张量积

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“V，W：向量空间”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们将从一些向量空间开始，一个向量空间 V，一个向量空间 W。”

V

用作线性映射定义域的向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“V，W：向量空间”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“一个向量空间 V，一个向量空间 W。”

W

用作线性映射陪域的向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“f : $V \to W$ 是线性的，当且仅当”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“而一个从 V 到 W 的函数 f 是线性的，当且仅当它保持这些对象的结构……”

f

正在检验是否为线性函数的向量空间之间的函数。

从 V 到 W 的函数

1. 公式
   观察依据

   幻灯片公式：“$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$”

$v_1$

加性条件中出现的 V 中任意向量

V 中的元素

1. 公式
   观察依据

   幻灯片公式：“$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$”

$v_2$

加性条件中出现的 V 中任意向量

V 中的元素

1. 公式
   观察依据

   幻灯片公式：“$f(\alpha v) = \alpha f(v)$”

2. 声音
   观察依据

   主讲人提到“标量乘法”

1. 幻灯片及音频中均未指明标量域

$\alpha$

线性映射齐次性条件中所用的一个标量

向量空间的标量域

1. 公式
   观察依据

   幻灯片公式：“$f(\alpha v) = \alpha f(v)$”

v

用于标量乘法条件的向量空间 V 中的任意向量。

V 中的元素

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“U、V、W：向量空间”以及“f : $U \times V \rightarrow W$ 是双线性映射，当且仅当……”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们将考虑三个向量空间：U、V 和 W。”

U

为双线性映射提供第一个输入的向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“U、V、W：向量空间”以及涉及第二槽向量 v、$v_1$、$v_2$ 的公式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“一个映射 f，它将 U 中的一个向量和 V 中的一个向量映射为 W 中的一个向量。”

V

为双线性映射提供第二个输入的向量空间；其字母与线性映射部分中使用的相同，但此处角色不同。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“U、V、W：向量空间”以及“f : $U \times V \rightarrow W$ 是双线性映射，当且仅当……”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“映射到 W 中的一个向量。”

W

双线性映射的陪域向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“f : $U \times V \to W$ 是双线性的，当且仅当”

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“而一个将 U 中的向量与 V 中的向量映射到 W 中的向量的映射 f，若满足以下性质，则称其为双线性的。”

f

对从笛卡尔积 $U \times V$ 到 W 的映射进行双线性检验。

映射 $U \times V \to W$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片公式：“$f(u_1 + u_2, v) = f(u_1, v) + f(u_2, v)$”

$u_1$

出现在第一变量可加性条件中的 U 中任意向量。

U 中的元素

1. 字幕依据
   观察依据

   开场幻灯片显示：“张量积”，“Jim Fowler”，“2009年春季”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“下面是一个关于张量积的七分钟简介。”

3. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“我们不会给出一个真正严谨的定义，但会学习如何运用$\otimes$进行计算。”

该视频片段将自身定位为张量积的简短入门；它明确指出不会给出完整的严格定义，而是侧重于教授如何使用张量积符号$\otimes$进行计算。

1. 这是一次入门性质的讲解，而非完整的严格推演。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“V, W：向量空间”，以及“f : $V \rightarrow W$ 是线性的，当且仅当”后接“$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$”和“$f(\alpha v) = \alpha f(v)$”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：一个函数是线性的，"当且仅当它保持对象的结构，即 f 将和映为和，将标量乘法映为标量乘法。"

从向量空间 V 到另一向量空间 W 的映射 f 是线性的，当且仅当它保持向量加法与标量乘法。屏幕上显示的条件分别是可加性与齐次性。

1. V 和 W 是向量空间。

2. f 是从 V 到 W 的映射。

3. 向量 $v_1$ 和 $v_2$ 属于 V。

4. α 是一个标量。

5. v 属于 V。

1. V
2. W
3. f
4. $v_1$
5. $v_2$
6. $\alpha$
7. v

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字："U, V, W ：向量空间" 以及 "f : $U \times V \to W$ 是双线性的，若" 后接三条显示的恒等式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说："现在，双线性映射是一个稍复杂的对象……而一个将 U 中的向量与 V 中的向量映到 W 中的向量的映射 f，若满足这些性质，则称其为双线性的。"

