鞅详解

1. 公式
   观察依据

   幻灯片在鞅的正式定义中展示了序列记号 $M_0$, $M_1$, $\ldots$, $M_N$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“从 M 零、M 一到 M 大 N 的一个随机变量序列是一个鞅，当且仅当……”

$M_0$, $M_1$, $\ldots$, $M_N$

一个由离散时间步索引的有限随机变量序列，时间步从0到 N。

离散时间索引 $n = 0$, 1, $\ldots$, N

1. 公式
   观察依据

   该公式使用索引 n，并指定了对所有 $n = 0$, 1, $\ldots$, N - 1 成立的范围。

2. 声音
   观察依据

   讲述者解释道，该条件需对小写 n 从零一直到大写 N 减一的所有取值均成立。

n

鞅序列中当前的离散时间步索引。

n 等于0、1，……，N 减1

1. 公式
   观察依据

   该公式显示为 $\mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将其描述为：在已进行 n 次抛掷的前提下，对再进行 n 加一次抛掷后所得随机变量的期望值。

$\mathbb{E}_n[\cdot]$

以第 n 步（即 n 次硬币抛掷后）所掌握的信息为条件的条件期望算子。

作用于序列中的随机变量，具体为 $M_{n+1}$

1. 公式
   观察依据

   该公式在条件期望内部包含 $M_{n+1}$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将其称为经过 n 加一次抛掷后的随机变量。

$M_{n+1}$

该随机变量表示过程在下一个时间步 $n+1$ 处的取值。

n 加 1 等于 1、2，……，N

1. 公式
   观察依据

   幻灯片展示了不等式 $M_n$ ≤ 𝔼_n[$M_{n+1}$] 和 $M_n$ ≥ 𝔼_n[$M_{n+1}$] 中的 $M_n$。

$M_n$

随机过程在时刻 n 的取值。

时间指标为 n；本片段未明确说明其底层状态空间。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片在下鞅和上鞅的定义中均使用了符号 𝔼_n[·]。

1. 条件信息集或滤波未在幻灯片中显式写出。

$\mathbb{E}_n$

给定时刻 n 可获得的信息所作的条件期望。

应用于未来的随机变量，例如 $M_{n+1}$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片注明“利率为 $r = 0.1$”，随后使用了 ($1+r$)^2 和 ($1+r$)^3。

2. 声音
   观察依据

   讲述者称利率 r 为 10%，即 0.1。

r

用于贴现的每期利率。

此处 $r = 0.1$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片给出 $S_2 = 100$，随后计算 $\frac{S_2}{(1+r)^2}$。

$S_2$

时间2的股票价格。

此处 $S_2 = 100$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $S_3(H) = 120$，随后计算 $\frac{S_3(H)}{(1+r)^3}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说，若抛硬币结果为正面，则股价上涨至120。

$S_3(H)$

正面情形下时间3的股票价格。

此处 $S_3(H) = 120$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $S_3(T) = 90$，随后计算 $\frac{S_3(T)}{(1+r)^3}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说，若抛硬币结果为反面，则股价下跌至90。

$S_3(T)$

反面情形下时间3的股票价格。

此处 $S_3(T) = 90$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $u = \frac{120}{100} = 1.2$。

u

正面分支中从时间2到时间3的上涨因子。

此处 $u = 1.2$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $d = \frac{90}{100} = 0.9$。

d

尾部分支中从时刻 2 到时刻 3 的下降因子。

此处 $d = 0.9$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片呈现了形式化定义：随机变量序列 $M_0$, $M_1$, $\ldots$, $M_N$ 是一个鞅，当且仅当：$M_n = \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$ 对所有 $n = 0$, 1, $\ldots$, N - 1。

2. 声音
   观察依据

   讲述者陈述了该定义，并解释每个 $M_n$ 仅依赖于前 n 次抛硬币的结果，称其为一个适应过程。

鞅是一列随机变量，其在给定所有先前信息的条件下，下一个变量的期望值等于当前变量的取值；此外，该过程必须是适应的，即每一步的取值仅依赖于截至该步所能获得的信息。

1. 该序列必须是适应的。

2. 该等式必须对从 0 到 N-1 的所有时间步成立。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：次鞅满足 $M_n \leq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者解释道，这意味着该过程在期望意义下倾向于上升，或至少不会下降。

下鞅是一种随机过程，其在给定当前信息的条件下，下一时刻状态的期望值大于或等于当前状态。这意味着该过程随时间推移具有上升的趋势。

1. 该不等式必须对所有相关的时间步长成立。

1. 鞅的形式化定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：上鞅满足：$M_n \geq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$

