01-静电学：唯一性定理、拉普拉斯方程与泊松方程

1. 公式
   观察依据

   标题行写有 “Laplace eq. → φ”；随后多次出现 $φ_1$、$φ_2$、$φ_3$ 以及 “the value of φ at the boundary”。

2. 声音
   观察依据

   旁白称拉普拉斯方程的解“也就是静电势 phi”。

$\phi$

静电势；在本片段中又分为两个候选解 $\phi_1$、$\phi_2$ 及其差值 $\phi_3$。

体积区域 V 内的空间位置函数；边界上取给定值。

1. 公式
   观察依据

   标题行写有 “Poisson eq. → $\vec{E}$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说第二个唯一性定理涉及泊松方程，告诉我们在什么情况下电场是唯一确定的。

$\vec{E}$

电场矢量。

视频未说明。

1. 公式
   观察依据

   定理句中写有 “at the boundary”，图中闭合曲线内部标注 “V”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“在某个体积区域 V 内是唯一确定的”。

V

所讨论的体积区域。

三维空间中的一个区域；片段中用二维闭合曲线示意其截面。

1. 公式
   观察依据

   图中闭合曲线外标注 “∂V”；边界条件写作 “$\phi_1(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=$\phi_2(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“只要我们在 V 的边界上指定了 phi 的值”。

$\partial V$

区域 V 的边界。

区域 V 的外边界。

1. 图示
   观察依据

   闭合曲线外侧多处标注红色 “Q”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“任何影响电势形状的电荷都位于这个区域之外，也就是边界外”。

Q

位于区域 V 外部、影响边界电势值的电荷。

边界 ∂V 之外。

1. 公式
   观察依据

   写出 “$\Delta \phi_1 = 0$ , $\Delta \phi_2 = 0$” 以及 “$\Delta \phi_3 = \Delta(\phi_1-\phi_2)=\Delta\phi_1-\Delta\phi_2=0-0=0$”。

$\Delta$

拉普拉斯算子。

作用于电势函数 $\phi$。

1. 公式
   观察依据

   写出 “$\Delta \phi_1 = 0$” 和 “$\phi_1(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=$\phi_2(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说假设有两个拉普拉斯方程的解，分别是 phi1 和 phi2。

$\phi_1$

满足同一边界条件的第一个候选解。

区域 V 内的电势函数。

1. 公式
   观察依据

   写出 “$\Delta \phi_2 = 0$” 和 “$\phi_1(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=$\phi_2(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说假设有两个拉普拉斯方程的解，分别是 phi1 和 phi2。

$\phi_2$

满足同一边界条件的第二个候选解。

区域 V 内的电势函数。

1. 公式
   观察依据

   写出 “define $\phi_3$ := $\phi_1 - \phi_2$”、“$\Delta \phi_3 = 0$”、“$\phi_3(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=0”、“$\phi_3(\vec r)=0$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“现在我们定义一个新的电势 phi3，作为 phi1 和 phi2 的差值”。

$\phi_3$

两个候选解之差，用来证明二者相同。

区域 V 内的电势函数。

1. 公式
   观察依据

   边界条件和结论中写作 “$\phi_1(\vec r)$”、“$\phi_2(\vec r)$”、“$\phi_3(\vec r)$”。

$\vec r$

空间位置变量。

区域 V 及其边界 ∂V 上的点。

1. 图示
   观察依据

   左下角示意图中出现 “$\phi_{min}$” 与 “$\phi_{max}$” 字样，配合边界端点和内部波动曲线。

1. 该记号出现在辅助示意小图中，视频未单独给出正式定义。

$\phi_{min}$,\ $\phi_{max}$

用于示意拉普拉斯方程解的最小值和最大值的位置。

区域 V 及其边界 ∂V 上的电势取值。

1. 图示
   观察依据

   画面右侧粉色区域内部标注了字母 V。

V

充满电荷密度的区域体积

三维空间区域

1. 公式
   观察依据

   标题写为 “Uniqueness Theorems in Electrostatics : Laplace eq. → φ , Poisson eq. → $\vec{E}$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说本视频将讲解静电学中的两个唯一性定理，第一个关于拉普拉斯方程的解唯一，第二个关于泊松方程下电场唯一确定。

片段开头把主题分成两部分：一是拉普拉斯方程解的唯一性，二是泊松方程情形下电场唯一确定的条件。这里先给出总纲，再进入第一个定理。

1. 属于静电学主题

2. 本片段实际展开的是第一个定理

1. 公式
   观察依据

   板书写出 “1. Theorem: The solution to Laplace's equation is uniquely determined if we specify the value of φ at the boundary.”

