用简单微分方程建模人口 | 可汗学院

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设 P 等于我们的人口数量。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上手写定义为“P = 人口”

P

模型中的人口变量。

人口数量（隐含为非负数）。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设 t 等于已过去的天数。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上手写定义为“t = 时间（天）”

t

已过去的时间，以天为单位。

以天为单位的时间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“人口关于时间的变化率”，随后又提到“P 关于 t 的导数”。

2. 公式
   观察依据

   黑板上在等式左侧手写出类似分式的形式“dP/dt”。

dP/dt

人口关于时间的瞬时变化率。

$P(t)$ 关于 t 的导数。

1. 声音
   观察依据

   说话人称变化率“与实际种群数量成正比”，这暗示存在一个比例常数，但并未在口述中明确命名该常数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上在方程中P之前手写了一个橙色的常数符号，其视觉样式与k一致。

1. 该常数虽写在黑板上，但在视频片段中未被口头命名；将其识别为k，是基于所见符号及标准比例关系记法。

k

将dP/dt与P关联起来的比例常数。

微分方程中的常数乘子。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“P = 种群数量”，并在微分方程及后续积分中使用 P。

P

种群变量。

种群数量；视作关于时间 t 的函数。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“t = 时间（天）”，并在 dP/dt 和 kt 中使用 t。

t

以天为单位计量的时间。

该微分方程的自变量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出方程 dP/dt = kP，且 k 保留在分离变量后及积分后的形式中。

1. 视频未明确说明 k 的符号或单位。

k

种群模型中的比例常数。

在 dP/dt = kP 中乘在 P 前的常参数。

1. 公式
   观察依据

   黑板上以莱布尼茨记法展示 dP/dt。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，在处理可分离变量的微分方程时，可将这种莱布尼茨记法下的导数当作分数来操作。

dP/dt

人口关于时间的瞬时变化率。

P 关于 t 的函数的导数记号。

1. 公式
   观察依据

   积分后，黑板右侧写上 + $C_1$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我就把它叫做 C 一。”

$C_1$

对等式两边积分后引入的积分常数。

任意常数。

1. 公式
   观察依据

   积分后的左侧写作 ln|P|。

2. 声音
   观察依据

   说话人说，该积分给出我们人口绝对值的自然对数。

ln|P|

P 的绝对值的自然对数。

由 $\int (1/P)$dP 所产生的对数表达式。

1. 公式
   观察依据

   黑板将 |P| = e^{kt+$C_1$} 改写为 e^{kt}$e^{C_1}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说，P 的绝对值等于 e 的整个这部分幂。

e

自然指数函数的底数，用于消去自然对数。

指数运算中使用的正的常数底数。

1. 公式
   观察依据

   P = 种群数量

P

种群数量

正实数（视频中假设成立）

1. 声音
   观察依据

   说话人将目标表述为“开始探索如何用微分方程建模”，并特别指出“对种群进行建模”。

2. 公式
   观察依据

   黑板上定义了“P = 种群数量”和“t = 时间（天）”。

该片段开篇即把微分方程定位为一种建模工具。主讲人将因变量P定义为种群数量，将自变量t定义为以天为单位的经过时间；选择“天”作为单位，是因为本例涉及繁殖迅速的昆虫。

1. 该模型用于描述种群数量随时间的变化。

2. 在此设定中，时间以天为单位进行度量。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“种群数量关于时间的变化率……将与实际种群数量成正比。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示手写的方程“dP/dt = kP”。

本片段的核心模型是微分方程 dP/dt = kP。它表明：人口变化的瞬时速率与当前人口数量成正比。

1. P 表示人口。

2. t 表示以天为单位的时间。

3. k 是黑板上标出的比例常数。

1. 建立一个含变量P和t的种群模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你可能立刻意识到，这是一个可分离变量的微分方程。”

2. 声音
   观察依据

   他解释道，在可分离变量的微分方程中，需将一个变量及其微分项全部移到等式一侧，另一个变量及其微分项全部移到另一侧，然后对两边分别积分。

在写出该模型后，主讲人指出它是可分离变量的。所陈述的方法是：重新整理方程，使所有含 P 和 dP 的项位于一侧，所有含 t 和 dt 的项位于另一侧，再对两边分别积分。

