矩阵运算何时有定义｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   D = [[2, 4, 4], [3, -1, 0], [2, 4, 3]]

D

第一个问题中给出的一个 3x3 矩阵。

3x3 矩阵

1. 公式
   观察依据

   B = [[4, 1], [4, 4]]

B

第一题中的二阶矩阵 B；下一题独立复用字母 B 表示另一个列向量。

2x2 矩阵

1. 公式
   观察依据

   C = [[4], [-2]]

C

第二个问题中给出的一个 2x1 矩阵或列向量。

2x1 矩阵

1. 公式
   观察依据

   B = [[0], [0]]

B

第二题中的 2 行 1 列零列向量，与第一题中的 B 不同。

2x1 矩阵

1. 图示
   观察依据

   矩阵 C 显示为一个 2x1 列向量，元素为 4 和 -2。

C

一个 2x1 矩阵。

实数域上的矩阵。

1. 图示
   观察依据

   矩阵 B 显示为一个 2x1 列向量，元素为 0 和 0。

B

一个 2x1 零矩阵。

实数域上的矩阵。

1. 图示
   观察依据

   矩阵 A 显示为一个 2x2 矩阵，元素为 [[1, 3], [-1, 3]]。

A

一个 2x2 矩阵。

实数域上的矩阵。

1. 图示
   观察依据

   矩阵 E 显示为一个 1x2 行向量，元素为 [-1, 2]。

E

一个 1x2 矩阵（行向量）。

实数域上的矩阵。

1. 声音
   观察依据

   讲解比较第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数。

实矩阵通常的行乘列乘积，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。m 行 n 列矩阵可乘 n 行 p 列矩阵，结果为 m 行 p 列；结果尺寸是对标准规则的配套澄清。

1. 内部维度必须匹配。

2. 此条件讨论按画面顺序进行的通常矩阵乘法。

1. 声音
   观察依据

   讲解要求加法的两个矩阵具有相同行数和列数。

当且仅当两个矩阵具有完全相同的维度时，矩阵加法才有定义。

1. 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。

1. 声音
   观察依据

   后续讲解确认两个列向量形状相同，因此可以相加。

2. 图示
   观察依据

   矩阵 C 和 B 都显示为 2x1 列向量。

3. 公式
   观察依据

   一般字母下标公式是对规则的编辑表达；原片检查具体维数。

当且仅当两个矩阵具有完全相同的维度（行数相同且列数相同）时，矩阵加法才有定义。在本例中，C 和 B 都是 2x1 矩阵，因此 C + B 是有定义的。

1. 两个矩阵必须具有相同的行数。

2. 两个矩阵必须具有相同的列数。

1. 声音
   观察依据

   讲解比较 A 的两列与 E 的一行，判定 AE 无定义。

2. 动画
   观察依据

   维度 '2x2' 和 '1x2' 分别写在 A 和 E 下方，内部维度（2 和 1）被圈出并进行比较。

3. 公式
   观察依据

   一般字母下标公式是对规则的编辑表达；原片检查具体维数。

当且仅当第一个矩阵 (A) 的列数等于第二个矩阵 (B) 的行数时，矩阵乘法 AB 才有定义。如果 A 是 m x n，B 是 p x q，那么 n 必须等于 p。

1. 两个矩阵的内部维度必须匹配。

1. 声音
   观察依据

   交换顺序后内部维数变为二与二，因此 EA 可以进行。

2. 动画
   观察依据

   写出表达式 EA，其下方维度为 1x2 和 2x2。内部维度（2 和 2）被圈出并显示为匹配。

3. 公式
   观察依据

   符号简写记录 AE 与 EA 在原画面圈出的内部维数。

这里 AE 的内部维数是 2 与 1，因此无定义；EA 的内部维数是 2 与 2，因此有定义。所列公式比较的是维数，不是乘积的数值。矩阵乘法一般不满足交换律，但有些矩阵对可交换；本课说明的是乘积是否存在，没有计算两个不相等的乘积。