从笛卡尔积 $U \times V$ 到 W 的映射 f 是双线性的，当且仅当它在每个输入位置上分别具有可加性与齐次性。幻灯片展示了两个位置各自对应的恒等式。

1. U、V、W 是向量空间。

2. f 是从 U 与 V 的笛卡尔积到 W 的映射。

3. u、$u_1$、$u_2$ 属于 U。

4. v、$v_1$、$v_2$ 都属于 V。

5. α 是一个标量。

1. U
2. V
3. W
4. f
5. $u_1$
6. $u_2$
7. v
8. u
9. $v_1$
10. $v_2$
11. $\alpha$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“即，当 v 固定时，$f(u, v)$ 关于 u 是线性的”以及“当 u 固定时，$f(u, v)$ 关于 v 是线性的”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“他们想表达的意思是：若固定 v，则 $f(u, v)$ 关于 u 坐标是线性的；若固定 u，则 $f(u, v)$ 关于 v 坐标是线性的。因此它在两个坐标上分别都是线性的。”

双线性性是指：在另一个变量被固定后，函数对每个自变量分别满足线性性。这是从代数恒等式通向后续张量积刻画的概念桥梁。

1. 检验某一个输入的线性性时，另一个输入保持固定。

1. 双线性映射的定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题：“刻画 $U \otimes V$”及公式“\{ $\text{双线性映射 } U \times V \rightarrow W$ \} $\cong \text{Hom}(U \otimes V, W)$”。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“我们希望构造一个向量空间 $U \otimes V$，使得所有双线性映射 $U \times V \rightarrow W$ 都一一对应于线性映射 $U \otimes V \rightarrow W$。”

3. 声音
   观察依据

   主讲人说：“U 张量 V 是一个向量空间，使得从 U 和 V 到 W 的双线性映射，与从 U 张量 V 到 W 的线性映射是一回事。”

1. 该片段陈述了这一刻画，但并未证明 U ⊗ V 的存在性或唯一性。

张量积 U ⊗ V 被引入为一个向量空间，其构造方式使得从 $U \times V$ 出发的双线性映射一一对应于从 U ⊗ V 出发的线性映射。幻灯片通过将双线性映射集合 $U \times V \to W$ 与 Hom(U ⊗ V, W) 等同起来表达这一点。

1. U、V、W 是向量空间。

2. 该命题以刻画形式呈现，而非构造或证明。

1. 双线性映射的定义
2. 线性映射的定义
3. $U \otimes V$
4. $\text{Hom}(U \otimes V, W)$
5. $\cong$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题：刻画 U ⊗ V。

2. 公式
   观察依据

   显示的等价关系：{$U \times V \to W$ 的双线性映射} ≅ Hom(U ⊗ V, W)。

3. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们希望构造一个向量空间 U ⊗ V，使得从 $U \times V$ 出发的双线性映射都成为从 U ⊗ V 出发的线性映射。

该片段将张量积呈现为人们希望构造的向量空间，使得从 $U \times V$ 出发的双线性映射转化为从 U ⊗ V 出发的线性映射。所显示的公式将此表述为双线性映射集合与 Hom(U ⊗ V, W) 之间的识别。

1. U、V 和 W 被视为向量空间。

2. 该命题被表述为 U ⊗ V 的设计目标。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：U ⊗ V 中的向量是形如 u ⊗ v 的元素之和，其中 $u \in U$，$v \in V$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，U 张量 V 中的一个向量，就只是若干个‘小 u’张量‘小 v’的和。

视频从操作层面定义了张量积空间的元素：U ⊗ V 中的每个向量都是有限个简单张量 u ⊗ v 的和，其中 u 来自 U，v 来自 V。

1. u 属于 U

2. v 属于 V

1. 张量积的刻画目标

1. 公式
   观察依据

   显示的规则：u ⊗ v₁ + u ⊗ v₂ = u ⊗ (v₁ + v₂)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人用向量 u、v₁ 和 v₂ 朗读此规则。

