用矩阵左乘表示横行变换

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：題目給定的 $3\times 4$ 增廣矩陣，對應三元一次聯立方程組。 本站符号核对：方程第三横行的y系数为-3，但原画排版增广矩阵显示+3；按方程写对应增广矩阵时应使用-3。这里求的总左乘矩阵只由指定横行操作决定，不受这处排版符号不一致影响。

A

題目給定的 $3\times 4$ 增廣矩陣，對應三元一次聯立方程組。 本站符号核对：方程第三横行的y系数为-3，但原画排版增广矩阵显示+3；按方程写对应增广矩阵时应使用-3。这里求的总左乘矩阵只由指定横行操作决定，不受这处排版符号不一致影响。

$3\times 4$ 矩陣

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：對 A 施行步驟 1 的兩個横行運算後得到的中間矩陣。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：對 A 施行步驟 1 的兩個横行運算後得到的中間矩陣。

B

對 A 施行步驟 1 的兩個横行運算後得到的中間矩陣。

$3\times 4$ 矩陣

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：對 B 施行步驟 2 的横行運算後得到的矩陣。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：對 B 施行步驟 2 的横行運算後得到的矩陣。

C

對 B 施行步驟 2 的横行運算後得到的矩陣。

$3\times 4$ 矩陣

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：把步驟 1 與步驟 2 合成後的左乘矩陣，滿足 XA=C。

X

把步驟 1 與步驟 2 合成後的左乘矩陣，滿足 XA=C。

$3\times 3$ 矩陣

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：表示步骤1两次横行加法的横行变换矩阵，是两个单步初等矩阵的乘积，并非一个单步初等矩阵。

2. 公式
   观察依据

   手寫式子寫成 $X_1 A = B$。

$X_1$

表示步骤1两次横行加法的横行变换矩阵，是两个单步初等矩阵的乘积，并非一个单步初等矩阵。

$3\times 3$ 矩陣

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：矩陣 A 的第一横行向量。

2. 公式
   观察依据

   右側矩陣第一横行手寫為 $r_1$。

$r_1$

矩陣 A 的第一横行向量。

$1\times 4$ 横行向量

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：矩陣 A 的第二横行向量。

2. 公式
   观察依据

   右側矩陣第二横行手寫為 $r_2$。

$r_2$

矩陣 A 的第二横行向量。

$1\times 4$ 横行向量

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：矩陣 A 的第三横行向量。

2. 公式
   观察依据

   右側矩陣第三横行手寫為 $r_3$。

$r_3$

矩陣 A 的第三横行向量。

$1\times 4$ 横行向量

1. 公式
   观察依据

   原方程写$4x-3y-z=-4$，原画增广矩阵第三横行排版显示[4,3,-1,-4]；本站对应方程使用负号。

A

本例方程组的增广矩阵；本站按方程纠正负号，原画排版符号差异另行标明。

$3\times 4$矩阵

1. 公式
   观察依据

   畫面文字說明對 A 做步驟 1 後得矩陣 B；下方手寫 $X_1 A = B$ 對應此記號。

B

對 A 施行第一次横行運算後得到的矩陣

$3\times 4$矩阵

1. 公式
   观察依据

   畫面文字說明對 B 的第二横行乘以 3 得矩陣 C；右側手寫 $X_2 X_1 A = C$。

C

對 B 施行第二次横行運算後得到的矩陣

$3\times 4$矩阵

1. 公式
   观察依据

   題目文字問「我們將上述的運算以矩陣乘積 XA 來表示，則 X 為何？」；右側手寫把 X 標為 $X_2 X_1$。

X

把兩次横行運算合併成一個左乘矩陣的總乘數

$3\times 3$ 矩陣

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：影片把「對矩陣做横行運算」改寫成「用一個矩陣從左邊乘原矩陣」。資料矩陣放在右邊，操作矩陣放在左邊，因此步驟 1 被寫成 $X_1A=B$。

