，该值看起来比零小一点。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x=6.99$$
   解释

   输出保持在 0 以下但更接近 0。

   步骤依据

   说话者说它仍然小于零但离零更近一点。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\lim_{x \to 7^-} g(x)=0$$
   解释

   左侧采样的输出趋近 $y=0$ 处的空心圆高度。

   步骤依据

   从收敛到 (7,0) 的可见点序列推导得出；视频在这次左侧讨论后立即写出双侧极限结果。

   依据视频推导
9. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x)=0$$
   解释

   屏幕上的答案完成为 0。

   步骤依据

   第一段结束前可以看到板书答案；完整视频的第二段随后另行检查右侧。

   视频直接表达

第一段展示左侧趋势并写出双侧结果，后续段检查另一侧。结论是读图估计，不是根据给定公式作证明。

1. 声音
   观察依据

   讲解依次考察六个右侧输入样本。

2. 图示
   观察依据

   随着 x 向左移动趋近 7，对应的图形位置向下移向 x 轴。

3. 公式
   观察依据

   书面结论是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

1. 中间口头估计值如大约 6、略多于 2 和略多于 1 是从图像读取的近似值，而非精确计算值。

1. 公式

   $$x=9 \Rightarrow g(9)\text{ is about }6$$
   解释

   旁白从明显在 7 右侧的一个值开始，并从图像读取相对较高的输出。

   步骤依据

   直接从 $x=9$ 处的显示曲线读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=8 \Rightarrow g(8)>2$$
   解释

   靠近 7 时，输出大幅下降。

   步骤依据

   直接从 $x=8$ 处的显示曲线读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=7.5 \Rightarrow g(7.5)>1$$
   解释

   更近的输入给出更小的正输出。

   步骤依据

   直接从 $x=7.5$ 处的显示曲线读取。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=7.1 \Rightarrow g(7.1)>0$$
   解释

   当 x 从上方非常接近 7 时，图像刚好在 x 轴上方。

   步骤依据

   直接从 $x=7.1$ 处的显示曲线读取。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=7.01 \Rightarrow g(7.01)\text{ is \text{偶数} closer to }0$$
   解释

   进一步减小与 7 的距离使输出更紧密地趋近 0。

   步骤依据

   直接从 $x=7.01$ 处的显示曲线读取。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=7.0000001 \Rightarrow g(7.0000001)\text{ is still closer to }0$$
   解释

   使用极近的右侧输入以强化趋近 0 的趋势。

   步骤依据

   口头数值示例加上图像上的视觉趋势。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x)=0$$
   解释

   右侧输出序列说明函数值趋近 0，发生在 x 趋近 7 时。

   步骤依据

   本段右侧读图结果与前一段左侧结果一致。有限样本展示趋势，不是一般极限的严格证明。

   补充解释

从画面中的右侧观察，$g(x)$ 看起来趋近 0，对应 x 趋近 7。

1. 声音
   观察依据

   讲解比较趋近值与点处指定值。

2. 公式
   观察依据

   黑板包含 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 以及后来的 $g(7)=3$。

3. 图示
   观察依据

   (7,3) 处的实心点与曲线的逼近水平 $y=0$ 分离。

1. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x)=0$$
   解释

   首先从图像建立极限值。

   步骤依据

   先前从使用邻近输入趋近 $x=7$ 推导得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$g(7)=3$$
   解释

   然后从孤立点读取函数在 $x=7$ 处的实际分配值。

   步骤依据

   直接从图像上的实心点读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0 \neq 3$$
   解释

   比较这两个量并注意它们不相等。

   步骤依据

   显示值的算术不等式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{point discontinuity at }x=7$$
   解释

   因为极限和函数值不同，图像在该输入处有一个断点。

   步骤依据

   旁白陈述的连续性测试：如果极限与实际值不相同，则存在不连续性。

   视频直接表达

函数在 $x=7$ 处不连续，具体为点间断或可去间断。

1. 图示
   观察依据

   在整个过程中使用了在 $x=7$ 处有点间断的 $y=g(x)$ 的图像。

2. 公式
   观察依据

   提示是 $\lim_{x \to 7} g(x)$=，完成的答案是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

3. 声音
   观察依据

   讲解对小于目标的附近输入采样，以理解图像。

1. 本首段在转向右侧检查时结束；完整视频的后续段包含该检查。

给定在 $x=7$ 处有间断的 $y=g(x)$ 的图像，确定当 x 趋近于 7 时 $g(x)$ 的极限。

1. 图像标记为 $y=g(x)$。

2. 在 $x=7$ 处有一个点间断。

3. 在 (7,0) 处出现一个空心圆。

4. 在 $x=7$ 上方靠近 $y=3$ 处出现一个单独的实心点。

确定 $\lim_{x \to 7} g(x)$。

1. 公式

   $$\text{Identify the target input } x=7$$
   解释

   定位要求极限的 x 值并观察那里的间断。

   步骤依据

   说话者明确指出 $x=7$ 处的间断。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Interpret } \lim_{x \to 7} g(x)$$
   解释