符号 u ⊗ v 所满足的特殊规则之一是：两个具有相同左因子的简单张量相加，等于将该左因子与右因子之和进行张量积。

1. u 属于 U

2. v₁, v₂ 属于 V

1. U ⊗ V 中的向量是简单张量的和。

1. 公式
   观察依据

   显示的规则：u₁ ⊗ $v + u$₂ ⊗ v = (u₁ + u₂) ⊗ v。

2. 声音
   观察依据

   说话者陈述了向量 u₁、u₂ 属于 U 且 v 属于 V 时对应的类似规则。

第二条特殊规则指出：两个具有相同右因子的简单张量相加，等于将左因子之和与该公共右因子作张量积。

1. u₁, u₂ 属于 U

2. v 属于 V

1. U ⊗ V 中的向量是简单张量的和。

1. 公式
   观察依据

   显示的规则：(αu) ⊗ $v = α$(u ⊗ v) = u ⊗ (αv)。

2. 声音
   观察依据

   说话者解释道：αu 张量 v 等于 α 倍的 u 张量 v，也等于 u 张量 αv。

第三条规则体现了与标量乘法的相容性：任一输入向量先乘以标量再作张量积，其结果与先作张量积再将整个简单张量乘以该标量一致，且该标量可置于任一侧。

1. α 是一个标量

2. u 属于 U

3. v 属于 V

1. U ⊗ V 中的向量是简单张量的和。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：这样设定是为了使线性映射 U ⊗ $V \to W$ 与双线性映射 $U \times V \to W$ 完全等价。

2. 声音
   观察依据

   演讲者指出，这些规则看似复杂，但其实经过精心设计，使得从张量积出发的线性映射恰好对应于双线性映射。

该片段解释了为何要采用前述代数规则：这些规则被特意选定，以确保从 U ⊗ V 出发的线性映射与从 $U \times V$ 出发的双线性映射一一对应。换言之，张量积规则精准地反映了双线性性质。

1. 适用于映射到同一个目标空间 W 的情形。

1. 张量积的刻画目标
2. 第二分量上的张量可加性
3. 张量在第一个位置上的可加性
4. 标量可在张量积两侧自由移动

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题：双线性 versus 线性

2. 公式
   观察依据

   显示公式：对双线性映射 f : $U \times V \to W$，有 f(u, v₁ + v₂) = f(u, v₁) + f(u, v₂)。

3. 声音
   观察依据

   演讲者指出，若我们有一个从 $U \times V$ 到 W 的双线性映射 f，则它满足的性质之一便是对第二个变量具有可加性。

视频通过写出双线性的一个定义性质来阐释双线性：对固定的 u，映射 v ↦ $f(u, v)$ 是可加的，因此 f(u, v₁ + v₂) 可拆分为 f(u, v₁) + f(u, v₂)。

1. f : $U \times V \to W$ 是双线性的

2. u 属于 U

3. v₁、v₂ 属于 V

1. 张量积规则的目的

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“即，当 v 固定时，$f(u, v)$ 关于 u 是线性的”以及“当 u 固定时，$f(u, v)$ 关于 v 是线性的”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，双线性意味着“在两个坐标上分别都是线性的”。

对映射 f : $U \times V \to W$，双线性条件等价于：当第二个变量固定时，f 关于第一个变量是线性的；当第一个变量固定时，f 关于第二个变量是线性的。

1. U、V、W 是向量空间。

2. f 是从 U 与 V 的笛卡尔积到 W 的映射。

对于一个参数固定、另一个参数任意变化的所有情形。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“多重线性代数——最初看起来比线性代数更复杂——被线性代数所涵盖。”

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们可以把多重线性代数……纳入线性代数之中。这意味着多重线性代数只是线性代数的一个特例。”

1. 该片段未进一步阐明超出所展示对应关系的精确范畴论或泛性质表述。

若张量积 U ⊗ V 可被构造出来，使得 $U \times V \to W$ 的双线性映射与 U ⊗ $V \to W$ 的线性映射一一对应，则多重线性代数便作为线性代数的一个特例被纳入其中。