2. 公式
   观察依据

   手寫建立 $X_1 A = B$。

影片把「對矩陣做横行運算」改寫成「用一個矩陣從左邊乘原矩陣」。資料矩陣放在右邊，操作矩陣放在左邊，因此步驟 1 被寫成 $X_1A=B$。

1. 操作對象是横行運算

2. 新矩陣由原矩陣經有限次横行運算得到

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：影片不先把 A 的每一横行數值展開計算，而是把三横行分別記為 $r_1$,$r_2$,$r_3$，再直接寫出新矩陣每一横行是舊横行的哪個線性組合。這樣可以把横行運算轉成矩陣乘法係數。

2. 公式
   观察依据

   右側矩陣横行寫為 $r_1$、-3r_1+$r_2$、-4r_1+$r_3$。

影片不先把 A 的每一横行數值展開計算，而是把三横行分別記為 $r_1$,$r_2$,$r_3$，再直接寫出新矩陣每一横行是舊横行的哪個線性組合。這樣可以把横行運算轉成矩陣乘法係數。

1. 原矩陣按横行分解

2. 每次運算都可寫成舊横行的線性組合

1. 横行運算可用左乘矩陣表示

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：把「第一横行乘以 -3 加到第二横行」與「第一横行乘以 -4 加到第三横行」合併後，左乘矩陣為下式。其第一横行保持 $r_1$，第二横行取 -3r_1+$r_2$，第三横行取 -4r_1+$r_3$。 本站补充：它合成两次横行加法，是两个单步初等矩阵的乘积，不宜称作一个单步初等矩阵。

2. 公式
   观察依据

   手寫出 [1 0 0; -3 1 0; -4 0 1] [$r_1$; $r_2$; $r_3$] = [$r_1$; -3r_1+$r_2$; -4r_1+$r_3$]。

把「第一横行乘以 -3 加到第二横行」與「第一横行乘以 -4 加到第三横行」合併後，左乘矩陣為下式。其第一横行保持 $r_1$，第二横行取 -3r_1+$r_2$，第三横行取 -4r_1+$r_3$。 本站补充：它合成两次横行加法，是两个单步初等矩阵的乘积，不宜称作一个单步初等矩阵。

1. 僅執行步驟 1 的兩個横行運算

2. 運算順序在本題中可同時寫入同一個 $X_1$

1. 横行運算可用左乘矩陣表示
2. 以横行向量記號追蹤横行運算結果

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：影片把問題分成兩層：先用 $X_1A=B$ 表示第一步，再追問 B 要左乘什麼才會變成 C。由此可見題目要求的 X 應是把各步横行運算合成後的總左乘矩陣。

2. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：影片把問題分成兩層：先用 $X_1A=B$ 表示第一步，再追問 B 要左乘什麼才會變成 C。由此可見題目要求的 X 應是把各步横行運算合成後的總左乘矩陣。

1. 这里只记录首个分析段尚未展示后续计算；原片后续已完成第二阶段与最终X。

影片把問題分成兩層：先用 $X_1A=B$ 表示第一步，再追問 B 要左乘什麼才會變成 C。由此可見題目要求的 X 應是把各步横行運算合成後的總左乘矩陣。

1. 每一步都是横行運算

2. 各步可寫成左乘矩陣

1. 第一阶段的横行变换矩阵

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：對矩陣做横行運算時，可把該運算寫成某個 $3\times 3$ 矩陣左乘原矩陣。片段中先分別找出 $X_1$、$X_2$，再把兩次運算合成 $X = X_2 X_1$。

2. 公式
   观察依据

   畫面以 $X_1 A = B$、$X_2 B = C$、$X_2 X_1 A = C$ 表示横行運算。

對矩陣做横行運算時，可把該運算寫成某個 $3\times 3$ 矩陣左乘原矩陣。片段中先分別找出 $X_1$、$X_2$，再把兩次運算合成 $X = X_2 X_1$。

1. 運算對象是矩陣的横行

2. 新矩陣由原矩陣經横行運算得到

1. 第一阶段的复合横行变换矩阵$X_1$
2. 步驟 2 的初等横行運算矩陣 $X_2$

1. 公式
   观察依据

   左側手寫 $X_1 = [[1, 0, 0], [-3, 1, 0], [-4, 0, 1]]$，並寫 $X_1 A = B$。

1. 画面同时保留两阶段矩阵。模型把正在讲$X_2$的口述归到保留的$X_1$旁；本站按明确标签和公式区分对象，不归因作者口误。

步驟 1 把第一横行乘以 -3 加到第二横行、把第一横行乘以 -4 加到第三横行，對應的左乘矩陣為 $X_1$。其效果是把原横行 $r_2$、$r_3$ 分別替換為 -3r_1+$r_2$、-4r_1+$r_3$，而 $r_1$ 保持不變。 本站说明：$X_1$合成两次行加，是两个单步初等矩阵的乘积，不是一个单步初等矩阵。

