视频中循环行重排的置换矩阵表示是什么？

适用条件

• 新矩阵是按顺序取原矩阵的第 3、1、2 行形成的。
• 置换是通过左乘应用的。

理解与推导

1. 识别行映射：第 1 行变为第 2 行，第 2 行变为第 3 行，第 3 行变为第 1 行。
2. 构造置换矩阵 $P$，使得如果原矩阵的第 $j$ 行变为新矩阵的第 $i$ 行，则 $P_{ij} = 1$。
3. 在 $3 \times 3$ 矩阵的 $(1,3)$、$(2,1)$ 和 $(3,2)$ 位置放置 1。
4. 用 0 填充剩余的条目。
5. 验证 $PA$ 产生了所需的行重排。

例子

对于矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$，新矩阵是 $N = \begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$。置换矩阵是 $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$。计算 $PA$ 得到 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} = N$。

容易误解的地方

• 混淆左乘（置换行）与右乘（置换列）。
• 假设三循环置换可以由单个初等行交换矩阵表示。

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继续追问

• 如何在不重新计算的情况下，求出行循环置换后矩阵的逆矩阵？
• 为什么交换原矩阵的行需要交换逆矩阵的列？
• 置换矩阵 P 的逆矩阵是什么？

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