2. 声音
   观察依据

   讲解者开始解释上鞅的定义，但视频片段在此处结束。

1. 关于上鞅的音频讲解在视频片段结尾处被截断。

上鞅是一种随机过程，其在给定当前信息的条件下，下一时刻状态的期望值小于或等于当前状态。这意味着该过程随时间推移具有下降的趋势。

1. 该不等式必须对所有相关的时间步长成立。

1. 鞅的形式化定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题为“下鞅与上鞅”，项目符号为“下鞅满足：”，公式为 $M_n \leq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员称该过程在期望意义下趋于上升，或至少不下降。

下鞅是一种随机过程，其当前值不大于其条件期望的下一个值。幻灯片将此概括为：在期望意义下趋于上升，或至少不下降。

1. 适用于在离散时刻观测的过程 $M_n$。

2. 期望值是基于时刻 n 所掌握的信息的条件期望。

1. $M_n$
2. $\mathbb{E}_n$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片要点：“一个上鞅满足：”后接公式 $M_n \geq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，该过程在期望意义下倾向于减小，或至少不增大。

上鞅是一种随机过程，其当前取值至少为其下一时刻取值的条件期望。幻灯片将此概括为：在期望意义下倾向于减小，或至少不增大。

1. 适用于在离散时刻观测的过程 $M_n$。

2. 期望值是基于时刻 n 所掌握的信息的条件期望。

1. $M_n$
2. $\mathbb{E}_n$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“这些定义将鞅条件推广，以允许存在方向性漂移。”

2. 声音
   观察依据

   讲解员重申，这些定义将鞅条件推广，以允许存在方向性漂移。

本片段将下鞅和上鞅呈现为鞅等式条件的放宽形式：用单侧不等式替代等式，从而使过程在条件期望中可具有向上或向下的漂移。

1. 鞅情形对应的是等式而非不等式。

2. 该陈述在视频片段中仅作概念性介绍，未给出证明。

1. 下鞅的定义。
2. 上鞅的定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示“计算风险中性概率：”，后接公式 $p = \frac{(1+r)-d}{u-d}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员表示，他们此前已通过该 p 的公式学习过如何计算风险中性概率。

对于上行因子为 u、下行因子为 d、每期利率为 r 的单步二叉树模型，上行运动的风险中性概率由公式 $p = ((1+r)-d)/(u-d)$ 计算得出。

1. 此处使用该公式时，设 $u = 1.2$，$d = 0.9$，$r = 0.1$。

2. 视频片段未重述该公式成立所依赖的全部假设条件。

1. u
2. d
3. r
4. p

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题为“第1步：计算折现值”，并列出 ($1+r$)^$2 = 1.21$，($1+r$)^$3 = 1.331$，以及比值 $S_2/(1+r)^2$、$S_3(H)/(1+r)^3$、$S_3(T)/(1+r)^3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，第一步是计算折现值，并提到要将未来值折现回当前时刻。

为检验折现后股价的鞅性质，视频片段首先将未来的名义价格除以 ($1+r$) 的若干次幂，转化为折现值。

1. 本例中使用了 $t = 2$ 和 $t = 3$。

2. 贴现因子基于每期相同的利率 r。

1. r
2. $S_2$
3. $S_3(H)$
4. $S_3(T)$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题为“第2步：计算期望贴现值”，公式为 $\mathbb{E}_2[\frac{S_3}{(1+r)^3}] = \frac{2}{3}\cdot 90.16 + \frac{1}{3}\cdot 67.62 = 82.64$。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出，第二步是在时刻2计算股票价格在时刻3的期望贴现值，然后将其与时刻2的贴现值进行比较。

该片段通过计算时刻 2 的折现后时刻3 股票价格的条件期望，并检验其是否等于时刻 2 的折现后股票价格，来验证鞅性质。

1. 该期望是在风险中性概率 $p = 2/3$下取的。

2. 本例中以等式两边相等作为验证标准。

1. 将未来股票价格折现为现值
2. 二叉树单步模型中的风险中性概率公式

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题“时间一致性：”，后接$M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$对所有$n \le m$成立。

2. 声音
   观察依据

   讲述者：“首先，时间一致性。这意味着在给定今日信息的条件下，未来值的期望值恒等于今日的值。”

视频呈现了鞅的一个定义性质：在较早时刻所掌握的信息条件下，未来值的条件期望等于当前值。通俗地说，用今日信息对未来值所做的最优预测，就是今日的值。

1. 该性质对所有满足$n \le m$的时刻对均成立。

2. 该期望值是以时刻 n 所掌握的信息为条件的。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题“常数期望值：”，后接$\mathbb{E}[M_n] = M_0$对所有$n$成立。