1. 具有所述刻画性质的张量积 U ⊗ V 是存在的。

针对该片段所讨论的双线性／多重线性构造这一类情形。

1. 公式
   观察依据

   显示公式：{双线性映射 $U \times V \to W$} ≅ Hom(U ⊗ V, W)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，希望构造一个向量空间 U ⊗ V，使得从 $U \times V$ 到 W 的双线性映射，恰好对应于从 U ⊗ V 到 W 的线性映射。

张量积 U ⊗ V 的定义方式保证：从 $U \times V$ 到 W 的双线性映射与从 U ⊗ V 到 W 的线性映射一一对应，即 {双线性映射 $U \times V \to W$} ≅ Hom(U ⊗ V, W)。

1. U、V 和 W 都是向量空间。

2. U ⊗ V 的构造被假定满足上述刻画性质。

针对所展示的向量空间 U、V 和 W。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：如此设计，使得从 U ⊗ V 到 W 的线性映射，等价于从 $U \times V$ 到 W 的双线性映射。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，张量积的运算法则反映了双线性映射所具有的性质。

对符号 u ⊗ v 所施加的代数规则，正是为了确保从 U ⊗ V 出发的线性映射与从 $U \times V$ 出发的双线性映射完全匹配。

1. 前述张量积运算法则均成立。

2. 所考虑的映射具有共同的陪域 W。

本片段中展示的是张量积运算规则。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片将 $f(u, v_1 + v_2) = f(u, v_1) + f(u, v_2)$ 与 f(u ⊗ ($v_1 + v_2$)) = f(u ⊗ $v_1$) + f(u ⊗ $v_2$) 并列呈现。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘这看起来与上方所示的双线性映射完全一样。’

对于对应的线性映射 f : U ⊗ $V \to W$，其可加性恒等式具有与 f : $U \times V \to W$ 的双线性可加性恒等式相同的抽象形式。

1. f : $U \times V \to W$ 是双线性的

2. f : U ⊗ $V \to W$ 是对应的线性映射

3. $u \in U$，且 $v_1$, $v_2 \in V$

针对幻灯片设定中所展示的 u、$v_1$、$v_2$。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片指出‘ℝ^2 ⊗ ℝ^2 由以下四个张量张成’，并列出这四个张量。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，ℝ2中的任意向量与ℝ2中的任意向量的张量和，均可利用张量积的性质重写为这四个向量的和。

1. 本片段未证明线性无关性，尽管主讲人后续称它们为基向量。

若ℝ^2 = ⟨$e_1$, $e_2$⟩，则ℝ^2 ⊗ ℝ^2由$e_1$ ⊗ $e_1$、$e_1$ ⊗ $e_2$、$e_2$ ⊗ $e_1$和$e_2$ ⊗ $e_2$张成。

1. ℝ 的 2 次方等于由 e 下标 1 与 e 下标 2 张成的空间

ℝ^ 的所有元素2 ⊗ ℝ^2 在视频片段中被描述为来自 ℝ^2 × ℝ^2 的张量之和。

1. 公式
   观察依据

   警告框中写道：“你不能合并($e_1$ ⊗ $e_1$) + ($e_2$ ⊗ $e_2$)。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“并非ℝ2与ℝ2的张量积中的每个元素都能写成ℝ2中的一个向量与ℝ2中的一个向量的张量积。”

1. 本片段将此作为一条无证明的警告及口头断言提出。

ℝ^2 ⊗ ℝ^2中的某些元素无法表示为单个初等张量x ⊗ y（其中x, y ∈ ℝ^2）；有些元素必须表示为若干初等张量的和。

1. 在ℝ^2 ⊗ ℝ^2中，使用前文引入的类基生成集进行运算

存在 ℝ^2 ⊗ ℝ^2 中的元素，它们不是单一的纯张量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，双线性映射的性质在张量积的性质中得到体现，并且张量积的构造方式使得从张量积出发的映射与双线性映射本质上是同一回事。

