微元法求曲边梯形面积

对于连续非负函数，定积分表示由函数图像、水平轴以及区间端点处的垂直线所围成区域的精确面积。

适用条件：函数是连续的。；函数是非负的。；区间是闭区间 [a, b]。

采样点 ξᵢ 在每个子区间内被选择，以确定近似矩形的高度。函数值 f(ξᵢ) 作为高度，而子区间的宽度 Δxᵢ 作为底边。

适用条件：区间 [a, b] 被划分为子区间。；从每个子区间中选择一个点 ξᵢ。

对于变号函数，定积分计算的是净有符号面积，即从 x 轴上方的面积中减去下方的面积。为了找到总几何面积，必须对函数的绝对值进行积分，即 $\int$|$f(x)$|dx，以确保所有贡献均为正值。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 [a, b] 上连续。；函数 $f(x)$ 在 [a, b] 内取正值和负值。

垂直条带的面积通过一个矩形来近似。矩形的高度由条带内选定的采样点处的函数值决定，宽度是子区间的宽度。

适用条件：区间被划分为子区间。；在每个子区间中选择一个采样点。

增加块数并不能保证每块的宽度缩小到零。如果某些块保持很宽，那些区域的近似误差就会持续存在，阻止黎曼和收敛到精确的积分。

适用条件：通过添加更多块来细化划分。；划分的最大宽度不一定趋于零。

当函数在区间上连续且非负，且划分的最大宽度趋于零时，黎曼和趋近于几何面积。这些条件确保矩形准确地填充曲线下方的空间，没有显著的空隙或重叠。

适用条件：函数 f 在 [a, b] 上连续。；函数 f 在 [a, b] 上非负。；划分的最大宽度趋于零。

划分的最宽子区间宽度（通常称为网格）必须趋于零，以确保黎曼和收敛于定积分。仅仅增加矩形的数量是不够的，因为单个矩形的宽度可能不会均匀缩小，留下空隙或重叠，从而阻止和准确逼近曲线下的面积。

适用条件：函数在闭区间 [a, b] 上连续。；划分被细化，使得最大子区间宽度趋于零。

记号 dA=$f(x)dx$ 总结了一个薄垂直条带面积的构造。它表示函数高度 $f(x)$ 与无穷小宽度 dx 的乘积，捕捉了总面积是这些无穷小元素累积的思想。

适用条件：函数 $f(x)$ 连续且非负。；面积正通过垂直条带进行近似。