1. 本例作用于$3\times 4$增广矩阵A。

2. 運算順序是先做步驟 1 再做步驟 2

1. 三元一次聯立方程組與其增廣矩陣

1. 公式
   观察依据

   下方手寫 $X_2 = [[1, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 1]]$，並寫 $X_2 B = C$。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：步驟 2 把 B 的第二横行乘以 3，第三横行與第一横行保持不變，因此對應的左乘矩陣是 $X_2$。它把 $r_2$' 替換為 $3r_2$'，而 $r_1$'、$r_3$' 不變。

步驟 2 把 B 的第二横行乘以 3，第三横行與第一横行保持不變，因此對應的左乘矩陣是 $X_2$。它把 $r_2$' 替換為 $3r_2$'，而 $r_1$'、$r_3$' 不變。

1. 本例作用于$3\times 4$增广矩阵B。

2. B 已是第一次横行運算後的結果

1. 第一阶段的复合横行变换矩阵$X_1$

1. 公式
   观察依据

   右側手寫 $X_2 X_1 A = C$，並在下方標出 $X = X_2 X_1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：把兩次横行運算合併成一個矩陣乘積時，總乘數為 $X = X_2 X_1$。因為横行運算是左乘，先做的運算在右側，後做的運算在左側。

1. 先执行$X_1$再执行$X_2$是操作的时间顺序；因为都是左乘，书写合成因子为$X_2X_1$，两者一致，并非作者说法矛盾。

把兩次横行運算合併成一個矩陣乘積時，總乘數為 $X = X_2 X_1$。因為横行運算是左乘，先做的運算在右側，後做的運算在左側。

1. $X_1$ 對應步驟 1

2. $X_2$ 對應步驟 2

3. 運算方向必須保持左乘

1. 第一阶段的复合横行变换矩阵$X_1$
2. 步驟 2 的初等横行運算矩陣 $X_2$
3. 横行運算可用左乘矩陣表示

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：片段把矩陣的一整横行視為單一物件，用 $r_1$、$r_2$、$r_3$ 代表各横行，而不必每次展開横行內元素。這樣做讓横行運算可以寫成 $r_2$'=-3r_1+$r_2$ 這類形式。

2. 公式
   观察依据

   右上角增廣矩陣旁標 $r_1$、$r_2$、$r_3$，把整横行內容縮成符號。

片段把矩陣的一整横行視為單一物件，用 $r_1$、$r_2$、$r_3$ 代表各横行，而不必每次展開横行內元素。這樣做讓横行運算可以寫成 $r_2$'=-3r_1+$r_2$ 這類形式。

1. 適用於把矩陣的横行當作整體操作

1. 三元一次聯立方程組與其增廣矩陣

1. 公式
   观察依据

   原方程写$4x-3y-z=-4$，右上增广矩阵却排版[4,3,-1,-4]。以下与方程对应的公式是本站纠正，非原画负号被清楚写出。

片段以一個三元一次聯立方程組作為載體，先寫出其增廣矩陣，再對增广矩阵 A 進行横行運算，示範如何用矩陣乘法記錄這些運算。 本站按方程使用负号，原画增广矩阵该处显示正号。

1. 方程組為三元一次

2. 右端常數項放入增廣欄

1. 公式
   观察依据

   手寫 $X_1 A = B$。

2. 公式
   观察依据

   手寫 [1 0 0; -3 1 0; -4 0 1][$r_1$;$r_2$;$r_3$]=[$r_1$;-3r_1+$r_2$;-4r_1+$r_3$]。

若 $X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$，則 $X_1A=B$，其中 B 的三横行分別為 $r_1$、-3r_1+$r_2$、-4r_1+$r_3$。