2. 声音
   观察依据

   旁白：'且期望值恒定。无条件期望值随时间保持不变。'

视频指出，鞅的无条件期望值不随时间变化，始终等于其初始值。

1. 该性质适用于离散时间设定中所示的所有时刻 n。

2. 这是无条件期望值，而非条件期望值。

1. 鞅的时间一致性性质

1. 公式
   观察依据

   幻灯片要点：'公允价值在时间维度与路径维度上均得以保持。'

2. 声音
   观察依据

   旁白：'这些性质确保了公允价值在时间维度与路径维度上均得以保持。'

在列出两条性质之后，视频从经济学角度对其进行解释：二者共同表达了公允价值既随时间推移而保持，也在不同实现路径之间保持。

1. 这是对前述鞅性质的一种解释。

1. 鞅的时间一致性性质
2. 鞅的常数期望值性质

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，风险中性概率正是被选定为使折现价格过程成为鞅，而这恰恰定义了风险中性概率——并非由历史数据或投资者信念所决定。

2. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片文字显示：‘我们选择风险中性概率，正是为了使折现价格过程成为鞅’以及‘这正是其定义所在：不是历史数据或投资者信念，而是要求折现价格表现得像公平博弈。’

风险中性概率是指为确保任意资产的折现价格过程是鞅而特别选定的一组概率。

1. 我们正在风险中性估值框架下进行分析。

2. 价格按无风险利率折现。

适用于任意资产。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片结论为：“因此，在风险中性概率下，贴现后的股票价格是一个鞅”，其中 $p = 2/3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，在风险中性概率 p 等于三分之二时，贴现后的股票价格确实构成一个鞅。

在所求得的风险中性概率 $p = 2/3$下，贴现后的股票价格过程在给定的两期到三期例子中是一个鞅。

1. r 等于0.1。

2. $S_2 = 100$.

3. $S_3(H) = 120$，且 $S_3(T) = 90$。

4. $u = 1.2$，且 $d = 0.9$。

5. p 由风险中性公式确定。

针对视频片段中展示的具体数值二叉树示例。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“若折现后的财富过程在风险中性测度下是鞅”，其子要点为：“则不可能存在套利”以及“这直接导出风险中性定价公式”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员：“准确地说，若折现后的财富过程在风险中性测度下是鞅，则不可能存在套利。这直接导出风险中性定价公式。”

1. 本视频片段未明确写出“折现财富过程”或“风险中性测度”的形式化定义。

若折现财富过程在风险中性测度下是一个鞅，则不存在套利机会，且这直接导出风险中性定价公式。

1. 存在一个折现财富过程。

2. 该过程在风险中性测度下是一个鞅。

这是针对幻灯片所述设定所表述的一般性蕴含关系。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片要点：“该公式成立，是因为折现价值过程在风险中性测度下是鞅——由构造保证。”

2. 声音
   观察依据

   旁白：“该公式成立，是因为折现价值过程在风险中性测度下是鞅，由构造保证。”

1. 屏幕上显示的句子存在语法错误：‘work’应为‘works’；而口述内容使用的是正确的‘works’。

风险中性定价公式成立，是因为折现价值过程在风险中性测度下是鞅，由构造保证。

1. 折现价值过程在风险中性测度下是一个鞅。

作为前述公式在所讨论框架中成立的理由。

1. 公式
   观察依据

   回顾幻灯片要点：「风险中性定价公式既适用于单笔支付，也适用于完整的现金流序列。」

2. 声音
   观察依据

   旁白：「风险中性定价公式既适用于单笔支付，也适用于完整的现金流序列。」

1. 该片段仅通过口头陈述和回顾幻灯片说明了这一推广；并未展示多期现金流版本的公式。

风险中性定价公式既适用于单笔支付，也适用于完整的现金流序列。

1. 风险中性定价框架已如前几张幻灯片所述建立完毕。

在回顾中被表述为一项适用范围声明。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $u = 120/100 = 1.2$，$d = 90/100 = 0.9$，然后 $p = (1.1 - 0.9)/(1.2 - 0.9) = 0.2/0.3 = 2/3$ ≈ 0.666。

2. 声音
   观察依据

   旁白称，将 u、d 和 r 代入 p 的公式，得到结果为三分之二。

1. 公式

   $$u = \frac{120}{100} = 1.2$$
   解释

   从时刻2的价格计算至正面（H）时刻3价格的上升因子。

   步骤依据

   直接代入给定的股票价格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$d = \frac{90}{100} = 0.9$$
   解释