1. 在积分之前，方程必须能被整理为变量已分离的形式。

1. 描述成比例人口增长的微分方程

1. 公式
   观察依据

   标题为“人口建模”，黑板上定义 P = 人口，t = 时间（单位：天），并给出微分方程 dP/dt = kP。

2. 声音
   观察依据

   讲话者通过分离变量法求解该微分方程。

1. 该片段未解释为何选择 dP/dt = kP 作为人口变化规律，仅将其视为初始模型。

该片段用微分方程 dP/dt = kP 建模人口增长，其中 P 表示人口，t 表示以天为单位的时间；随后通过将含 P 的项与含 t 的项分别置于等式两侧，并对两边积分来求解该方程。

1. P 表示人口。

2. t 表示以天为单位的时间。

3. k 是一个常数参数。

1. 声音
   观察依据

   讲话者指出，应将所有含 P 和 dP 的项放在等式一侧，将所有含 t 的项放在另一侧。

2. 公式
   观察依据

   黑板将 dP/dt = kP 变形为（$1/P$）(dP/dt) = kP（$1/P$），再两边同乘 dt，得到（$1/P$）dP = k dt。

对于该方程，方法是两边同除以 P、同乘 dt，使得所有含 P 的量位于左侧，所有含 t 的量位于右侧。主讲人明确指出：当使用莱布尼茨记号进行启发式操作时，此法仅适用于可分离变量的微分方程。

1. 该微分方程必须是可分离变量的。

2. 该运算将 dP 和 dt 视为代数量进行形式化处理，作为积分前的辅助步骤。

1. 作为可分离变量微分方程的人口模型

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\int (1/P)$dP = $\int k dt$，然后得到 ln|P| = kt + $C_1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在我们可以对两边同时积分”，并解释左边积分结果为 P 的绝对值的自然对数。

方程完成分离后，对两边分别积分：左边积分 $\int (1/P)$dP 得到 ln|P|，右边积分 $\int k dt$ 得到 kt 加上一个任意常数；主讲人指出只需保留一个常数，因为两边的常数可合并。

1. $P \ne 0$，以保证除以 P 有意义。

2. k 是关于 t 的常数。

1. 一阶常微分方程的变量分离

1. 公式
   观察依据

   黑板上将 ln|P| = kt + $C_1$ 改写为 |P| = e^{kt+$C_1$}，再进一步改写为 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问如何解出 P，并说明该自然对数等式意味着 P 的绝对值等于 e 的整个指数表达式次方。

1. 该片段在最终化简为 P = Ce^{kt} 之前就结束了。

为从 ln|P| = kt + $C_1$ 中解出 P，对等式两边同时取指数，利用 ln 与 e 的互逆关系，得到 |P| = e^{kt+$C_1$}；再根据指数运算法则，将表达式拆分为 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$，从而构造出常见的指数解形式。

1. 对数方程的两边同时应用取指数运算。

2. $e^{C_1}$ 是正数，因为它是某个实常数的指数。

1. 分离变量后对两边积分

1. 公式
   观察依据

   dt 乘以 1 除以 P，再乘以 dP 除以 dt，等于 k 乘以 P，再乘以 1 除以 P，再乘以 dt

为求解该微分方程，等式两边同乘 dt 并同除以 P，从而将变量 P 和 t 分离。

1. P 不等于0

1. 公式
   观察依据

   对 1 除以 P 关于 P 的积分等于对 k 关于 t 的积分

对分离后的方程两边分别积分，得到左边为 P 的绝对值的自然对数，右边为 kt 加上一个常数。

1. 分离变量法

1. 公式
   观察依据

   |P| = e^{kt+$C_1$} = e^{kt}$e^{C_1}$

对等式两边应用指数函数可消去自然对数，并利用指数的性质将该项拆分。

1. 对分离后的方程进行积分

1. 声音
   观察依据

   如果我们假设任意时刻的人口数量均为正值，那么就可以去掉这个绝对值符号。

由于人口数量被假定为正值，因此可以去掉绝对值符号。

1. P 大于0

1. 对等式两边取指数

1. 声音
   观察依据

   现在这只是某个常数的 e 次幂，因此我们可以直接称其为……就称它为常数 C 吧。

表达式 $e^{C_1}$ 是一个常数，为简化通解，将其重命名为 C。

1. 去掉绝对值

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：为何该模型是合理的？并回答：在任意给定时刻，人口越多，增长速率就越大，并以1000只昆虫与10只昆虫作比较。