张量积的构造方式使其代数性质与双线性映射的性质相对应，从而使得从张量积出发的映射等价于双线性映射。

原文中未出现任何量词。

1. 声音
   观察依据

   主讲人举了一个例子：ℝ^3与ℝ^3的张量积是九维的，而非六维的。

ℝ^3与ℝ^3的张量积的维数为9。

原文中未出现任何量词。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 dim($U \otimes V$) = dim Hom(U, V)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，U 张量 V 的维数与从 U 到 V 的线性映射空间的维数相同，并称这是一个巧合。

张量积 $U \otimes V$ 的维数等于线性映射空间 Hom(U, V) 的维数。

1. U 和 V 是有限维向量空间。

原文中未声明任何量词。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出：尽管 U 张量 V 与从 U 到 V 的线性映射空间具有相同的维数，但二者并非自然同构。

向量空间 $U \otimes V$ 与 Hom(U, V) 并非自然同构。

原文中未声明任何量词。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片序列：“{$U \times V \to W$ 的双线性映射} ≅ Hom(U ⊗ V, W)”，接着是“我们希望构造一个向量空间 U ⊗ V，使得 $U \times V \to W$ 的双线性映射对应于 U ⊗ $V \to W$ 的线性映射。”，再接着是“多重线性代数……被线性代数所涵盖。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，U ⊗ V 是一个新构造的向量空间，其作用是将双线性映射转化为线性映射，并由此得出结论：这使得多重线性代数被纳入线性代数的框架之中。

1. 该推导是启发式的，而非形式证明；视频片段中并未建立 U ⊗ V 的存在性与唯一性。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从双线性映射 f : $U \times V \rightarrow W$ 的概念出发。

   步骤依据

   此前视频片段中已通过分别对每个变量位置的线性性来定义该概念。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\{ \text{bilinear } U \times V \rightarrow W \} \cong \text{Hom}(U \otimes V, W)$$
   解释

   引入一个向量空间 $U \otimes V$，使得从 $U \times V$ 到 W 的所有双线性映射的集合，与从 $U \otimes V$ 到 W 的所有线性映射的集合一一对应。

   步骤依据

   这就是张量积所满足的、在屏幕上展示出的刻画性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   将双线性数据重新解释为在一个新构造的空间上线性作用的数据。

   步骤依据

   依据该刻画性质，每个双线性映射都对应一个从 $U \otimes V$ 出发的线性映射。

   依据视频推导
4. 公式

   $$$$
   解释

   从而得出结论：多重线性代数可在线性代数框架内加以处理。

   步骤依据

   主讲人指出，一旦构造出这样的 $U \otimes V$，多重线性代数就成为线性代数的一个特例。

   视频直接表达

张量积 $U \otimes V$ 的动机在于：它是一种将双线性映射转化为线性映射的工具，从而把多重线性问题归约为线性问题。

1. 公式
   观察依据

   显示的链式等式：f(〔u〕 ⊗ (〔v₁〕 + 〔v₂〕)) = f(〔u〕 ⊗ 〔v₁〕 + 〔u〕 ⊗ 〔v₂〕) = f(〔u〕 ⊗ 〔v₁〕) + f(〔u〕 ⊗ 〔v₂〕)。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，张量按此方式变换：〔u〕 张量那个和等于 〔u〕 张量 〔v₁〕 加上 〔u〕 张量 〔v₂〕。

1. 公式

   $$f(u \otimes (v_1 + v_2))$$
   解释

   从对应的线性映射出发，将其作用于一个第二因子为和式的简单张量。

   步骤依据

   这是幻灯片中所示的线性映射 f : U ⊗ $V \to W$ 的设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= f(u \otimes v_1 + u \otimes v_2)$$
   解释

   利用第二分量上的张量积加法法则，重写 f 内部的张量。

   步骤依据

   使用所展示的恒等式 〔u〕 ⊗ (〔v₁〕 + 〔v₂〕) = 〔u〕 ⊗ 〔v₁〕 + 〔u〕 ⊗ 〔v₂〕。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= f(u \otimes v_1) + f(u \otimes v_2)$$
   解释