   从时刻2的价格计算至反面（T）时刻3价格的下降因子。

   步骤依据

   直接代入给定的股票价格。

   视频直接表达
3. 公式

   $$p = \frac{(1+r)-d}{u-d}$$
   解释

   写出风险中性概率公式。

   步骤依据

   幻灯片上列出并由讲解员提及的公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$p = \frac{1.1 - 0.9}{1.2 - 0.9} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$$
   解释

   代入 $r = 0.1$、$u = 1.2$、$d = 0.9$，并化简。

   步骤依据

   对屏幕上显示的表达式进行算术化简。

   视频直接表达

向上移动的风险中性概率为 $p = 2/3$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 ($1+r$)^$2 = 1.21$、($1+r$)^$3 = 1.331$，然后 $S_2/(1+r)^2 = 100/1.21$ ≈ 82.64、$S_3(H)/(1+r)^3 = 120/1.331$ ≈ 90.16、$S_3(T)/(1+r)^3 = 90/1.331$ ≈ 67.62。

2. 声音
   观察依据

   讲解员口述折现值 82.64、90.16 和 67.62。

1. 公式

   $$(1+r)^2 = 1.21, \quad (1+r)^3 = 1.331$$
   解释

   计算时间 2 和 3 对应的折现因子。

   步骤依据

   将 $r = 0.1$ 代入 ($1+r$) 的幂次运算中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{S_2}{(1+r)^2} = \frac{100}{1.21} \approx 82.64$$
   解释

   将时间 2 的股票价格折现回当前时刻。

   步骤依据

   使用给定的 $S_2 = 100$ 和已计算出的贴现因子。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{S_3(H)}{(1+r)^3} = \frac{120}{1.331} \approx 90.16$$
   解释

   对正面分支在时刻 3 的股票价格进行贴现。

   步骤依据

   使用给定的 $S_3(H) = 120$ 和已计算出的贴现因子。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{S_3(T)}{(1+r)^3} = \frac{90}{1.331} \approx 67.62$$
   解释

   对反面分支在时刻 3 的股票价格进行贴现。

   步骤依据

   使用给定的 $S_3(T) = 90$ 和已计算出的贴现因子。

   视频直接表达

折现后的值在时刻 82.64 约为 2，90.16 在时刻 的正面分支中3，且67.62 在时刻 的反面分支中3。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $\mathbb{E}_2[\frac{S_3}{(1+r)^3}] = \frac{2}{3}\cdot 90.16 + \frac{1}{3}\cdot 67.62 = 82.64$，随后指出该结果与 $\frac{S_2}{(1+r)^2} = 82.64$ 一致。

2. 声音
   观察依据

   讲解员用概率 $2/3$ 和 $1/3$ 解释加权平均，并指出结果与早先在时刻 2 计算出的贴现值一致。

1. 公式

   $$\mathbb{E}_2\left[\frac{S_3}{(1+r)^3}\right] = \frac{2}{3}\cdot 90.16 + \frac{1}{3}\cdot 67.62$$
   解释

   在时刻 取条件期望2，计算经风险中性概率折现后的时刻-3 价格。

   步骤依据

   根据两结果模型中期望的定义，其概率为 $p = 2/3$ 和 $1-p = 1/3$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= 82.64$$
   解释

   计算该加权和。

   步骤依据

   幻灯片上展示的算术化简过程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{S_2}{(1+r)^2} = \frac{100}{1.21} \approx 82.64$$
   解释

   与之前计算出的时间2处的折现值进行比较。

   步骤依据

   复用步骤1的结果。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\mathbb{E}_2\left[\frac{S_3}{(1+r)^3}\right] = \frac{S_2}{(1+r)^2}$$
   解释

   得出当前折现值与预期未来折现值相等的结论。

   步骤依据

   在本例中，等式两边均等于82.64。

   视频直接表达

在本例中，当风险中性概率取 $p = 2/3$ 时，折现后的股票价格满足鞅条件。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片首先列出「时间一致性」和「常数期望」，随后添加要点：「公允价值在时间和路径上均得以保持。」

2. 声音
   观察依据

   旁白逐一解释每个性质，然后指出这些性质共同确保公允价值在时间和路径上均得以保持。

1. 公式

   $$M_n = \mathbb{E}_n[M_m] \quad \text{for all } n \le m$$
   解释

   视频将时间一致性作为鞅的首个关键性质予以介绍。

   步骤依据

   直接在幻灯片上显示并朗读。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathbb{E}[M_n] = M_0 \quad \text{for all } n$$
   解释

