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如何使用比较判别法证明 ∫1∞x−2x3+1 dx\int_1^\infty \frac{x-2}{x^3+1}\,dx 的收敛性？

为了证明收敛性，将积分分为 [1,2][1,2] 和 [2,∞)[2,\infty) 两部分。在 [1,2][1,2] 上，被积函数是连续的，因此有限部分是良定义的。在 [2,∞)[2,\infty) 上，验证 0≤x−2x3+1≤1x20\le\frac{x-2}{x^3+1}\le\frac1{x^2}。由于 ∫2∞1x2 dx\int_2^\infty \frac1{x^2}\,dx 收敛（因为 p=2>1p=2>1），比较判别法证明了尾部的收敛性。结合两部分证明了从 1 开始的收敛性。

适用条件

  • 积分为 ∫1∞x−2x3+1 dx\int_1^\infty \frac{x-2}{x^3+1}\,dx。
  • 比较函数为 1x2\frac{1}{x^2}。
  • 不等式对 x≥2x \ge 2 成立。

理解与推导

  1. 将定义域分为 [1,2][1,2] 和 [2,∞)[2,\infty)。
  2. 验证被积函数在 [1,2][1,2] 上连续，确保有限积分存在。
  3. 对于 x≥2x \ge 2，建立不等式 0≤x−2x3+1≤1x20\le\frac{x-2}{x^3+1}\le\frac1{x^2}。
  4. 确认 ∫2∞1x2 dx\int_2^\infty \frac1{x^2}\,dx 收敛，因为 p=2>1p=2 > 1。
  5. 应用比较判别法得出在 [2,∞)[2,\infty) 上收敛的结论。
  6. 结合结果证明在 [1,∞)[1,\infty) 上收敛。

例子

对于 x≥2x\ge2，0≤x−2x3+1≤1x20\le\frac{x-2}{x^3+1}\le\frac1{x^2}。比较证明了在 [2,∞)[2,\infty) 上的收敛性。在 [1,2][1,2] 上被积函数连续，因此该有限部分是良定义的；结合两部分证明了从 1 开始的收敛性。

容易误解的地方

  • 忽略有限区间 [1,2][1,2]，假设比较处处成立。
  • 在应用测试之前未能检查被积函数在尾部是否非负。
  • 仅仅因为分母比分子增长得快就假设积分收敛，而没有进行正式的比较。

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