为什么求解 $f_W=\sigma f$ 会引入函数 $\phi(t)$ 而不是常数？

通过将试探解 $S=f(W,t)$ 代入随机微分方程并应用伊藤引理，匹配 $dW$ 和 $dt$ 的系数。这产生了偏微分方程组：$f_W = \sigma f$ 和 $f_t + \frac{1}{2} f_{WW} = \mu f$。

适用条件：$S = f(W,t)$ 是假定的解形式。；$dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ 是定义随机微分方程。；对 $f(W,t)$ 应用伊藤引理。

符号 $\Delta u$ 代表标量场 $u$ 的拉普拉斯算子。它是 $u$ 关于所有坐标方向的非混合二阶偏导数之和的紧凑记法。

适用条件：$u$ 是多变量的标量函数。；坐标是正交笛卡尔坐标（由二阶导数的简单求和暗示）。；该记法将二维情况推广到 $n$ 维。

二维拉普拉斯方程定义为标量函数 $u$ 关于空间坐标 $x$ 和 $y$ 的二阶偏导数之和等于零。它呈现在由 $0 < x < a$ 和 $0 < y < b$ 定义的矩形域上。

适用条件：函数 $u$ 是依赖于两个独立空间变量 $x$ 和 $y$ 的标量场。；域是 $xy$ 平面上的一个开矩形。；方程是齐次的（等于零）。

伊藤引理将函数 $f(W,t)$ 的微分表示为 $df(W,t) = \left[f_t + \frac{1}{2} f_{WW}\right] dt + f_W dW$。该公式包含一个关于 $W$ 的二阶偏导数项乘以 $dt$，这是由于布朗运动的非零二次变差引起的。

适用条件：$f$ 是关于 $W$ 和 $t$ 的足够平滑的函数。；$W$ 是标准布朗运动。

要求 $z = x^2y^2$ 的全微分，需计算对 x 和 y 的偏导数，然后将它们代入全微分公式。结果为 $dz = 2$xy^$2 dx + 2x^2y dy$。

适用条件：函数是 $z = x^2y^2$。；应用标准的偏微分规则。