1. A 的三横行記為 $r_1$,$r_2$,$r_3$

2. B 由步驟 1 的兩個横行運算得到

對本題給定的 $3\times 4$ 矩陣 A 成立。

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：存在 $3\times 3$ 矩陣 X，使得先執行步驟 1、再執行步驟 2 後有 XA=C；本題要求求出此 X。

1. 这里只记录首个分析段尚未展示后续计算；原片后续已完成第二阶段与最终X。

存在 $3\times 3$ 矩陣 X，使得先執行步驟 1、再執行步驟 2 後有 XA=C；本題要求求出此 X。

1. A 為題目給定增廣矩陣

2. C 為依步驟 1、2 所得矩陣

對本題的 A、B、C 成立。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：若先對 A 做 $X_1$ 對應的横行運算，再對結果做 $X_2$ 對應的横行運算，則合成表示為 $X_2 X_1 A$，而非 $X_1 X_2 A$。

2. 公式
   观察依据

   畫面寫 $X_2 X_1 A = C$，而不是 $X_1 X_2 A = C$。

若先對 A 做 $X_1$ 對應的横行運算，再對結果做 $X_2$ 對應的横行運算，則合成表示為 $X_2 X_1 A$，而非 $X_1 X_2 A$。

1. 運算皆為左乘横行運算

2. $X_1$ 對應第一步

3. $X_2$ 對應第二步

本例A、B、C均为$3\times 4$增广矩阵；左乘操作矩阵均为$3\times 3$。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：對矩陣作横行運算，可寫成以某個矩陣左乘原矩陣。

2. 公式
   观察依据

   全片以 $X_1 A = B$、$X_2 B = C$、$X_2 X_1 A = C$ 呈現。

對矩陣作横行運算，可寫成以某個矩陣左乘原矩陣。

1. 運算改變的是矩陣的横行

2. 結果仍為同型矩陣

本例A、B、C均为$3\times 4$增广矩阵；左乘操作矩阵均为$3\times 3$。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：步驟 1 的兩個横行運算等價於左乘 $X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$。

2. 公式
   观察依据

   右側矩陣逐横行寫成 $r_1$、-3r_1+$r_2$、-4r_1+$r_3$。

3. 公式
   观察依据

   左側矩陣寫成 [1 0 0; -3 1 0; -4 0 1]。

1. 公式

   $$A\sim\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}$$
   解释

   先把 A 按横行看成三個横行向量 $r_1$,$r_2$,$r_3$。

   步骤依据

   影片明確說「整横行整横行看」，並標出 R1、R2、R3。

   视频直接表达
2. 公式

   $$B\sim\begin{bmatrix}r_1\\-3r_1+r_2\\-4r_1+r_3\end{bmatrix}$$
   解释

   依步驟 1，第一横行不變，第二横行改成 -3 倍第一横行加原第二横行，第三横行改成 -4 倍第一横行加原第三横行。

   步骤依据

   直接來自題目文字與講者口述的步驟 1。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_1\\-3r_1+r_2\\-4r_1+r_3\end{bmatrix}$$
   解释

   把每一新横行寫成舊横行的線性組合後，係數正好構成左乘矩陣。

   步骤依据

   矩陣乘法按横行取線性組合的定義；影片也把這一步寫成矩陣形式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix},\quad X_1A=B$$
   解释

   因此步驟 1 可記成 $X_1A=B$。

   步骤依据

   由上一步等式直接命名左乘矩陣為 $X_1$。

   视频直接表达

步驟 1 的兩個横行運算等價於左乘 $X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：依影片思路，題目所求 X 應是第一步與第二步左乘矩陣的合成；但本片段尚未算出 $X_2$ 與最終 X。 原片后续已完成第二阶段与最终X。

2. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：依影片思路，題目所求 X 應是第一步與第二步左乘矩陣的合成；但本片段尚未算出 $X_2$ 與最終 X。 原片后续已完成第二阶段与最终X。