   将问题重构为询问当输入接近 7 时函数趋近什么输出值。

   步骤依据

   说话者陈述当输入趋近于 7 时函数被趋近。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=3,4,5,6,6.5,6.9,6.99$$
   解释

   选择小于 7 的样本输入并使它们越来越接近 7。

   步骤依据

   说话者从小于 7 的值开始并按顺序列出这些输入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$g(6)<-1,\quad g(6.5)\approx -0.5,\quad g(6.9)<0,\quad g(6.99)<0\text{ \text{且} closer to }0$$
   解释

   这些近处的近似读数趋近零；之前较远的输出不必单调靠近零。

   步骤依据

   这些读数被大声说出并用粉色点和虚线引导线标记。

   补充解释
5. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x)=0$$
   解释

   得出极限输出值为 0 并将其写在等号后。

   步骤依据

   说话者说函数值趋近于零，最终手写方程显示 0。

   视频直接表达

0

左侧样本展示趋近空心点，后续段检查右侧；画面中的双侧答案需要两侧一致。

1. 图示
   观察依据

   整个片段中使用了一个工作图像 $y=g(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解把附近采样与目标输入处的函数值比较。

3. 公式
   观察依据

   最终书写的事实是 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$。

1. 未提供 $g(x)$ 的代数公式，因此该示例纯粹是图形的。

使用 $y=g(x)$ 的图像确定当 x 趋近于 7 时 $g(x)$ 会发生什么，然后将该极限行为与实际值 $g(7)$ 进行比较。

1. 坐标网格上显示了图像 $y=g(x)$。

2. 目标输入是 $x=7$。

3. 叙述中显示的样本输入包括 9、8、7.5、7.1、7.01 和 7.0000001。

4. 在 (7,3) 处绘制了一个实心点。

求 $\lim_{x \to 7} g(x)$，求 $g(7)$，并解释函数在 $x=7$ 处是否连续。

1. 公式

   $$x=9,8,7.5,7.1,7.01,7.0000001$$
   解释

   选择大于 7 并逐渐靠近 7 的输入。

   步骤依据

   这是片段中用于从右侧检查极限行为的采样方法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$g(9)\approx 6,\; g(8)>2,\; g(7.5)>1,\; g(7.1)>0,\; g(7.01)\text{ closer to }0,\; g(7.0000001)\text{ \text{偶数} closer to }0$$
   解释

   从图像读取相应的输出并观察它们向 x 轴递减。

   步骤依据

   直接图形读取加上旁白的口头近似值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x)=0$$
   解释

   从采样输出的趋势推断极限值。

   步骤依据

   结合前一段左侧结果与本段右侧结果，两侧趋近同一高度。

   补充解释
4. 公式

   $$g(7)=3$$
   解释

   从孤立的实心点读取 $x=7$ 处的实际函数值。

   步骤依据

   直接从图像读取。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lim_{x \to 7} g(x) \neq g(7)$$
   解释

   比较极限和函数值并注意不匹配。

   步骤依据

   因为 $0 \neq 3$，这两个量不同。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\text{point discontinuity / removable discontinuity at }x=7$$
   解释

   使用叙述中提到的连续性测试对断点进行分类。

   步骤依据

   旁白指出不同的极限和函数值表明不连续性。

   视频直接表达

$\lim_{x \to 7} g(x)=0$,$\quad g(7)=3$,$\quad \text{因此 }g\text{ 在 }x=7\text{ 处有一个点（可去）不连续。}$

与图像核对：曲线趋近高度 0，对应 $x=7$ 附近；单独标记的实心点位于高度 3。

1. 图示
   观察依据

   屏幕显示带有曲线 $y=g(x)$ 的笛卡尔网格，(7,0) 处有一个空心圆，$x=7$ 上方有一个实心蓝点，右侧有黄色文字 $\lim_{x \to 7} g(x)$=。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍图像与所求极限。

