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矩阵分配律例题：共同因子留在右边

均一教育平台 Junyi Academy · YouTube · 2:26

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视频中的要点

01矩阵
022x2 矩陣加法範例
03矩陣乘法右分配律

来自学习笔记

AC + BC = (A+B)C

矩阵

选中时刻

讀題與分析矩陣尺寸

建议预备知识

矩阵加法与维数匹配
矩阵乘法：左矩阵横行乘右矩阵竖列

阅读与收藏

把讲解展开来看。

已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

阅读完整概览

用具体 $2\times 2$ 矩阵例题说明共同右因子C如何保留在右侧，将AC+BC合并为( $A+B$ )C，再逐项完成加法和乘法。完整视频得到[[1,9],[3,-8]]。这是一道分配律应用例题，不是一般定理的证明；配套说明给出一般维数条件，并明确横行乘竖列的元素计算。

在学习检查器中查看要点和时刻，或切换阅读标签查看完整笔记。

章节

0:00讀題與分析矩陣尺寸 0:31應用矩陣乘法分配律 0:49計算矩陣加法

A+B

1:13題目分析與分配律應用 1:28矩陣乘法詳細計算 2:18結論與答案確認

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

题目要求AC+BC。先观察C在两项右边：把它保留在原位置，可将两项合并为( $A+B$ )C。

先将对应位置的元素相加，得到 $A+B=[[2,3],[1,-1]]$ ；接着用这个和右乘C，继续计算乘积。

乘积每个元素来自左矩阵的一条横行与右矩阵的一条竖列，对应相乘再相加。左上角是四减三得一，右上角是负六加十五得九。

第二横行同理：左下角二加一得三，右下角负三减五得负八，得到[[1,9],[3,-8]]。

本片完成具体运算。一般分配律的维数条件是A、B同为 $m\times n$ ，C为 $n\times p$ ；这是本站补充说明，不能把共同右因子移到左边。

知识卡片

01

矩阵

保留共同右因子，利用AC+BC=( $A+B$ )C完成本片 $2\times 2$ 例题；一般条件A、B为 $m\times n$ ，C为 $n\times p$ ，且原片没有一般证明。

AC + BC = (A+B)C

02

2x2 矩陣加法範例

兩個同階矩陣相加，只需將對應位置的元素相加即可。例如本題中計算 $A+B$ 的第一横行第一竖列元素為 $7 + (-5) = 2$ ，第一横行第二竖列元素為 -9 + $12 = 3$ 。

\begin{bmatrix} 7 & -9 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 & 12 \\ 6 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

03

矩陣乘法右分配律

當 AC、BC 及 $A+B$ 皆有意義時，AC + BC = ( $A+B$ )C。此性質允許我們將兩次矩陣乘法簡化為一次矩陣加法與一次矩陣乘法，特別適用於多個項共享同一個右側矩陣的情況。

AC + BC = (A+B)C

04

2x2 矩陣乘法計算規則

結果矩陣的第i横行、第j竖列元素，等於左矩陣的第i横行向量與右矩陣的第j竖列向量的內積。即對應元素相乘後求和。例如計算左上角元素時，需將左矩陣第一横行的兩個數分別乘以右矩陣第一竖列的兩個數，再將兩個積相加。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 6

A

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $A = \begin{bmatrix} 7 & -9 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$

符号

A

含义

已知 2x2 矩陣

适用范围

2x2 實數矩陣

B

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $B = \begin{bmatrix} -5 & 12 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$

符号

B

含义

已知 2x2 矩陣

适用范围

2x2 實數矩陣

C

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $C = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$

符号

C

含义

已知 2x2 矩陣

适用范围

2x2 實數矩陣

A

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $A = [[7, -9], [-5, 3]]$

符号

A

含义

已知矩陣 A

适用范围

2x2 矩陣

B

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $B = [[-5, 12], [6, -4]]$

符号

B

含义

已知矩陣 B

适用范围

2x2 矩陣

C

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $C = [[2, -3], [-1, 5]]$

符号

C

含义

已知矩陣 C

适用范围

2x2 矩陣

知识点 · 4

矩陣乘法右分配律

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。
公式
观察依据
畫面顯示 AC + BC = ( $A+B$ )C

公式

解释

當矩陣 A、B、C 的尺寸使得 AC、BC 及 $A+B$ 皆有意義時，可利用右分配律將 AC + BC 轉化為 ( $A+B$ )C，從而簡化計算。

公式

AC + BC = (A+B)C

适用条件

A、B同为 $m\times n$ 矩阵，C为 $n\times p$ 矩阵；本片三矩阵均为 $2\times 2$ 。
这里只演示具体例题；一般分配律作为已知规则使用，没有一般证明。