1. 这里只记录首个分析段尚未展示后续计算；原片后续已完成第二阶段与最终X。

1. 公式

   $$X_1A=B$$
   解释

   影片已先把第一步分離出來。

   步骤依据

   手寫式子直接給出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_2B=C$$
   解释

   若第二步也能寫成左乘某矩陣 $X_2$，則 B 到 C 的變化可獨立表示。

   步骤依据

   補充解釋：横行運算通常可由横行变换矩阵左乘實現；影片正在朝這個方向追問。

   补充解释
3. 公式

   $$X_2(X_1A)=C\Rightarrow (X_2X_1)A=C$$
   解释

   把兩段合成後，總左乘矩陣為 $X_2X_1$。

   步骤依据

   補充解釋：矩陣乘法結合律。

   补充解释

依影片思路，題目所求 X 應是第一步與第二步左乘矩陣的合成；但本片段尚未算出 $X_2$ 與最終 X。 原片后续已完成第二阶段与最终X。

1. 公式
   观察依据

   畫面先寫 $X_1 A = B$，右端横行為 $r_1$', -3r_1+$r_2$, -4r_1+$r_3$；左端 $X_1$ 寫成 [[1,0,0],[-3,1,0],[-4,0,1]]。

1. 画面同时保留两阶段矩阵。模型把正在讲$X_2$的口述归到保留的$X_1$旁；本站按明确标签和公式区分对象，不归因作者口误。

1. 公式

   $$r_1' = r_1$$
   解释

   第一横行保持不變。

   步骤依据

   畫面文字「第一横行乘以 -3 加到第二横行；第一横行乘以 -4 加到第三横行」未要求改動第一横行。

   视频直接表达
2. 公式

   $$r_2' = -3r_1 + r_2$$
   解释

   第二横行被替換為第一横行的 -3 倍加上原第二横行。

   步骤依据

   題目文字明確給出步驟 1 的第一個運算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$r_3' = -4r_1 + r_3$$
   解释

   第三横行被替換為第一横行的 -4 倍加上原第三横行。

   步骤依据

   題目文字明確給出步驟 1 的第二個運算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   把上述三條横行變換寫成左乘矩陣，即得 $X_1$。

   步骤依据

   左乘矩陣的每一横行给出對應新横行如何由舊横行線性組合而成。

   依据视频推导

步驟 1 對應的左乘矩陣為 $X_1$。

1. 公式
   观察依据

   畫面下方寫 $X_2 B = C$，右端横行為 $r_1$', $3r_2$', $r_3$'；左端 $X_2$ 寫成 [[1,0,0],[0,3,0],[0,0,1]]。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：步驟 2 對應的左乘矩陣為 $X_2$。

1. 公式

   $$r_1'' = r_1'$$
   解释

   第一横行在第二次運算中不變。

   步骤依据

   題目文字只說「矩陣 B 的第二横行乘以 3 得矩陣 C」。

   视频直接表达
2. 公式

   $$r_2'' = 3r_2'$$
   解释

   第二横行乘以 3。

   步骤依据

   題目文字與音訊都明確指出此操作。

   视频直接表达
3. 公式

   $$r_3'' = r_3'$$
   解释

   第三横行不變。

   步骤依据

   題目文字未要求改動第三横行。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   把第二次横行變換寫成左乘矩陣，即得 $X_2$。

   步骤依据

   左乘矩陣每一横行對應新横行如何由舊横行線性組合而成。

   依据视频推导

步驟 2 對應的左乘矩陣為 $X_2$。

1. 公式
   观察依据

   右側手寫 $X_2 X_1 A = C$，並在下方標出 $X = X_2 X_1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：合成矩陣為 $X = X_2 X_1$，且順序不可顛倒。

1. 先执行$X_1$再执行$X_2$是操作的时间顺序；因为都是左乘，书写合成因子为$X_2X_1$，两者一致，并非作者说法矛盾。

1. 公式

   $$X_1 A = B$$
   解释

   第一次横行運算先把 A 變成 B。

   步骤依据

   畫面左側已寫出此式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_2 B = C$$
   解释

   第二次横行運算再把 B 變成 C。

   步骤依据

   畫面下方已寫出此式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_2(X_1 A)=C$$
   解释