   随后引入常数期望值作为第二条关键性质。

   步骤依据

   直接在幻灯片上显示并朗读。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   在列出这两条性质后，讲述者得出结论：它们保证了公平价值在时间维度和路径维度上的守恒。

   步骤依据

   同一张幻灯片上明确呈现的总结性要点及对应讲解。

   视频直接表达

该片段阐释了两个鞅性质的经济含义，即公平价值在时间维度和路径维度上的守恒。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片从贴现财富过程所满足的条件出发，过渡到所展示的公式$V_n = \mathbb{E}_n\left[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}\right]$，再进一步引出理由性要点。

2. 声音
   观察依据

   讲述者指出鞅条件直接导出风险中性定价公式，随后陈述该公式并解释其成立原因。

1. 本片段未逐步展示从贴现价值过程的鞅性质推导出显式定价公式的中间代数过程。

1. 公式

   $$$$
   解释

   视频从“贴现财富过程在风险中性测度下是鞅”这一假设出发。

   步骤依据

   在‘无套利与风险中性定价’幻灯片上明确陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   它指出，该条件排除了套利机会，并为后续的定价规则提供了依据。

   步骤依据

   旁白与幻灯片要点分别陈述：‘此时不存在套利机会’以及‘这直接导出风险中性定价公式’。

   视频直接表达
3. 公式

   $$V_n = \mathbb{E}_n\left[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}\right]$$
   解释

   该片段随后写出在时刻 n 对时刻 N 到期的衍生品收益 $V_N$ 所适用的具体风险中性定价公式。

   步骤依据

   所展示的公式与旁白内容一致。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   最后，视频解释该公式成立的原因在于：按风险中性测度构造时，折现后的价值过程是一个鞅。

   步骤依据

   明确的论证要点与旁白说明。

   视频直接表达

该片段呈现一种概念性推导：在风险中性测度下，折现值具有鞅性质，由此得出所展示的风险中性定价公式。

1. 公式
   观察依据

   从“验证鞅条件”幻灯片开始直至最终结论的整套幻灯片序列，构成了完整的演算示例。

2. 声音
   观察依据

   讲解员引入一个使用风险中性概率验证鞅条件的示例，并逐步演示全部步骤。

给定一个从时间2到时间3的单期二叉树变动，计算风险中性概率，并检验折现后的股票价格是否构成鞅。

1. 无风险利率为 $r = 0.1$。

2. 时间2时的股票价格为 $S_2 = 100$。

3. 在时刻3，该股票价格可能上涨至 $S_3(H) = 120$，也可能下跌至 $S_3(T) = 90$。

4. 上涨因子与下跌因子分别为 $u = 1.2$ 和 $d = 0.9$。

证明：在风险中性概率 $p = 2/3$ 下，贴现后的股票价格是一个鞅。

1. 公式

   $$p = \frac{(1+r)-d}{u-d} = \frac{1.1-0.9}{1.2-0.9} = \frac{2}{3}$$
   解释

   计算上涨走势的风险中性概率。

   步骤依据

   应用屏幕上显示的风险中性概率公式，并代入给定数值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(1+r)^2 = 1.21, \quad (1+r)^3 = 1.331$$
   解释

   计算现值计算所需的贴现因子。

   步骤依据

   直接计算，其中 $r = 0.1$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{S_2}{(1+r)^2} = \frac{100}{1.21} \approx 82.64$$
   解释

   对时刻2的股票价格进行贴现。

   步骤依据

   使用幻灯片中所示的贴现值定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{S_3(H)}{(1+r)^3} = \frac{120}{1.331} \approx 90.16, \quad \frac{S_3(T)}{(1+r)^3} = \frac{90}{1.331} \approx 67.62$$
   解释

   对两种可能的时刻3股票价格分别进行贴现。

   步骤依据

   对每一分支均采用相同的贴现规则。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\mathbb{E}_2\left[\frac{S_3}{(1+r)^3}\right] = \frac{2}{3}\cdot 90.16 + \frac{1}{3}\cdot 67.62 = 82.64$$
   解释

   利用风险中性概率，计算时刻3贴现值的期望值。

   步骤依据

   一个两状态模型中的期望值，其概率分别为$2/3$和$1/3$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$82.64 = \frac{S_2}{(1+r)^2}$$
   解释