2. 声音
   观察依据

   旁白说拉普拉斯方程的解在某个体积区域 V 内是唯一确定的，只要在 V 的边界上指定了 phi 的值。

若在给定体积区域 V 的边界 ∂V 上指定电势 φ 的值，则拉普拉斯方程在该区域内的解唯一。片段用闭合区域图强调“边界值决定内部解”这一结构。

1. 区域 V 内满足拉普拉斯方程

2. 在边界 ∂V 上给定电势值

1. 拉普拉斯方程适用的无电荷区域

1. 声音
   观察依据

   旁白说拉普拉斯方程描述的是一个没有任何电荷密度的区域，任何影响电势形状的电荷都位于这个区域之外，也就是边界外。

2. 图示
   观察依据

   闭合曲线内部标 V，外部标 Q。

本片段把拉普拉斯方程解释为适用于不含电荷密度的区域 V；影响电势分布的电荷 Q 位于边界外，通过边界上的电势值间接进入问题。

1. 区域 V 内没有电荷密度

2. 相关电荷位于边界外

1. 公式
   观察依据

   板书依次写出 “$\Delta \phi_1 = 0$ , $\Delta \phi_2 = 0$”、“$\phi_1(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=$\phi_2(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}”、“define $\phi_3$ := $\phi_1 - \phi_2$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说先假设有两个拉普拉斯方程的解，它们满足相同的边界条件，然后定义新的电势 phi3 作为二者差值。

证明思路不是直接求解除，而是假设有两个解 $φ_1$ 和 $φ_2$，构造差值 $φ_3=φ_1-φ_2$，再证明 $φ_3$ 在整个区域内恒为 0，从而得到 $φ_1=φ_2$。

1. $φ_1$ 与 $φ_2$ 都是同一拉普拉斯方程的解

2. $φ_1$ 与 $φ_2$ 在边界上取值相同

1. 拉普拉斯方程唯一性定理

1. 声音
   观察依据

   旁白说关于拉普拉斯方程有一个很好的性质，是它的解的最小值和最大值一定出现在边界上，而不是在内部某处。

2. 图示
   观察依据

   左下角小图用边界端点和内部波动曲线示意极值位置。

1. 视频以口头性质加示意图表达，未写出正式定理名或完整证明。

片段给出的关键性质是：拉普拉斯方程解的最大值和最小值出现在边界上，而不会在区域内部某处取得。这一步是后续推出 $φ_3$≡0 的核心依据。

1. 函数满足拉普拉斯方程

2. 讨论其在区域 V 上的最大值与最小值位置

1. 拉普拉斯方程适用的无电荷区域

1. 字幕依据
   观察依据

   画面顶部写出 2. Theorem: For a region filled with a charge density 且 surrounded by conducting boundaries, the electric field is uniquely determined by the total charges on the conductors.

在充满电荷密度且被导体边界包围的区域内，如果指定了边界上导体上的总电荷，区域内的电场就是唯一确定的。

1. 区域 V 内充满电荷密度 $\rho$

2. 区域被导体边界包围

3. 指定了边界上导体的总电荷 $Q_i$

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $\nabla \cdot \vec{E}_1 = \frac{\rho}{\epsilon_0}$, $\nabla \cdot \vec{E}_2 = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ ; $\int_{\partial S_i} \vec{E}_1 \cdot d\vec{S} = \frac{Q_i}{\epsilon_0}$, $\int_{\partial S_i} \vec{E}_2 \cdot d\vec{S} = \frac{Q_i}{\epsilon_0}$ ($i=1$,2,...)