1. 适用于根据维度兼容性检查乘积是否存在时。

1. 矩阵乘法有定义的条件

1. 声音
   观察依据

   第一题乘法的内部维数不相等，讲解因此判定无定义。

2. 动画
   观察依据

   手写的 'D' 下面写着 '3x3'，'B' 下面写着 '2x2'。内部的数字 '3' 和 '2' 被圈出。

1. 解释

   识别矩阵 D 的维度为 3x3。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
2. 解释

   识别矩阵 B 的维度为 2x2。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
3. 解释

   比较内部维度：3（D 的列数）和 2（B 的行数）。

   步骤依据

   矩阵乘法定义的规则。

   视频直接表达
4. 解释

   因为 3 不等于 2，所以乘积 DB 没有定义。

   步骤依据

   未满足矩阵乘法的条件。

   视频直接表达

乘积 DB 没有定义。

1. 声音
   观察依据

   两个列向量的形状相同，讲解因此判定可以相加。

2. 动画
   观察依据

   手写的 'C' 下面写着 '2x1'，'B' 下面写着 '2x1'。

1. 首段在第二题进行中结束；完整视频的后续段包含答案提交。

1. 解释

   识别矩阵 C 的维度为 2x1。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
2. 解释

   识别矩阵 B 的维度为 2x1。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
3. 解释

   比较 C 和 B 的维度。

   步骤依据

   矩阵加法定义的规则。

   视频直接表达
4. 解释

   因为两者都是 2x1，它们具有完全相同的维度，所以 C+B 有定义。

   步骤依据

   满足矩阵加法的条件。

   视频直接表达

和 C+B 有定义。

1. 公式
   观察依据

   D = [[2, 4, 4], [3, -1, 0], [2, 4, 3]], B = [[4, 1], [4, 4]]；问题是 DB 是否有定义。

2. 声音
   观察依据

   第一题询问画面中的矩阵乘积是否有定义。

给定矩阵 D 和 B，确定乘积 DB 是否有定义。

1. D 是一个 3x3 矩阵

2. B 是一个 2x2 矩阵

确定矩阵乘法 DB 是否有定义。

1. 解释

   检查矩阵用于乘法的内部维度。

   步骤依据

   矩阵乘法的定义。

   视频直接表达
2. 解释

   D 的列数是 3，B 的行数是 2。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
3. 解释

   因为 3 != 2，所以乘法没有定义。

   步骤依据

   未满足矩阵乘法的条件。

   视频直接表达

不，DB 没有定义。

讲解选择否定答案并提交，练习界面判定正确。

1. 公式
   观察依据

   C = [[4], [-2]], B = [[0], [0]]；问题是 C+B 是否有定义。

2. 声音
   观察依据

   第二题询问画面中的矩阵和是否有定义。

1. 首段在第二题进行中结束；完整视频的后续段包含答案提交。

给定矩阵 C 和 B，确定和 C+B 是否有定义。

1. C 是一个 2x1 矩阵

2. B 是一个 2x1 矩阵

确定矩阵加法 C+B 是否有定义。

1. 解释

   检查矩阵是否具有完全相同的维度。

   步骤依据

   矩阵加法的定义。

   视频直接表达
2. 解释

   C 和 B 都是 2x1 矩阵。

   步骤依据

   视觉检查矩阵。

   视频直接表达
3. 解释

   因为它们具有相同的维度，所以加法有定义。

   步骤依据

   满足矩阵加法的条件。

   视频直接表达

是的，C+B 有定义。

本段给出形状相同的理由并选择肯定答案，后续讲解完成本题。

1. 图示
   观察依据

   问题询问 'C + B 是否有定义？'，其中 C=[[4],[-2]] 且 B=[[0],[0]]。

2. 声音
   观察依据

   两个形状相同的列向量满足加法条件。

给定 C = [[4], [-2]] 和 B = [[0], [0]]，确定 C + B 是否有定义。

1. C 是一个 2x1 矩阵。

2. B 是一个 2x1 矩阵。

确定和 C + B 是否存在。

1. 解释

   识别矩阵 C 的维度。

   步骤依据

   视觉检查显示 2 行 1 列。

   视频直接表达
2. 解释

   识别矩阵 B 的维度。

   步骤依据

   视觉检查显示 2 行 1 列。

   视频直接表达
3. 解释

   比较维度。

   步骤依据

   两者都是 2x1，因此它们匹配。

   依据视频推导

是的，C + B 有定义。

维度完全匹配。

1. 图示
   观察依据

   问题询问 'AE 是否有定义？'，其中 A=[[1,3],[-1,3]] 且 E=[[-1,2]]。

2. 声音
   观察依据

   画面中的乘积不满足内部维数匹配条件。

给定 A = [[1, 3], [-1, 3]] 和 E = [[-1, 2]]，确定乘积 AE 是否有定义。

1. A 是一个 2x2 矩阵。

2. E 是一个 1x2 矩阵。

确定乘积 AE 是否存在。