   应用 f 的线性性，将参数内部的和式拆开。

   步骤依据

   此处利用了 f 现在是定义在 U ⊗ V 上的线性映射这一事实。

   视频直接表达

第二变量中的双线性可加性性质，在经过张量积构造后，表现为通常意义下的线性性。

1. 公式
   观察依据

   下方显示的链式等式为 f(u ⊗ ($v_1 + v_2$)) = f(u ⊗ $v_1 + u$ ⊗ $v_2$) = f(u ⊗ $v_1$) + f(u ⊗ $v_2$)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说明此时 F 已是线性映射，且所得结果与上方的双线性公式一致。

1. 第一个等号使用了一个张量积关系式，该关系式在本片段中已展示但未单独证明。

1. 公式

   $$f(u \otimes (v_1 + v_2))$$
   解释

   从张量 u ⊗ ($v_1 + v_2$) 在该线性映射下的像开始。

   步骤依据

   这是幻灯片上显示的等式左侧。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= f(u \otimes v_1 + u \otimes v_2)$$
   解释

   利用第二分量上的分配律重写输入张量。

   步骤依据

   幻灯片在 f(...) 内部展示了中间等式 u ⊗ ($v_1 + v_2$) = u ⊗ $v_1 + u$ ⊗ $v_2$；本片段将此视为张量积的性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= f(u \otimes v_1) + f(u \otimes v_2)$$
   解释

   对 U ⊗ V 上的两个张量之和应用 f 的线性性。

   步骤依据

   主讲人明确指出‘F 现在线性’，且幻灯片将 f : U ⊗ $V \to W$ 标注为对应的线性映射。

   视频直接表达

所显示的链式等式说明了为何线性映射公式具有与上方双线性公式相同的加法形式。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 ($e_1$ ⊗ $e_1$) + ($e_1$ ⊗ $e_2$) = $e_1$ ⊗ ($e_1 + e_2$)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘利用这类性质，任意张量之和均可重写为上述四种张量的和。’

1. 仅展示了一次明确的重写；而将一般情形归约为所列四种张量的结论，是通过口头陈述断言的，并未完整推导。

1. 公式

   $$(e_1 \otimes e_1) + (e_1 \otimes e_2)$$
   解释

   从两个具有相同左因子 $e_1$ 的初等张量之和出发。

   步骤依据

   这是幻灯片上‘观察它们如何相加’标题下所写的例子。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= e_1 \otimes (e_1 + e_2)$$
   解释

   提取公共的左张量因子，并将右因子合并为一个和式。

   步骤依据

   该等式即为幻灯片所展示的内容，用以说明张量积的分配性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Repeat such rewrites to reduce arbitrary sums to the four listed tensors.}$$
   解释

   主讲人指出，这些性质使得任意张量之和均可借助所列四种张量来重写。

   步骤依据

   此步骤在音频中被断言，但在视频片段中并未以完整的符号推导形式呈现。

   视频直接表达

该例题阐释了‘ℝ^2 ⊗ ℝ^2 由所列四种初等张量张成’这一论断背后的机制。

1. 公式
   观察依据

   问题框要求计算 ($e_1 + e_2$) ⊗ ($e_1 + e_2$)，答案框给出 ($e_1$ ⊗ $e_1$) + ($e_1$ ⊗ $e_2$) + ($e_2$ ⊗ $e_1$) + ($e_2$ ⊗ $e_2$)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说“我们可以利用张量积的性质将其展开”，并读出包含四项的结果。

1. 视频片段展示了展开的起始与最终结果，但未完整显示中间双线性分配步骤的全部符号细节。

1. 公式

   $$(e_1 + e_2) \otimes (e_1 + e_2)$$
   解释

   从 $e_1 + e_2$ 与其自身的张量积出发。

   步骤依据

   这是红色方框中显示的问题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= e_1 \otimes (e_1 + e_2) + e_2 \otimes (e_1 + e_2)$$
   解释