电场的散度等于电荷密度除以真空介电常数；电场通过闭合曲面的通量等于该曲面内包围的总电荷除以真空介电常数。

1. 适用于静电场

2. Q 为闭合曲面内的总电荷

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $\int_V d^3r \nabla (\phi_3 \vec{E}_3) = - \int_V d^3r E_3^2 \xrightarrow{div. thm.} \sum_{i=1}^{n} \int_{\partial S_i} \phi_3 \vec{E}_3 \cdot d\vec{S}_i = - \int_V d^3r E_3^2$

将体积内的散度积分转化为边界上的面积分。

1. 向量场 $\vec{F}$ 在体积 V 内连续可微

1. 字幕依据
   观察依据

   板书顶部写出 “2. Theorem: For a region filled with a charge density 且 surrounded by conducting boundaries, the electric field is uniquely determined by the total charges on the conductors.”

2. 声音
   观察依据

   结尾旁白总结“这个区域内的电场是唯一确定的。”

片段围绕一个定理展开：若某区域充满给定电荷密度，且其边界由若干导体组成，则只要给出各导体上的总电荷，区域内的电场就被唯一确定。板书把“charge density”和“total charges on the conductors”作为决定电场的两类数据。

1. 区域充满给定电荷密度 $\rho$

2. 边界为导体

3. 给定各导体上的总电荷 $Q_i$

1. 公式
   观察依据

   板书第二行写 “define $\vec{E}_3=\vec{E}_1-\vec{E}_2 \rightarrow (1) \nabla\cdot\vec{E}_3=0 \quad (2) \oint_{\partial S_i}\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“现在我们再次定义第三个电场E3，它满足之前讨论的两个方程的齐次形式。”

为证明唯一性，视频引入差场 $\vec{E}_3=\vec{E}_1-\vec{E}_2$。由于 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$ 满足同样的散度方程和同样的边界总电荷条件，二者相减后得到齐次条件：$\nabla\cdot\vec{E}_3=0$，且每个边界上的通量积分为 0。

1. $\vec{E}_1$ 与 $\vec{E}_2$ 具有相同的 $\rho$

2. $\vec{E}_1$ 与 $\vec{E}_2$ 在各导体边界上具有相同的 $Q_i$

1. 静电学唯一性定理表述

1. 公式
   观察依据

   板书第三行写 “trick: $\nabla(\phi_3\vec{E}_3)=\phi_3\underbrace{\nabla\cdot\vec{E}_3}_{0}+\underbrace{\nabla\phi_3\cdot\vec{E}_3}_{-\vec{E}_3^2}$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“证明这个定理的一个巧妙方法是考察电势非3与电场E3的散度……利用乘积法则后，我们得到两个项。其中一个项因为之前的第一个方程而消失了。对于另一个项，我们可以用负电场来代替phi的梯度。所以这个表达式等于负的E3次方。”

1. 音频转写中的“非3”应为 $\phi_3$；“负的E3次方”结合板书应理解为 -\vec{E}_3^{\,2}。

视频的核心技巧是考察 $\nabla(\phi_3\vec{E}_3)$。先用乘积法则拆成两项：$\phi_3(\nabla\cdot\vec{E}_3)$ 与 ($\nabla\phi_3$)$\cdot\vec{E}_3$。第一项因 $\nabla\cdot\vec{E}_3=0$ 消失；第二项利用 $\vec{E}_3=-\nabla\phi_3$ 替换梯度，得到 -($\vec{E}_3\cdot\vec{E}_3$)=-\vec{E}_3^{\,2}。这一步把待证对象转化为非负量的体积分。

1. E3 矢量场的散度为零

2. E3 矢量场等于负的 phi3 的梯度

1. 差场 $E_3$ 的定义与齐次方程

1. 公式
   观察依据

   板书第四行写 $\int d^3r$\,$\nabla(\phi_3\vec{E}_3)=-\int d^3r$\,$\vec{E}_3^{\,2}$，并用箭头标注 “div. thm.” 指向 $\sum_{i=1}^{n}\oint_{\partial S_i}\phi_3\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“接下来，我们应用散度定理，将体积分转换成方程左边的曲面积分。这些实际上是几个独立的曲面积分，取决于我们有多少个边界。”

