向量｜Professor Dave Explains

当两个输入向量平行时，它们的叉积是零向量。这是因为它们之间的角度 $\theta$ 为 0 或 $\pi$，使得 $\sin \theta = 0$，因此模长 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ 为零。

适用条件：两个向量平行（或反平行）。；你正在计算它们的叉积。

与标量点积不同，两个三维向量的叉积是一个向量。为了计算它，你可以使用行列式助记符，通过交替符号展开其分量公式。

适用条件：向量是三维的。；你正在使用行列式助记符来求分量。

两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间夹角为 $\theta$ 时，其叉积的模长为 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$。几何上，这个值代表了由这两个向量形成的平行四边形的面积。

适用条件：$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是三维向量。；$\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

反转操作数会反转结果向量的符号。具体来说，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$。

适用条件：你正在计算两个向量的叉积。；你交换了向量的顺序。

非零叉积的结果垂直于两个输入向量。其具体方向由右手定则设定。

适用条件：叉积是非零的（输入向量不平行）。；你正在确定结果向量的方向。

不，叉积通常不满足结合律。这意味着 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 不一定等于 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$。

适用条件：你正在评估涉及多个叉积的表达式。；你正在检查分组是否影响结果。

是的，叉积对加法具有分配律。这意味着 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ 以及 $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}$。

适用条件：你正在简化涉及叉积和和的表达式。；你正在将代数性质应用于向量运算。