   将预期的折现未来价值与当前折现价值进行比较。

   步骤依据

   上述两个量已在前文计算得出，且在本例中相等。

   视频直接表达

是的。在 $p = 2/3$ 下，折现股价是一个鞅，因为 $\mathbb{E}_2[S_3/(1+r)^3] = S_2/(1+r)^2 = 82.64$。

验证过程即幻灯片上所展示的：时刻2的折现值与时刻3的折现值的条件期望值显式相等。

1. 动画
   观察依据

   本视频由一系列演示幻灯片构成，叙述者讲话时，项目符号逐条依次呈现。

1. 演示幻灯片

2. 项目符号

3. 数学公式

1. 新的项目符号和公式随叙述同步出现在屏幕上。

2. 幻灯片标题随之切换，以反映当前主题（例如：〔Martingales〕、〔Risk-neutral valuation〕、〔Formal definition〕）。

1. 整体视觉风格保持不变（白底蓝字，右上角带标识）。

视觉结构引导观众理解所介绍数学概念的逻辑演进过程。

1. 图示
   观察依据

   一张白色幻灯片，深蓝色标题为“下鞅与上鞅”，列出两条定义，随后添加第三条关于推广鞅条件的要点。

1. 标题文字

2. 两条带不等式的要点

3. 第三条解释性要点

1. 第三条要点在前两条定义显示之后出现。

1. 当第三条解释性要点添加时，前两条定义所对应的不等式仍保持可见。

视觉布局将下鞅条件与上鞅条件并排对比，再说明它们与鞅的关系。

1. 图示
   观察依据

   新幻灯片标题为“验证鞅条件”，依次展示假设、风险中性公式，以及 u、d 和 $p = 2/3$。

1. 假设要点

2. 风险中性概率公式

3. 计算得出的 u、d 和 p 的值

1. 文字内容逐步呈现：从假设，到公式，再到数值代入。

1. 幻灯片标题保持固定，而内容逐层累积。

逐层呈现顺序对应解题步骤：先定义市场数据，再计算鞅检验所需的概率测度。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片重置为“检验折现后股价在 $p = 2/3$ 下是否为鞅”，并添加“步骤1：计算折现值”，含三项分数运算。

1. 步骤标题

2. 贴现因子

3. 三个贴现价格表达式

1. 贴现因子列在前面，随后是三个贴现值公式。

1. 所有计算均使用相同的利率 $r = 0.1$。

视觉顺序将现值的准备工作与后续的期望值计算分离开来。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片切换至“步骤2：计算期望贴现值”，先展示加权期望，再添加对应的贴现值及总结句。

1. 期望值公式

2. 对应的贴现值

3. 最终结论文字

1. 先展示期望值，再展示比较语句，最后得出贴现后的股票价格是一个鞅的结论。

1. 概率权重 $2/3$ 和 $1/3$ 在整个计算过程中保持不变。

该幻灯片以可视化方式呈现验证逻辑：计算条件期望，将其与当前的折现值进行比较，从而推断鞅性质。

1. 图示
   观察依据

   一张新幻灯片出现，标题为“鞅的关键性质”，但正文部分尚无文字。

2. 声音
   观察依据

   讲述者开始说道：“鞅具有两个强大性质，使其……”，随后片段结束。

1. 本片段中未陈述这两条性质。

1. 仅出现新幻灯片标题

1. 此前的例题消失，取而代之的是一个新章节标题。

1. 除标题外，尚未显示任何数学内容。

这是章节过渡；所承诺的性质仅在本片段结束后才被引入。

1. 图示
   观察依据

   一张白色幻灯片标题为‘鞅的关键性质’，其要点与公式逐条渐进式呈现。

2. 动画
   观察依据

   文字分阶段出现：首先显示标题，接着是‘时间一致性’，然后是其对应公式与解释；随后是‘常数期望值’，再是其对应公式与解释；最后是公允价值结论。

1. 标题‘鞅的关键性质’

2. 要点‘时间一致性：’

3. 公式$M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$对所有$n \le m$成立

4. 子条目：“预期未来值在给定今日信息下的条件期望等于今日的值”

5. 条目：“常数期望性：”

6. 公式$\mathbb{E}[M_n] = M_0$对所有$n$成立

7. 子条目：“无条件期望值随时间保持不变”

8. 条目：“公允价值在时间和各种路径上均得以保持”