   將 B 代入第二式。

   步骤依据

   矩陣乘法結合律。

   依据视频推导
4. 公式

   $$(X_2 X_1)A=C$$
   解释

   把兩個左乘矩陣先相乘，再左乘 A。

   步骤依据

   矩陣乘法結合律。

   依据视频推导
5. 公式

   $$X=X_2X_1$$
   解释

   因此題目所求的總乘數 X 等於 $X_2 X_1$。

   步骤依据

   與題目「XA 來表示」對照。

   依据视频推导

合成矩陣為 $X = X_2 X_1$，且順序不可顛倒。

1. 公式
   观察依据

   右下逐步寫出 [[1,0,0],[0,3,0],[0,0,1]] [[1,0,0],[-3,1,0],[-4,0,1]] = [[1,0,0],[-9,3,0],[-4,0,1]]。

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：$X = X_2 X_1 = [[1,0,0],[-9,3,0],[-4,0,1]]$。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   先寫出待乘的兩個矩陣。

   步骤依据

   畫面右下已横行出此乘積。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&0&0\\-9&3&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   第一横行不變；第二横行為 3 倍的原第二横行；第三横行不變。

   步骤依据

   左乘對角型矩陣時，相當於對右矩陣的横行作相同倍數的線性組合。

   依据视频推导

$X = X_2 X_1 = [[1,0,0],[-9,3,0],[-4,0,1]]$。

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：給定方程組 $x+2y+z=3$, $3x+y-2z=-1$, $4x-3y-z=-4$ 的增廣矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&2&1&3\\3&1&-2&-1\\4&-3&-1&-4\end{bmatrix}$。先作步驟 1：第一横行乘以 -3 加到第二横行，第一横行乘以 -4 加到第三横行，得 B；再作步驟 2：B 的第二横行乘以 3，得 C。若整個過程寫成 XA=C，求 X。 本站符号核对：方程第三横行的y系数为-3，但原画排版增广矩阵显示+3；按方程写对应增广矩阵时应使用-3。这里求的总左乘矩阵只由指定横行操作决定，不受这处排版符号不一致影响。

1. 这里只记录首个分析段尚未展示后续计算；原片后续已完成第二阶段与最终X。

給定方程組 $x+2y+z=3$, $3x+y-2z=-1$, $4x-3y-z=-4$ 的增廣矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&2&1&3\\3&1&-2&-1\\4&-3&-1&-4\end{bmatrix}$。先作步驟 1：第一横行乘以 -3 加到第二横行，第一横行乘以 -4 加到第三横行，得 B；再作步驟 2：B 的第二横行乘以 3，得 C。若整個過程寫成 XA=C，求 X。 本站符号核对：方程第三横行的y系数为-3，但原画排版增广矩阵显示+3；按方程写对应增广矩阵时应使用-3。这里求的总左乘矩阵只由指定横行操作决定，不受这处排版符号不一致影响。

1. $A=\begin{bmatrix}1&2&1&3\\3&1&-2&-1\\4&-3&-1&-4\end{bmatrix}$

2. 步驟 1 為兩個横行替換

3. 步驟 2 為第二横行乘以 3

4. 目標形式為 XA=C

求出能把 A 一步送到 C 的左乘矩陣 X。

1. 公式

   $$A=\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}$$
   解释

   先把 A 按横行記號化。

   步骤依据

   影片說不需要先寫內容，只要抓 R1、R2、R3。

   视频直接表达
2. 公式

   $$B=\begin{bmatrix}r_1\\-3r_1+r_2\\-4r_1+r_3\end{bmatrix}$$
   解释

   依步驟 1 更新第二、第三横行。

   步骤依据

   題目文字與講者口述一致。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix},\quad X_1A=B$$
   解释

   把步驟 1 寫成矩陣乘法。

   步骤依据

   影片已完整寫出此式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_2B=C$$
   解释

   接著要把步驟 2 也寫成左乘矩陣。

   步骤依据

   影片在此發問「B 要再乘上什麼？」但未繼續算完。

   依据视频推导
5. 公式

   $$X=X_2X_1$$
   解释

   最終 X 是兩步左乘矩陣的合成。

   步骤依据

   補充解釋：矩陣乘法結合律；影片尚未寫出此式。

   补充解释

片段內可確認的部分是 $X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$；最終 X 未在本片段給出。 原片后续已完成第二阶段与最终X。