   对左侧的和式进行分配。

   步骤依据

   该中间步骤未在屏幕上显示，但它正是主讲人所说的“利用张量积的性质将其展开”所隐含的标准张量积分配步骤。

   依据视频推导
3. 公式

   $$= (e_1 \otimes e_1) + (e_1 \otimes e_2) + (e_2 \otimes e_1) + (e_2 \otimes e_2)$$
   解释

   将每一项分别对右侧的和式进行分配，从而得到四个初等张量。

   步骤依据

   这是绿色答案框中显示的最终表达式，也是主讲人口头读出的内容。

   视频直接表达

张量 ($e_1 + e_2$) ⊗ ($e_1 + e_2$) 展开为前述列出的全部四个基形式初等张量之和。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片补充说明：“对于双线性函数 f，有 $f(a + b, a + b) = f(a, a) + f(a, b) + f(b, a) + f(b, b)$。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人刚开口说“因为毕竟，如果 F 是一个……”，视频片段即结束。

1. 视频片段在说话人完成该类比的口头解释前就结束了。

1. 公式

   $$f(a + b, a + b)$$
   解释

   考虑一个双线性映射，其两个自变量均为相等的和。

   步骤依据

   这是视频片段结尾处显示的等式左边。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= f(a, a) + f(a, b) + f(b, a) + f(b, b)$$
   解释

   对每个自变量分别利用双线性性质展开，得到四项。

   步骤依据

   这是幻灯片上展示的确切公式；视频片段未显示中间的分配步骤。

   视频直接表达

最后一张幻灯片在视觉上将张量积展开与双线性映射的相应展开进行了平行呈现。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片在视觉上将双线性映射 $f(a+b, a+b)$ 的展开式与张量积 ($e_1 + e_2$) $\otimes (e_1 + e_2)$ 的展开式关联起来。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从表达式 ($e_1 + e_2$) $\otimes (e_1 + e_2)$ 出发。

   步骤依据

   给定的问题陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   应用双线性展开规则：$f(a+b, a+b) = f(a,a) + f(a,b) + f(b,a) + f(b,b)$。

   步骤依据

   张量积的行为类似于双线性映射。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(e_1 \otimes e_1) + (e_1 \otimes e_2) + (e_2 \otimes e_1) + (e_2 \otimes e_2)$$
   解释

   将 $e_1$ 代入 a，$e_2$ 代入 b，得到张量积展开后的和。

   步骤依据

   代数代入。

   视频直接表达

张量积对加法满足分配律，结果为四项独立张量积之和。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片标题：双线性与线性。

2. 公式
   观察依据

   首先显示 f(u, v₁ + v₂) = f(u, v₁) + f(u, v₂)，然后显示对应的 f : U ⊗ $V \to W$ 的链式表达。

3. 声音
   观察依据

   主讲人将此作为双线性映射与对应线性映射的对比示例加以介绍。

展示 f : $U \times V \to W$ 的一个双线性可加性性质如何转化为其关联映射 f : U ⊗ $V \to W$ 的相应线性性质。

1. f : $U \times V \to W$ 是双线性的。

2. 存在一个对应的线性映射，也记作 f : U ⊗ $V \to W$。

3. 张量积规则 u ⊗ (v₁ + v₂) = u ⊗ v₁ + u ⊗ v₂ 成立。

比较 f(u, v₁ + v₂) 与 f(u ⊗ (v₁ + v₂))，并由此导出线性形式。

1. 公式

   $$f(u, v_1 + v_2) = f(u, v_1) + f(u, v_2)$$
   解释

   陈述 f 在第二个变量上的双线性性质。

   步骤依据

   这是本示例中所采用的双线性定义的显示形式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(u \otimes (v_1 + v_2)) = f(u \otimes v_1 + u \otimes v_2)$$
   解释

   过渡到张量积表达式，并利用张量规则重写。

   步骤依据

   使用 u ⊗ (v₁ + v₂) = u ⊗ v₁ + u ⊗ v₂。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= f(u \otimes v_1) + f(u \otimes v_2)$$
   解释

   利用对应映射的线性性将求和式拆开。

   步骤依据

   映射 f : U ⊗ $V \to W$ 的线性性。

   视频直接表达