1. 新行依次出现，对应讲解者逐个引入各个概念。

2. 幻灯片内容逐条累积，从第一个性质开始，直至最后的公允价值结论完整呈现。

1. 背景始终保持纯白色。

2. 标题一旦显示，便固定于顶部不再移动。

视觉呈现顺序与授课顺序一致：先定义两个鞅性质，再对其作经济含义解读。

1. 图示
   观察依据

   一张新幻灯片出现，标题为“无套利与风险中性定价”，随后逐步填充条目和公式。

2. 动画
   观察依据

   关于折现财富过程的条件首先出现，接着是衍生品定价的设定与公式，最后是理由要点。

1. 标题：'无套利与风险中性定价'

2. 要点：'若折现财富过程在风险中性测度下是一个鞅'

3. 子要点：'则不可能存在套利'

4. 子要点：'这直接导出风险中性定价公式'

5. 设定行：'设$V_N$为某衍生品在时刻N的到期收益。则其在时刻n的价格为：'

6. 公式$V_n = \mathbb{E}_n\left[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}\right]$

7. 要点：'该公式成立，是因为折现价值过程在风险中性测度下是鞅——这是由构造方式保证的'

1. 本页幻灯片从上一主题过渡到新标题。

2. 文字内容分阶段呈现：从假设，到公式，再到理由。

1. 版式保持简洁的项目符号列表，背景为纯白色。

2. 不显示任何图表或图像，仅呈现文字与公式。

视觉序列编码了逻辑顺序：先假设折现财富过程是鞅，再推断出无套利，然后写出定价公式并加以论证。

1. 图示
   观察依据

   最后一张幻灯片标题为‘回顾’，列出四条总结要点。

2. 动画
   观察依据

   回顾内容在幻灯片出现时即已完全可见，并保持静态直至结束。

1. 标题‘回顾’

2. 要点‘鞅表达了公允价值的思想——无漂移、无套利’

3. 要点‘我们选择风险中性概率，使得折现价格成为鞅’

4. 要点‘这导出一致的定价公式与可复制的对冲策略’

5. 要点‘风险中性定价公式既适用于单笔支付，也适用于完整的现金流序列’

1. 幻灯片从定价页切换至回顾页。

2. 回顾页出现后，不再有任何进一步的视觉添加。

1. 全部四个回顾要点始终同时显示，直至结尾。

2. 演示风格保持纯文本形式。

回顾内容将本片段的论证链条加以整合：从鞅的性质出发，推导出定价与对冲含义。

1. 声音
   观察依据

   讲述者明确将风险中性概率与‘历史数据或投资者信念’进行对比。

2. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片文字写道：‘并非历史数据或投资者信念’。

风险中性概率代表的是实际的历史频率，或是投资者对未来市场走势的主观信念。

风险中性概率是一种纯数学构造，其定义仅依赖于一个要求：即贴现后的资产价格过程需表现为公平博弈（即鞅），而与真实世界中的概率或投资者情绪无关。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字明确指出：这些定义将鞅条件推广，以允许存在方向性漂移。

2. 声音
   观察依据

   讲述者重复了完全相同的措辞。

人们或许会认为下鞅和上鞅与鞅毫无关联，或仅仅是风格上的变体。

该片段指出，它们通过将等式替换为单侧不等式，推广了鞅的条件，从而允许条件期望具有向上或向下的漂移。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片分别展示$M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$和$\mathbb{E}[M_n] = M_0$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者对比了‘以今日为条件’与‘无条件期望值随时间保持不变’。

有人可能将所展示的两个期望等式视作同一命题。

第一个等式以时刻 n 所掌握的信息为条件，并关联不同时刻 n 与 m；第二个等式是无条件期望，表明均值水平恒等于初始值$M_0$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片指出鞅条件‘直接导出风险中性定价公式’，但未展示中间代数推导过程。

2. 声音
   观察依据

   讲述者直接断言该推论成立，随后给出公式，而未提供详细证明。

观众可能误以为本视频完整推导了从鞅性质到定价公式的全过程。

本片段从概念上断言了这种联系：折现价值过程在风险中性测度下是鞅，这一事实被作为该公式成立的理由，但中间推导过程并未写出。

1. 声音
   观察依据

   讲述者解释道，风险中性定价依赖于使贴现价格过程成为鞅。

鞅这一数学概念被应用于金融领域，以定义风险中性概率并实现资产的公允定价。

1. 公式
   观察依据

   下鞅的定义采用与鞅相同的条件期望结构，但不等式为‘小于或等于’。

下鞅是鞅的一种推广形式，其中等式条件被放宽为不等式，表明其期望值具有向上漂移的特征。

1. 公式
   观察依据

   上鞅的定义采用与鞅相同的条件期望结构，但不等式为‘大于或等于’。

上鞅是鞅的一种推广形式，其中等式条件被放宽为不等式，表明其期望值具有向下漂移的特征。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“这些定义推广了鞅的条件，以允许存在方向性漂移。”