可回查 92–103 秒：影片仍在追問第二步矩陣，未顯示完整答案。

1. 公式
   观察依据

   畫面完整給出方程組、增廣矩陣、步驟 1、步驟 2，以及 $X_1$、$X_2$、$X_2X_1$ 的手寫推導。

給定三元一次聯立方程組及其增廣矩陣，對增广矩阵 A 先做「第一横行乘以 -3 加到第二横行；第一横行乘以 -4 加到第三横行」得 B，再做「B 的第二横行乘以 3」得 C。若把整個過程寫成 XA=C，求 X。 本站按方程纠正增广矩阵的局部负号，与原画排版差异已公开说明。

1. $A=\begin{bmatrix}1&2&1&3\\3&1&-2&-1\\4&-3&-1&-4\end{bmatrix}$

2. 增廣矩陣為 $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\3&1&-2&-1\\4&-3&-1&-4\end{array}\right]$

3. 步驟 1：$R_2\leftarrow R_2-3R_1$，$R_3\leftarrow R_3-4R_1$

4. 步驟 2：$R_2\leftarrow 3R_2$

求單一矩陣 X，使 XA=C。

1. 公式

   $$X_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   把步驟 1 寫成左乘矩陣。

   步骤依据

   對應横行變換 $r_2$'=-3r_1+$r_2$、$r_3$'=-4r_1+$r_3$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   把步驟 2 寫成左乘矩陣。

   步骤依据

   對應横行變換 $r_2$''=$3r_2$'。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X=X_2X_1$$
   解释

   因為先做 $X_1$ 再做 $X_2$，合成時 $X_2$ 在左、$X_1$ 在右。

   步骤依据

   矩陣乘法結合律與左乘横行運算的順序。

   依据视频推导
4. 公式

   $$X=\begin{bmatrix}1&0&0\\-9&3&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   實際計算 $X_2X_1$ 得到最終答案。

   步骤依据

   畫面右下已完成矩陣乘法。

   视频直接表达

$X=\begin{bmatrix}1&0&0\\-9&3&0\\-4&0&1\end{bmatrix}$

可用 XA 重新作用於 A，檢查是否先實現步驟 1 再實現步驟 2；片段中已以 $X_2X_1A=C$ 的形式驗證順序。

1. 字幕依据
   观察依据

   讲解内容转述：視覺上先固定問題條件，後續手寫都在此題幹下方展開。

1. 2008-2修订题标题

2. 三元一次聯立方程組

3. 增廣矩陣 A

4. 步驟 1 文字

5. 步驟 2 文字

6. 問題句 XA=C

1. 無動畫變化，題目文字持續可見

1. A 的數值在片段中不變

2. 題目條件在片段中不變

視覺上先固定問題條件，後續手寫都在此題幹下方展開。

1. 动画
   观察依据

   綠色筆跡依序出現：先圈出「横行」與「XA=C」，再寫 $X_1A=B$，接著寫出以 $r_1$,$r_2$,$r_3$ 表示的右端矩陣，最後補上左乘矩陣 [1 0 0; -3 1 0; -4 0 1]。

1. 綠色下劃線

2. 綠色 $X_1A=B$

3. 綠色横行向量記號 $r_1$,$r_2$,$r_3$

4. 綠色 $3\times 3$ 左乘矩陣

1. 先標記題幹關鍵字

2. 再寫出 $X_1A=B$

3. 再把 B 的横行寫成 r 的線性組合

4. 最後把操作寫成 $3\times 3$ 矩陣

1. 原題幹白字不變

2. A 的原始數值不變

畫面把抽象的「横行運算」具體化成「左乘一個係數矩陣」，視覺順序就是推理順序。

1. 图示
   观察依据

   黑底白字板書，上方為題目與增廣矩陣，左下為 $X_1A=B$，中下為 $X_2B=C$，右下為 $X_2X_1A=C$ 與最終乘積。

1. 題目文字

2. 增廣矩陣

3. $X_1A=B$

4. $X_2B=C$

5. $X_2X_1A=C$

6. 最終矩陣乘積

1. 從題目與增廣矩陣出發

2. 先寫出第一次横行運算的左乘表示

3. 再寫出第二次横行運算的左乘表示

4. 最後把兩次運算合成並算出 X

1. 全程都在同一塊黑板上推導

2. 所有公式都以手寫綠色與白色呈現

視覺布局把「單步横行運算」與「合成左乘矩陣」分開呈現，方便比較 $X_1$、$X_2$ 與 $X_2X_1$ 的關係。

1. 图示
   观察依据

   右上角增廣矩陣旁以 $r_1$、$r_2$、$r_3$ 標記三横行；中間與下方又用 $r_1$'、-3r_1+$r_2$、-4r_1+$r_3$ 以及 $r_1$'、$3r_2$'、$r_3$' 表示變換後横行。