1. 解释

   识别 A 的维度：2 行，2 列。

   步骤依据

   视觉检查。

   视频直接表达
2. 解释

   识别 E 的维度：1 行，2 列。

   步骤依据

   视觉检查。

   视频直接表达
3. 解释

   检查乘法条件：A 的列数必须等于 E 的行数。

   步骤依据

   矩阵乘法的定义。

   依据视频推导
4. 解释

   比较 2（A 的列数）和 1（E 的行数）。它们不相等。

   步骤依据

   算术比较。

   依据视频推导

不，AE 没有定义。

内部维度不匹配 (2 != 1)。

1. 动画
   观察依据

   演讲者写下 EA 并检查维度。

2. 声音
   观察依据

   交换顺序后的乘积满足内部维数匹配条件。

使用相同的矩阵 A 和 E，确定反向乘积 EA 是否有定义。

1. E 是一个 1x2 矩阵。

2. A 是一个 2x2 矩阵。

确定乘积 EA 是否存在。

1. 解释

   识别 E 的维度：1 行，2 列。

   步骤依据

   视觉检查。

   视频直接表达
2. 解释

   识别 A 的维度：2 行，2 列。

   步骤依据

   视觉检查。

   视频直接表达
3. 解释

   检查条件：E 的列数 (2) 必须等于 A 的行数 (2)。

   步骤依据

   矩阵乘法的定义。

   依据视频推导
4. 解释

   比较 2 和 2。它们相等。

   步骤依据

   算术比较。

   依据视频推导

是的，EA 将有定义。

内部维度匹配 (2 == 2)。

1. 动画
   观察依据

   演示者使用截图工具从网页复制问题并粘贴到草稿板应用程序中。

1. 网页

2. 截图工具

3. 草稿板

1. 问题从网页复制到草稿板

1. 问题的数学内容保持不变

此视觉事件展示了演示者在单独的电子白板上解决问题的流程。

1. 动画
   观察依据

   演示者写下 'D' 和 '3x3'，然后是 'B' 和 '2x2'。他圈出内部数字 '3' 和 '2' 以突出显示它们进行比较。

1. 矩阵 D 和 B

2. 手写注释

1. 维度写在矩阵下方

2. 内部维度被圈出

1. 原始矩阵保持可见

此视觉事件通过隔离和比较相关维度来强调矩阵乘法的关键规则。

1. 动画
   观察依据

   演示者写下 'C' 和 '2x1'，然后是 'B' 和 '2x1'。

1. 矩阵 C 和 B

2. 手写注释

1. 维度写在矩阵下方

1. 原始矩阵保持可见

此视觉事件设置了确定矩阵加法是否有定义所需的维度比较。

1. 动画
   观察依据

   手写文本出现在矩阵 A 和 E 下方，显示它们的维度 '2x2' 和 '1x2'，随后内部数字被圈出。

1. 矩阵 A

2. 矩阵 E

3. 手写维度

1. 维度写在矩阵下方。

2. 内部维度被圈出以突出比较。

1. 矩阵本身保持不变。

此视觉辅助工具演示了规则：要使乘法有定义，内部维度必须匹配。

1. 动画
   观察依据

   表达式 'EA' 写在 'AE' 旁边，其下方维度为 '1x2' 和 '2x2'，并且匹配的内部维度被圈出。

1. 表达式 EA

2. 手写维度

1. 形成新表达式 EA。

2. 相对于前一个示例，维度被交换。

1. 矩阵 A 和 E 是与之前相同的对象。

表明改变顺序会改变哪些维度是“内部”维度，从而可能使未定义的乘积变为有定义。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分乘法的内部维数匹配与加法的整体形状匹配。

学生可能认为相同的维度规则适用于矩阵乘法和加法。

矩阵乘法只需要内部维度匹配（第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数），而矩阵加法要求所有维度完全相同。

1. 声音
   观察依据

   讲解对同一对矩阵交换顺序，比较乘积是否存在。

学生通常假设如果 AB 未定义，则 BA 也未定义，或者 AB = BA。

交换顺序可能改变乘积是否存在：这里 AE 无定义，而 EA 有定义。这不是比较它们的值，因为无定义的乘积没有数值。一般而言矩阵乘法不满足交换律，但某些具体矩阵对可以交换。

1. 声音
   观察依据

   乘法题之后是加法题，分别采用不同的维数判断条件。

矩阵操作有定义的条件在乘法和加法之间根本不同。

1. 声音
   观察依据

   讲解对比加法的整体形状匹配与乘法的内部维数匹配。

对于 m 行 n 列与 p 行 q 列的矩阵，加法要求 m=p 且 n=q；按此顺序的通常乘法要求 n=p。这组一般字母明确了原片示例中两种不同的判断条件。

1. 动画
   观察依据

   并排比较 AE 和 EA。

矩阵乘法的定义直接导致结论：顺序对于定义性很重要。

1. 声音
   观察依据

   第一题考察矩阵乘积是否兼容。

1. 矩阵乘法有定义的条件
2. 示例：DB 有定义吗？

1. 声音
   观察依据

   第二题考察矩阵和是否兼容。

1. 矩阵加法有定义的条件
2. 示例：C+B 有定义吗？

1. 声音
   观察依据

   后续讲解说明两个形状相同的列向量相加。

1. 矩阵加法有定义的条件

1. 动画
   观察依据

   圈出内部维度 2 和 1。

1. 矩阵乘法有定义的条件

1. 声音
   观察依据

   讲解比较原顺序与交换顺序后的矩阵乘法。

1. 顺序影响乘积是否有定义
2. 假设矩阵乘法是可交换的