下鞅不等式被呈现为鞅等式条件在向上方向的一种松弛。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“这些定义推广了鞅的条件，以允许存在方向性漂移。”

上鞅不等式被呈现为鞅等式条件在向下方向的一种松弛。

1. 公式
   观察依据

   首先引入风险中性公式，然后在期望验证中使用 $p = 2/3$。

2. 声音
   观察依据

   解说员表示，他们将验证在 p 等于三分之二的条件下，折现后的股票价格是否构成一个鞅。

所计算出的风险中性概率，正是进行鞅验证所依据的概率测度。

1. 公式
   观察依据

   步骤1计算折现值；步骤2将这些折现值代入条件期望中。

期望验证依赖于先前进行的折现值计算。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片首先呈现$M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$，然后将$\mathbb{E}[M_n] = M_0$作为另一关键性质呈现。

2. 声音
   观察依据

   讲解者在介绍时间一致性后，立即引入常数期望性质。

1. 视频未明确证明第二个恒等式由第一个恒等式推出；这一关系被作为标准背景知识直接给出。

在标准鞅理论中，对时间一致性恒等式取无条件期望，即可得到常数期望性质。本片段虽同时呈现了这两个事实，但并未详述这一推导过程。

1. 公式
   观察依据

   结论性要点‘公允价值在时间和路径上均保持不变’出现在同一张幻灯片上两个性质要点之后。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘这些性质确保公允价值在时间和路径上均保持不变。’

视频利用鞅性质来佐证公允价值保持不变这一经济解释。

1. 公式
   观察依据

   同一张幻灯片上，两个性质要点之后均跟随相同的结论性公允价值要点。

2. 声音
   观察依据

   讲解者在陈述公允价值保持不变之前，以复数形式提及‘这些性质’。

常数期望性质也是本视频对公允价值进行解释的基础之一。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片明确指出，鞅型折现财富条件‘直接导出风险中性定价公式’，随后展示了该公式。

2. 声音
   观察依据

   讲述者用语言重复了相同的逻辑推断。

该片段将无套利鞅条件作为所展示定价公式的概念基础。

1. 公式
   观察依据

   在展示$V_n = \mathbb{E}_n\left[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}\right]$之后，幻灯片补充说明：“该公式成立，是因为折现价值过程在风险中性测度下是一个鞅——这是构造所得。”

2. 声音
   观察依据

   讲述者给出了相同的理由。

在该片段的讲解中，定价公式的有效性被等同于“折现价值过程在风险中性测度下是一个鞅”这一命题。

1. 公式
   观察依据

   给出了鞅的严格定义。

1. 鞅的形式化定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明了如何选取风险中性概率，使得折现后的价格构成一个鞅。

1. 风险中性概率的定义

1. 公式
   观察依据

   分别给出下鞅和上鞅的定义，并附上各自对应的不等式。

1. 下鞅的定义
2. 上鞅的定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片直接以下鞅定义：$M_n \leq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。

1. 下鞅的定义。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片直接用 $M_n \geq \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$ 定义上鞅。

1. 上鞅的定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片给出 $p = ((1+r)-d)/(u-d)$，并代入数值得到 $2/3$。

1. 二叉树单步模型中的风险中性概率公式
2. 该示例中风险中性概率的推导

1. 公式
   观察依据

   幻灯片比较 $E_2[S_3/(1+r)^3]$ 与 $S_2/(1+r)^2$，并得出二者相等。

1. 通过比较条件期望与当前贴现值来检验鞅条件。
2. 验证贴现后的股票价格满足鞅条件。
3. 本例题的结论。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片指出，这些定义将鞅条件推广，以允许存在方向性漂移。

1. 下鞅与上鞅作为鞅的推广
2. s150-rel-submart-generalizes-martingale
3. s150-rel-supermart-generalizes-martingale

1. 公式
   观察依据

   幻灯片与讲解以$M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$引入“时间一致性”。

1. 鞅的时间一致性性质

1. 声音
   观察依据

   旁白指出：在已知当前值的条件下，未来值的期望总是等于当前值。

1. 鞅的时间一致性性质

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示$\mathbb{E}[M_n] = M_0$对所有$n$成立。

1. 鞅的常数期望值性质

1. 公式
   观察依据

   幻灯片要点陈述：'公允价值在时间和路径上均保持不变。'

1. 将鞅的性质解释为公允价值的保持