如果种群数量更大，那么在给定时刻的繁殖速率就更大，因此将 dP/dt 建模为与 P 成正比是合理的。

1. 该种群由能够繁殖的个体组成，例如昆虫。

2. 变化率是在某一特定时刻考虑的。

在本例所比较的种群规模下，更大的种群对应更高的总繁殖速率。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“P 关于 T 的导数，这并不完全是一个分数；它是当时间变化量趋近于零时，P 的变化量与时间变化量之比的极限。”

符号 dP/dt 应被理解为一个由极限定义的瞬时变化率，而非字面意义上的普通分数。

1. 默认采用标准微积分中对导数的解释。

这一理解贯穿该片段中对导数符号的全部讲解。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，对于可分离变量的微分方程，你可以将莱布尼茨记号中的导数像分数一样处理，将微分像量一样处理，因为它们最终都会被积分。

1. 该说法被呈现为求解可分离方程的一种实用规则，而非对微分的严格定义。

在可分离微分方程中，莱布尼茨记号下的 dP/dt 可以启发式地像分数一样进行代数操作，而微分则可作为量来处理，以便实现变量分离及后续积分。

1. 该微分方程是可分离变量的。

2. 所使用的记号是莱布尼茨记号。

在此语境下，针对可分离微分方程。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，微分本质上并非一个量，而应将其理解为：当时间变化量越来越小时，P 的变化量与时间变化量之比的极限。

尽管代数运算将 dP 和 dt 视作量来处理，但导数实质上应被理解为：当时间增量趋近于零时，P 的变化量与时间变化量之比的极限。

1. 当前讨论的对象是 dP/dt。

关于导数记号的概念性说明。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，也可在等式左侧加上一个常数，但随后需从等式两边同时减去常数，最终仅在右侧保留一个常数。

2. 公式
   观察依据

   积分后，仅在右侧出现 + $C_1$。

在对可分离变量微分方程的两边进行不定积分时，只需在其中一侧写一个任意常数即可，因为两侧的常数可合并为一个常数。

1. 两侧均在进行不定积分。

在此求解过程中，对两侧均作不定积分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从探讨何种模型是合理的，过渡到直接指出变化率与种群数量成正比。

2. 公式
   观察依据

   黑板上在口头铺垫之后写出了 dP/dt = kP。

1. 公式

   $$\text{Choose } P=\text{population},\ t=\text{time in days}.$$
   解释

   模型首先为变量赋予实际含义。

   步骤依据

   由主讲人明确陈述，并写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{dP}{dt} \propto P$$
   解释

   主讲人提出：种群的瞬时变化率与当前种群数量成正比。

   步骤依据

   直接的文字建模假设。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{dP}{dt}=kP$$
   解释

   该正比关系被写成一个含常数乘子的等式。

   步骤依据

   黑板上的记号将文字描述的正比关系转化为微分方程。

   视频直接表达

本片段中这个简单的种群模型就是微分方程 〔dP/dt〕 = 〔kP〕。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，可以尝试求解该微分方程，先找出通解，再利用初始条件或已知的种群状态来确定常数，从而得到特解。

2. 声音
   观察依据

   接着，他指出该方程是可分离变量型，并描述了分离变量后再对两边积分的过程。

1. 本片段在实际执行分离变量步骤之前、以及任何积分运算开始之前就结束了。

1. 公式

   $$\frac{dP}{dt}=kP$$
   解释

   从已建立的微分方程出发。

   步骤依据

   这个方程已经写在黑板上了。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Separate } P\text{-terms \text{且} } t\text{-terms.}$$
   解释

   主讲人指出，可分离变量方程的解法是将一个变量及其微分项放在等式一侧，另一个变量及其微分项放在另一侧。

   步骤依据

   对可分离变量方程解法的明确口头描述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Integrate both sides.}$$
   解释