1. $r_1$

2. $r_2$

3. $r_3$

4. $r_1$'

5. -3r_1+$r_2$

6. -4r_1+$r_3$

7. $3r_2$'

1. 先把具體横行內容抽象成 $r_i$

2. 再用 $r_i$' 表示第一次運算後的横行

3. 再用 $3r_2$' 表示第二次運算後的第二横行

1. 每一横行都被當成一個整體物件處理

這組標記把「横行運算」從元素層面提升到横行層面，是片段強調的抽象化做法。

1. 动画
   观察依据

   右下逐步寫出 [[1,0,0],[0,3,0],[0,0,1]] [[1,0,0],[-3,1,0],[-4,0,1]] = [[1,0,0],[-9,3,0],[-4,0,1]]。

1. $X_2$

2. $X_1$

3. 乘積結果

1. 先寫左矩陣

2. 再寫右矩陣

3. 最後寫出乘積矩陣

1. 乘積結果的第一横行與第三横行與 $X_1$ 相同，只有第二横行被放大 3 倍

視覺上直接顯示左乘對角矩陣 $X_2$ 的效果就是把右矩陣的第二横行乘以 3。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：影片明確指出：處理横行運算時，原矩陣放右邊，操作矩陣放左邊，所以寫成 $X_1A=B$，而不是 A 右乘某矩陣。

看到「對矩陣做運算」時，容易不知道該把操作放左邊還是右邊。

影片明確指出：處理横行運算時，原矩陣放右邊，操作矩陣放左邊，所以寫成 $X_1A=B$，而不是 A 右乘某矩陣。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：横行運算是左乘，先做的運算在右側，後做的運算在左側，因此正確合成為 $X_2 X_1 A$。

2. 公式
   观察依据

   畫面寫 $X_2 X_1 A = C$，而不是 $X_1 X_2 A = C$。

把兩次横行運算合成時，誤寫成 $X_1 X_2 A$。

横行運算是左乘，先做的運算在右側，後做的運算在左側，因此正確合成為 $X_2 X_1 A$。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：片段明確指出横行運算對應左乘矩陣。

以為對横行做運算要右乘矩陣。

片段明確指出横行運算對應左乘矩陣。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：一般方法「横行運算用左乘表示」在本題被具體應用為步驟 1 的横行变换矩阵 $X_1$。

一般方法「横行運算用左乘表示」在本題被具體應用為步驟 1 的横行变换矩阵 $X_1$。

1. 公式
   观察依据

   先寫 [$r_1$; -3r_1+$r_2$; -4r_1+$r_3$]，再寫 [1 0 0; -3 1 0; -4 0 1][$r_1$; $r_2$; $r_3$]。

要先能把新横行寫成舊横行的線性組合，才能讀出左乘矩陣每一行的係數。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：只有先分離出第一步的 $X_1$，才能繼續討論把第二步合成進總矩陣 X。

1. 这里只记录首个分析段尚未展示后续计算；原片后续已完成第二阶段与最终X。

只有先分離出第一步的 $X_1$，才能繼續討論把第二步合成進總矩陣 X。

1. 公式
   观察依据

   畫面先給增廣矩陣，再對 A 做横行運算。

增廣矩陣例子提供具體載體，用來示範横行運算如何寫成左乘矩陣。

1. 公式
   观察依据

   畫面由 $X_1A=B$、$X_2B=C$ 推到 $X_2X_1A=C$。

合成矩陣 X 的構造依賴先分別求出 $X_1$ 與 $X_2$。

1. 公式
   观察依据

   畫面由 $X_2B=C$ 與 $X_1A=B$ 合成 $X_2X_1A=C$。