对上一步得到的恒等式在体积 V 上积分，左边是 $\int_V \nabla(\phi_3\vec{E}_3)d^3r$。视频明确用散度定理把它改写为各边界曲面积分之和 $\sum_{i=1}^{n}\oint_{\partial S_i}\phi_3\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i$，右边保持为 -\int_V $\vec{E}_3^{\,2}d^3r$。旁白强调这些曲面积分按边界个数分开。

1. 区域 V 由若干边界 $\partial S_i$ 围成

2. 可使用散度定理

1. 乘积法则技巧：把散度化为 -|$E_3$|^2

1. 公式
   观察依据

   板书完整写出定理句：“The solution to Laplace's equation is uniquely determined if we specify the value of φ at the boundary.”

2. 声音
   观察依据

   旁白同步解释该定理。

若在某个体积区域 V 的边界 ∂V 上指定电势 φ 的值，则拉普拉斯方程在 V 内的解唯一。

1. 在 V 内考虑拉普拉斯方程

2. 边界 ∂V 上给定 φ 的值

对区域 V 内满足同一边界条件的解而言，解是唯一的。

1. 公式
   观察依据

   板书写出 “$\phi_3(\vec r)=0$” 以及 “$\Rightarrow \phi_1(\vec r)=\phi_2(\vec r)$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说如果零既是它的最大值又是它的最小值，那么 phi3 在整个区域内都为零，这意味着 phi1 和 phi2 实际上是完全相同的函数。

若 $φ_3$ 满足拉普拉斯方程且在边界 ∂V 上处处为 0，则由极值性质可知 $φ_3$ 在整个区域 V 内恒为 0，进而 $φ_1=φ_2$。

1. φ₃的增量为零

2. φ₃在区域V的边界上取值为零

3. 拉普拉斯方程解的极值出现在边界上

对区域 V 内所有点 $\vec r$ 成立。

1. 字幕依据
   观察依据

   画面顶部写出定理内容，音频也同步讲解了该定理。

对于充满电荷密度且被导体边界包围的区域，电场由导体上的总电荷唯一确定。

1. 区域 V 内充满电荷密度 $\rho$

2. 区域被导体边界包围

3. 指定了边界上导体的总电荷 $Q_i$

对于任意满足上述条件的区域和边界条件

1. 字幕依据
   观察依据

   板书定理句完整写出唯一性结论。

2. 声音
   观察依据

   结尾旁白明确总结“这个区域内的电场是唯一确定的。”

对于充满电荷密度 $\rho$ 且被导体边界包围的区域，若各导体上的总电荷 $Q_i$ 给定，则该区域内的电场被唯一确定。

1. 区域充满给定电荷密度 $\rho$

2. 边界由导体组成

3. 给定每个导体边界上的总电荷 $Q_i$

对所有满足同样 $\rho$ 与同样 $Q_i$ 的两个电场 $\vec{E}_1$,$\vec{E}_2$，都有 $\vec{E}_1=\vec{E}_2$。

1. 公式
   观察依据

   板书第二行直接写出 (1) $\nabla\cdot\vec{E}_3=0$ 与 (2) $\oint_{\partial S_i}\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$。

若 $\vec{E}_1$ 与 $\vec{E}_2$ 满足同样的散度源和同样的边界总电荷，则差场 $\vec{E}_3=\vec{E}_1-\vec{E}_2$ 满足 $\nabla\cdot\vec{E}_3=0$ 且 $\oint_{\partial S_i}\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$。

1. E1 矢量场与 E2 矢量场的散度都等于电荷密度除以真空介电常数

2. 沿曲面 Si 边界闭合路径对 E1 矢量场作线积分，结果等于沿同一路径对 E2 矢量场作线积分，二者都等于曲面 Si 内包围的电荷量除以真空介电常数

对每个边界 $i=1$,$\dots$,n 成立。

1. 公式
   观察依据

   板书 trick 行写出 $\nabla(\phi_3\vec{E}_3)=\phi_3\nabla\cdot\vec{E}_3+\nabla\phi_3\cdot\vec{E}_3=-\vec{E}_3^2$。