矩陣乘法的右分配律

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 AC + BC = ( $A+B$ )C
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

公式

解释

當 AC、BC 及 $A+B$ 皆有意義時，可以利用矩陣乘法的右分配律將 AC + BC 轉換為 ( $A+B$ )C 進行計算。

公式

AC + BC = (A+B)C

适用条件

A、B同为 $m\times n$ 矩阵，C为 $n\times p$ 矩阵；本片三矩阵均为 $2\times 2$ 。
这里只演示具体例题；一般分配律作为已知规则使用，没有一般证明。

矩陣加法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 $A+B$ 的計算過程與結果 [[2, 3], [1, -1]]
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

方法

解释

將兩個同階矩陣的對應位置元素相加，得到新的矩陣。

公式

适用条件

兩矩陣必須同階

矩陣乘法

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 ( $A+B$ )C 的展開計算過程
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

方法

解释

左矩阵的每条横行与右矩阵的每条竖列，对应元素相乘再相加，得到结果相应位置的元素。

公式

适用条件

左矩阵竖列数等于右矩阵横行数；本片均为 $2\times 2$ 。

推导与证明 · 2

利用分配律計算 AC+BC

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面逐步顯示代入矩陣並計算 $A+B$ 的過程
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

待核验内容

仅当前0–73秒分析段没有最终乘积；完整原片后续展示全部计算与答案。

严格证明

步骤

公式
$AC + BC = (A+B)C$
解释
應用矩陣乘法右分配律
步骤依据
矩陣乘法分配律
视频直接表达
公式
$= \left( \begin{bmatrix} 7 & -9 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 & 12 \\ 6 & -4 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$
解释
將已知矩陣 A、B、C 代入式子
步骤依据
題設條件
视频直接表达
公式
$= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$
解释
計算括號內的矩陣加法： $7+(-5)=2$ , -9+ $12=3$ , -5+ $6=1$ , $3+(-4)=-1$
步骤依据
矩陣加法定義
视频直接表达

结论

当前0–73秒段化简到( $A+B$ )C；完整视频后续得到[[1,9],[3,-8]]。

利用分配律簡化矩陣運算的推導

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面逐步顯示從 AC+BC 到最終結果的完整推導
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

严格证明

步骤

公式
$AC + BC = (A+B)C$
解释
應用矩陣乘法的右分配律，將原式轉化為先加後乘的形式。
步骤依据
矩陣乘法分配律
视频直接表达
公式
$A+B = [[7, -9], [-5, 3]] + [[-5, 12], [6, -4]] = [[2, 3], [1, -1]]$
解释
計算矩陣 A 與 B 的和，對應元素相加。
步骤依据
矩陣加法定義
视频直接表达
公式
$(A+B)C = [[2, 3], [1, -1]] * [[2, -3], [-1, 5]]$
解释
將求得的 $A+B$ 結果與矩陣 C 相乘。
步骤依据
代換
视频直接表达
公式
$(1,1):2*2 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1$
解释
計算結果矩陣左上角元素。
步骤依据
矩陣乘法定義
补充解释
公式
$(1,2):2*(-3) + 3*5 = -6 + 15 = 9$
解释
計算結果矩陣右上角元素。
步骤依据
矩陣乘法定義
补充解释
公式
$(2,1):1*2 + (-1)*(-1) = 2 + 1 = 3$
解释
計算結果矩陣左下角元素。
步骤依据
矩陣乘法定義
补充解释
公式
$(2,2):1*(-3) + (-1)*5 = -3 - 5 = -8$
解释
計算結果矩陣右下角元素。
步骤依据
矩陣乘法定義
补充解释

结论

AC + BC = [[1, 9], [3, -8]]

例题详解 · 2

矩陣運算例題

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示完整的題目與部分解答過程

待核验内容

仅当前0–73秒分析段没有最终乘积；完整原片后续展示全部计算与答案。

题目

已知矩陣 A, B, C，求 AC + BC 的值。

已知条件

$A = \begin{bmatrix} 7 & -9 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} -5 & 12 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$

目标

計算 AC + BC

步骤

公式
$AC + BC = (A+B)C$
解释
使用矩陣乘法分配律提取公因式 C
步骤依据
矩陣乘法右分配律
视频直接表达
公式
$A+B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
解释
對應元素相加計算 $A+B$
步骤依据
矩陣加法定義
视频直接表达