1. 实心点的确切 y 坐标未标记；看起来接近 3。

1. 带网格线的坐标轴

2. 标记为 $y=g(x)$ 的曲线

3. (7,0) 处的空心圆

4. 靠近 (7,3) 的实心蓝点

5. 手写提示 $\lim_{x \to 7} g(x)$=

1. 光标首先指向 $x=7$ 处的间断，然后指向极限表达式。

1. 在整个设置过程中，图像和提示保持在屏幕上。

2. 空心圆保持在 $y=0$，而孤立的实心点保持在其上方。

视觉设置确立了问题是关于曲线在 $x=7$ 附近趋近的高度，而不是 $x=7$ 处孤立的绘制点。

1. 动画
   观察依据

   粉色点逐一添加到曲线上 $x=3$、4、5、6、6.5、6.9 和 6.99 处。

2. 图示
   观察依据

   当讨论后来的样本点时，虚线粉色水平引导线出现在 $y=-1$ 和 $y=-0.5$ 附近。

3. 声音
   观察依据

   讲解说明采样输入与图像上的近似读数。

1. 最早样本点的确切坐标未写在屏幕上。

1. 曲线上的粉色样本点

2. 虚线粉色引导线

3. x 轴标签 3 到 7

4. (7,0) 处的空心圆

1. 样本点向右进展趋近 $x=7$。

2. 较远的输出先下降；靠近目标后，输出上升趋近零。

3. 引导线强调 $g(6)$ 略小于 -1，$g(6.5)$ 约为 -0.5。

1. 在此序列期间，所有高亮显示的样本输入都保持小于 7。

2. (7,0) 处的目标空心圆不移动。

输入从小于目标的一侧向右趋近目标，充分靠近目标的输出趋近零；整个展示序列不必单调。

1. 公式
   观察依据

   粉色手写的 0 被加在 $\lim_{x \to 7} g(x)$= 的等号后。

2. 声音
   观察依据

   讲解说明附近函数值趋近零。

1. 首段结束前未显示单独的右侧趋近。

1. 手写方程 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$

2. 在 (7,0) 处有空心圆的图像

1. 等号后的空白被填入 0。

1. 在写出答案时，图像保持不变。

写出的 0 记录了从 $x=7$ 附近曲线行为推断出的极限高度。

1. 图示
   观察依据

   左半部分显示带有 $y=g(x)$ 的坐标平面；右半部分用手写体显示 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