在 $\nabla\cdot\vec{E}_3=0$ 且 $\vec{E}_3=-\nabla\phi_3$ 的条件下，有 $\nabla(\phi_3\vec{E}_3)=-\vec{E}_3^{\,2}$。

1. E3 矢量场的散度为零

2. E3 矢量场等于负的 phi3 的梯度

在讨论的体积区域内逐点成立。

1. 公式
   观察依据

   板书求和项下标注 0，并把右端写成 =0。

2. 声音
   观察依据

   旁白说“等式左边变成了零”。

由于每个导体边界上 $\phi_3$ 为常数且 $\oint_{\partial S_i}\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$，故 $\sum_{i=1}^{n}\oint_{\partial S_i}\phi_3\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$。

1. 导体为等势体

2. $\oint_{\partial S_i}\vec{E}_3\cdot d\vec{\ell}_i=0$ 对每个 i 成立

对 $i=1$,$\dots$,n 的有限个边界求和。

1. 声音
   观察依据

   旁白说“一个平方的量不可能是负数……才能说明E3本身在任何地方都是零。”

2. 公式
   观察依据

   板书最终写出 -\int $d^3r$\,$\vec{E}_3^{\,2}=0$。

若 $\int_V \vec{E}_3^{\,2}d^3r=0$ 且 $\vec{E}_3^{\,2}\ge 0$，则 $\vec{E}_3=0$，进而 $\vec{E}_1=\vec{E}_2$。

1. $\vec{E}_3^{\,2}$ 为非负量

2. 体积分等于 0

在区域 V 内处处成立。

1. 公式
   观察依据

   板书按顺序写出 “$\Delta \phi_1 = 0$ , $\Delta \phi_2 = 0$”、“$\phi_1(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=$\phi_2(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}”、“define $\phi_3$ := $\phi_1 - \phi_2$”、“$\Delta \phi_3 = \Delta(\phi_1-\phi_2)=\Delta\phi_1-\Delta\phi_2=0-0=0$”、“$\phi_3(\vec r)$|_{$\vec r\in \partial V$}=0”、“$\phi_3(\vec r)=0$”、“$\Rightarrow \phi_1(\vec r)=\phi_2(\vec r)$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白逐步解释假设两个解、构造差值、利用边界条件与极值性质得到差值为零。

3. 图示
   观察依据

   右侧区域图和左下极值示意图配合说明边界值与内部极值位置。

1. 极值性质在视频中以口头陈述和示意图给出，未展示其独立证明。

1. 公式

   $$\Delta \phi_1 = 0 ,\quad \Delta \phi_2 = 0$$
   解释

   先假设存在两个都满足拉普拉斯方程的解 $φ_1$ 和 $φ_2$。

   步骤依据

   这是唯一性证明的标准起手：假设有两个候选解。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\phi_1(\vec r)|_{\vec r\in \partial V}=\phi_2(\vec r)|_{\vec r\in \partial V}$$
   解释

   二者在边界 ∂V 上取相同的电势值。

   步骤依据

   对应定理前提“在边界上指定 φ 的值”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\phi_3 := \phi_1 - \phi_2$$
   解释

   定义差值函数 $φ_3$。

   步骤依据

   把“证明两解相同”转化为“证明差值恒为零”。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\Delta \phi_3 = \Delta(\phi_1-\phi_2)=\Delta\phi_1-\Delta\phi_2=0-0=0$$
   解释

   由拉普拉斯算子的线性，$φ_3$ 也满足拉普拉斯方程。

   步骤依据

   因为 $φ_1$ 和 $φ_2$ 各自都满足 $Δφ=0$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\phi_3(\vec r)|_{\vec r\in \partial V}=0$$
   解释

   由于 $φ_1$ 与 $φ_2$ 在边界上相等，所以差值在边界上处处为 0。

   步骤依据

   直接由边界条件相减得到。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\text{The maximum \text{且} minimum values of a solution to Laplace's equation must occur on the boundary.}$$
   解释

