平面曲线的弧长计算

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学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

0:00用参数表示平面曲线：$x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$，$t\in[a,b]$。先选取曲线上的若干点，顺着参数顺序连接，得到内接折线。

0:08折线每段长度为 $\Delta s_i=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}$。把这些长度相加，得到对曲线长度的近似。这里的 $\Delta s_i$ 是弦长，有限分割时一般不等于真实小弧段长度。

0:14当曲线一阶连续可微，并令参数分割的最大间距趋于零，折线长度和趋于 $s=\int_a^b\sqrt{\varphi\prime(t)^2+\psi\prime(t)^2}\,dt$。根号项是速度的大小。它按参数遍历计算总路程，改变运动方向不会产生负长度；若反复经过同一路段，该路段会多次累计。

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