2. 动画
   观察依据

   粉色标记和虚线水平引导线出现在 $x=7$ 附近，以指示输出水平趋近 x 轴。

1. 每个中间粉色标记的确切坐标未在屏幕上用数字标注。

1. 带整数网格线的坐标轴

2. 标记为 $y=g(x)$ 的蓝色曲线

3. (7,3) 处的实心蓝点

4. 手写极限陈述 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$

5. 粉色引导标记和虚线水平线

1. 在 $x=7$ 附近添加粉色参考标记以显示大于 7 的样本输入的输出水平。

2. 视觉重点从较大的 x 值移向 $x=7$，相应的 y 水平下降至 0。

1. 底层图像 $y=g(x)$ 保持不变。

2. 在此区间内，书面极限陈述保持为 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

动画支持了当 x 从右侧趋近于 7 时，函数值趋近于 0 的观点。

1. 动画
   观察依据

   一条新的手写行出现在极限陈述上方，并完成为 $g(7)=3$。

2. 图示
   观察依据

   光标指向 (7,3) 处的实心蓝点，同时正在编写方程。

1. 手写表达式 $g(7)=3$

2. (7,3) 处的实心蓝点

3. 现有的极限陈述 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$

1. 黑板在较早的极限陈述上方添加了 $g(7)=3$。

2. 注意力从极限趋势转移到 $x=7$ 处的孤立定义点。

1. 图像本身没有改变。

2. 以前写下的极限值 0 仍然可见。

这个视觉步骤设置了极限与实际函数值之间的直接比较，揭示了不连续性。

1. 图示
   观察依据

   图像在 (7,0) 处显示一个空心圆，在 $x=7$ 上方显示一个单独的实心点。

2. 声音
   观察依据

   讲解考察附近输出，而非代入目标输入。

1. 这一澄清是由分析师从图中可见的对比得出的，并非首段中作为明确警告陈述的。

人们可能认为 $x=7$ 处的极限应该等于在 $x=7$ 处显示的孤立实心点的 y 值。

在此示例中，极限是从周围曲线趋近 $y=0$ 处的空心圆读取的，而实心点代表间断处的单独函数值。

1. 声音
   观察依据

   任务关注目标附近的输出趋势。

2. 动画
   观察依据

   解决方案通过对附近的 x 值进行采样而不是正好在 $x=7$ 处求值来进行。

1. 这是基于视频中展示的方法由分析师得出的教学要点。

人们可能期望通过简单代入 $x=7$ 来找到极限。

视频转而通过观察 $x=7$ 附近输入的 $g(x)$ 趋势来确定极限，这是必要的，因为 $x=7$ 处的点与附近的曲线断开。

1. 声音
   观察依据

   讲解明确区分极限与函数值。

2. 公式
   观察依据

   黑板对比了 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$。

常见的错误是假设 $\lim_{x \to c} f(x)$ 必须等于 $f(c)$。

这个例子表明它们可以不同：极限是 0，但在 $x=7$ 处的实际值是 3。正是这种差异导致函数在那里不连续。

1. 声音
   观察依据

   讲解给出点间断与可去间断两种称呼。

1. 片段命名了不连续类型，但没有解释使其可去的正式标准，除了显示的不匹配之外。

学生可能将“点间断”和“可去间断”视为无关的术语。

在这段视频中，它们被呈现为同一种孤立断点的替代名称，其中极限存在但不同于分配的函数值。

1. 图示
   观察依据

   极限问题直接在 $x=7$ 处有可见间断的图像上提出。

2. 声音
   观察依据

   间断与极限问题对应同一个目标输入。

点间断的概念提供了应用图形极限方法的情况。

1. 公式
   观察依据

   显示的记号是 $\lim_{x \to 7} g(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解通过输入与输出的趋近解释记号。

极限记号的含义激发了对附近输入进行采样并观察输出趋势的方法。

1. 图示
   观察依据

   (7,0) 处的空心圆和 $x=7$ 上方的单独实心点在整个过程中都可见。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分孤立点与附近曲线的行为。

1. 实心点的确切坐标未标记。

图像对比了由空心圆代表的极限高度和代表间断的孤立实际点。

1. 动画
   观察依据

   示例通过在 $x=3$,4,5,6,6.5,6.9,6.99 处放置样本点进行。

2. 声音
   观察依据

   第一组采样输入小于目标。

示例应用左侧采样方法从图像估计极限。

1. 声音
   观察依据

   讲解把读图所得极限与指定值比较。

2. 公式
   观察依据

   通过写出 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$ 使关系变得明确。

读图极限是判断间断时比较的两个量之一，不意味着仅有左极限就足够。

1. 声音
   观察依据

   例子引出一般的连续性检查。

2. 公式
   观察依据

   画面中不相等的极限与点值说明连续性等式在本例失效；例子不是一般定理的证明。

$x=7$ 处的特定断点是更广泛连续性准则的一个实例：连续性需要极限和函数值相等。

1. 声音
   观察依据

   连续性检查涉及理解极限与点处函数值。

1. 这种先决条件关系是由分析师从测试结构中明确指出的，而不是由片段中单独的正式定理陈述指出的。

在应用将该极限与 $f(c)$ 进行比较的连续性测试之前，需要理解如何从图像读取极限。

1. 声音
   观察依据

   极限询问目标附近趋近的输出。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示表达式 $\lim_{x \to 7} g(x)$。

1. 此示例中极限记号的含义
2. 从图像估计极限

1. 图示
   观察依据

   显示了 (7,0) 处的空心圆和 $x=7$ 上方的单独实心点。

2. 声音
   观察依据

   讲解在考察附近函数值时讨论点间断。

1. 实心点的确切 y 坐标未标记。

1. 极限高度与实际点的图形区别
2. 图像上显示的点间断
3. 混淆极限与间断处的实际函数值

1. 声音
   观察依据

   讲解选取小于目标且逐渐靠近目标的输入。

2. 动画
   观察依据

   在 $x=3$,4,5,6,6.5,6.9,6.99 处添加了粉色点。

1. 从小于 7 的值趋近目标
2. 从样本输入读取极限的左侧趋近
3. 从具有点间断的图像查找 $\lim_{x \to 7} g(x)$

1. 公式
   观察依据

   完成的方程读作 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解指出趋近的输出为零。

1. 首段结束而未显示单独的右侧验证。

1. 屏幕上显示的极限等于 0
2. 从具有点间断的图像查找 $\lim_{x \to 7} g(x)$

1. 声音
   观察依据

   讲解转向考察另一侧。

1. 提供的部分中缺少后续内容。

1. 从样本输入读取极限的左侧趋近
2. 屏幕上显示的极限等于 0

1. 声音
   观察依据

   右侧采样展示输出高度趋近零。

2. 图示
   观察依据

   粉色引导标记显示趋近 x 轴的趋势。

1. 通过样本输入逼近来从图像估计极限

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $\lim_{x \to 7} g(x)=0$ 和 $g(7)=3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分附近趋势与点处函数值。

1. $x=7$ 处的点间断 / 可去间断
2. 通过比较极限和函数值进行连续性检查

1. 声音
   观察依据

   讲解在图中指出点间断或可去间断。

2. 图示
   观察依据

   (7,3) 处的孤立实心点远离曲线的极限高度 0。

1. $x=7$ 处的点间断 / 可去间断

1. 声音
   观察依据

   讲解比较极限与指定值以检查连续性。

1. 通过比较极限和函数值进行连续性检查