   引用片段给出的极值性质：调和函数的极值不在内部取得。

   步骤依据

   视频口头陈述并配示意图说明。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\phi_3(\vec r)=0 \quad \text{for all } \vec r\in V$$
   解释

   既然 $φ_3$ 在边界上已经是 0，而它的最大值和最小值又只能在边界取得，那么整个区域内的最大值和最小值都只能是 0，因此 $φ_3$ 恒为 0。

   步骤依据

   由边界值 0 与极值位置性质共同推出。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\phi_1(\vec r)=\phi_2(\vec r)$$
   解释

   差值恒为 0 意味着两个候选解完全相同。

   步骤依据

   由 $φ_3=φ_1-φ_2$ 且 $φ_3=0$ 得出。

   视频直接表达

满足同一边界条件的拉普拉斯方程解在区域 V 内唯一。

1. 公式
   观察依据

   画面逐步写出了证明过程的各个公式。

2. 声音
   观察依据

   音频同步讲解了证明的思路和步骤。

1. 公式

   $$\vec{E}_3 = \vec{E}_1 - \vec{E}_2$$
   解释

   假设存在两个满足相同边界条件和电荷密度的电场 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$，定义它们的差值电场为 $\vec{E}_3$。

   步骤依据

   反证法假设

   视频直接表达
2. 公式

   $$\nabla \cdot \vec{E}_3 = 0$$
   解释

   由于 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$ 都满足 $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$，相减得到 $\vec{E}_3$ 的散度为零。

   步骤依据

   高斯定理的微分形式

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int_{\partial S_i} \vec{E}_3 \cdot d\vec{S} = 0$$
   解释

   由于 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$ 在每个边界上的通量都等于 $\frac{Q_i}{\epsilon_0}$，相减得到 $\vec{E}_3$ 在每个边界上的通量为零。

   步骤依据

   高斯定理的积分形式

   视频直接表达
4. 公式

   $$\nabla (\phi_3 \vec{E}_3) = \phi_3 \nabla \cdot \vec{E}_3 + \nabla \phi_3 \cdot \vec{E}_3$$
   解释

   利用向量微积分的乘积法则展开 $\nabla (\phi_3 \vec{E}_3)$。

   步骤依据

   向量恒等式

   视频直接表达
5. 公式

   $$\nabla (\phi_3 \vec{E}_3) = - E_3^2$$
   解释

   因为 $\nabla \cdot \vec{E}_3 = 0$ 且 $\nabla \phi_3 = -\vec{E}_3$，代入上式得到 $\nabla (\phi_3 \vec{E}_3) = - E_3^2$。

   步骤依据

   电场与电势的关系 $\vec{E} = -\nabla \phi$

   视频直接表达
6. 公式

   $$\int_V d^3r \nabla (\phi_3 \vec{E}_3) = - \int_V d^3r E_3^2$$
   解释

   对上式在整个体积 V 内进行体积分。

   步骤依据

   积分的线性性质

   视频直接表达
7. 公式

   $$\sum_{i=1}^{n} \int_{\partial S_i} \phi_3 \vec{E}_3 \cdot d\vec{S}_i = - \int_V d^3r E_3^2$$
   解释

   利用散度定理将体积分转化为边界上的面积分之和。

   步骤依据

   散度定理

   视频直接表达
8. 公式

   $$0 = - \int_V d^3r E_3^2$$
   解释

   因为 $\vec{E}_3$ 在每个边界上的通量为零，且导体表面是等势面（$\phi_3$ 为常数），所以左边的面积分为零。

   步骤依据

   边界条件及导体性质

   视频直接表达
9. 公式

   $$\int_V d^3r E_3^2 = 0$$
   解释

   移项得到差值电场的平方在体积 V 内的积分为零。

   步骤依据

   代数变形

   视频直接表达
10. 公式

    $$\vec{E}_3 = 0 \implies \vec{E}_1 = \vec{E}_2$$
    解释

    由于 $\vec{E}_3^2$ 是非负的，其在体积内的积分为零意味着 $\vec{E}_3$ 处处为零，从而证明了 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$ 相同，电场是唯一的。

    步骤依据

    非负连续函数积分为零的性质

    依据视频推导