结果

当前0–73秒段只算完 $A+B$ ；完整原片后续得到[[1,9],[3,-8]]。

检验

本站独立复算 $A+B=[[2,3],[1,-1]]$ 及AC+BC=[[1,9],[3,-8]]，与原片完整最终答案一致。

矩陣乘法分配律應用例題

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面完整呈現題目條件與解答過程
声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

题目

已知矩陣 $A=[[7,-9],[-5,3]]$ 、 $B=[[-5,12],[6,-4]]$ 、 $C=[[2,-3],[-1,5]]$ ，求 AC+BC 的值。

已知条件

$A=[[7,-9],[-5,3]]$
$B=[[-5,12],[6,-4]]$
$C=[[2,-3],[-1,5]]$

目标

計算 AC+BC

步骤

公式
$AC + BC = (A+B)C$
解释
觀察到 AC、BC 及 $A+B$ 皆有意義，決定使用分配律簡化計算。
步骤依据
矩陣乘法右分配律
视频直接表达
公式
$A+B = [[2, 3], [1, -1]]$
解释
先執行矩陣加法，將 A 和 B 的對應元素相加。
步骤依据
矩陣加法
视频直接表达
公式
$(A+B)C = [[1, 9], [3, -8]]$
解释
將加法結果與 C 進行矩陣乘法運算，逐一計算四個位置的元素。
步骤依据
矩陣乘法
视频直接表达

结果

[[1, 9], [3, -8]]

检验

原片最终矩阵为[[1,9],[3,-8]]；本站独立算AC与BC再相加，也得到同一答案。

图示与动画 · 2

游標強調分配律結構

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黃色游標在 AC+BC=( $A+B$ )C 的 C 和 ( $A+B$ ) 上移動並圈選

图中对象

黃色圓形游標
公式 AC+BC=( $A+B$ )C

变化过程

游標移動並圈選公式中的特定部分

不变量

公式內容不變

数学含义

視覺上強調將共同的右乘矩陣 C 提取出來，剩餘 $A+B$ 的過程。

游標高亮引導視覺焦點

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黃色游標隨著講者的解說，在算式的不同數字間移動並高亮顯示

图中对象

黃色圓形游標
算式中的數字

变化过程

游標依序停留在正在計算的元素上

不变量

底層算式結構不變

数学含义

透過動態高亮幫助學習者追蹤複雜矩陣運算中各個元素的對應關係與計算進度。

概念关系 · 3

矩陣乘法右分配律 → 矩陣運算例題

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

应用

解释

矩陣乘法右分配律被應用於簡化該道矩陣運算例題。

矩陣乘法的右分配律 → 矩陣加法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面先寫出 AC+BC=( $A+B$ )C，接著計算 $A+B$

应用

解释

分配律的應用將問題轉化為需要先執行矩陣加法。

矩陣加法 → 矩陣乘法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面將 $A+B$ 的結果代入並與 C 相乘

应用

解释

矩陣加法的結果作為矩陣乘法的輸入之一繼續運算。

问题定位 · 4

矩陣乘法分配律如何用於簡化 AC+BC？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示 AC+BC=( $A+B$ )C

涉及知识点

矩陣乘法右分配律

如何進行 2x2 矩陣的加法運算？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
畫面顯示矩陣加法計算過程

涉及知识点

矩陣運算例題

什麼時候可以使用矩陣乘法的分配律來簡化 AC+BC 的計算？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解结合当前等式说明分配律应用、对应元素加法或横行乘竖列计算。

涉及知识点

矩陣乘法的右分配律

在進行 2x2 矩陣乘法時，如何確保行與列的元素對應正確不遺漏？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
游標跟隨計算步驟移動

涉及知识点

矩陣乘法

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 讀題與確認矩陣尺寸本地衔接说明：读题到分配律的相邻过渡包含在完整已提供音画内。

已覆盖 · 講解並應用矩陣乘法分配律本地衔接说明：该方法到代入数值的相邻过渡包含在完整已提供音画内。

已覆盖 · 代入數值並計算 $A+B$

已覆盖 · 介紹題目並應用分配律將 AC+BC 轉為 ( $A+B$ )C，完成矩陣加法計算。

已覆盖 · 詳細演示 ( $A+B$ ) 與 C 的矩陣乘法過程，逐一計算四個元素。

已覆盖 · 總結最終答案並結束講解。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

矩阵讲解定位 0:31
查看关联依据
保留共同右因子，利用AC+BC=( $A+B$ )C完成本片 $2\times 2$ 例题；一般条件A、B为 $m\times n$ ，C为 $n\times p$ ，且原片没有一般证明。