   分离变量后，下一步明确指出是对等式两边同时积分。

   步骤依据

   主讲人明确说出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Use initial conditions to determine constants.}$$
   解释

   主讲人指出，在求得通解后，可通过施加初始条件或已知的种群状态来得到特解。

   步骤依据

   明确的口头解题计划。

   视频直接表达

该片段概述了解题策略——识别可分离性、分离变量、积分、再代入初始条件——但在所提供的时间段内并未实际执行这些步骤。

1. 公式
   观察依据

   黑板依次展示：dP/dt = kP，然后 ($1/P$)(dP/dt) = kP($1/P$)，接着两边同乘 dt，再得 ($1/P$)dP = k dt，然后 $\int (1/P)$dP = $\int k dt$，最后得到 ln|P| = kt + $C_1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人叙述了两边同除以 P、同乘 dt，再对两边积分的过程。

1. 公式

   $$\frac{dP}{dt}=kP$$
   解释

   从黑板上写出的人口微分方程出发。

   步骤依据

   给定的模型。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}=kP\cdot\frac{1}{P}$$
   解释

   两边同除以 P，以便将含 P 的项分离到左侧。

   步骤依据

   对等式两边进行代数变形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{1}{P}\,dP=k\,dt$$
   解释

   两边同乘 dt，并约去右侧的 P 因子，使所有含 P 的项留在左侧，所有含 t 的项留在右侧。

   步骤依据

   主讲人所指出的、针对可分离微分方程而启发式地使用莱布尼茨记号。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int \frac{1}{P}\,dP=\int k\,dt$$
   解释

   分离变量后对两边积分。

   步骤依据

   求解可分离微分方程的标准步骤。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\ln|P|=kt+C_1$$
   解释

   计算积分：左侧得到 P 的绝对值的自然对数，右侧得到 kt 加上一个常数。

   步骤依据

   $1/P$ 的原函数是 ln|P|；常数 k 关于 t 的原函数是 kt。

   视频直接表达

该模型分离变量并积分后的形式为 ln|P| = kt + $C_1$。

1. 公式
   观察依据

   板书将 ln|P| = kt + $C_1$ 重写为 |P| = e^{kt+$C_1$}，再进一步写为 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这是利用指数运算性质得到的等价表达。

1. 将 $e^{C_1}$ 吸收进一个新常数的最终步骤，在本片段中尚未完成。

1. 公式

   $$\ln|P|=kt+C_1$$
   解释

   从积分后所得的对数方程出发。

   步骤依据

   此前推导所得结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|P|=e^{kt+C_1}$$
   解释

   对等式两边同时取指数，以消去自然对数。

   步骤依据

   指数函数是自然对数的反函数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|P|=e^{kt}e^{C_1}$$
   解释

   将和的指数拆分为指数的乘积。

   步骤依据

   指数运算法则：$e^{a+b} = e^a e^b$。

   视频直接表达

解被重写为指数形式 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$，为过渡到标准的指数人口公式做准备。

1. 公式
   观察依据

   从 $dt \frac{1}{P} \frac{dP}{dt}$ = kP $\cdot \frac{1}{P} \cdot dt$ 到 $P = C e$^{kt} 的逐步推导

1. 公式

   $$\frac{1}{P} dP = k dt$$
   解释

   将变量 P 和 t 分离。

   步骤依据

   对微分方程进行代数变形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\ln|P| = kt + C_1$$
   解释

   对等式两边同时积分。

   步骤依据

   微积分基本定理与积分运算法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|P| = e^{kt+C_1} = e^{kt}e^{C_1}$$
   解释

   对等式两边同时取指数，并运用指数运算法则。

   步骤依据

   对数与指数的性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$P = e^{kt}e^{C_1}$$
   解释

   根据种群数量为正的假设，去掉绝对值符号。

   步骤依据

   假设 $P > 0$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$P = C e^{kt}$$
   解释

   令 C 代替 $e^{C_1}$。

   步骤依据

   定义一个新常数。

   视频直接表达

该微分方程的通解为 $P = C e$^{kt}。

1. 声音
   观察依据

   他指出时间单位本可以是年或月，但由于所讨论的是繁殖迅速的昆虫，因此采用“天”更为方便。

2. 声音
   观察依据

   他通过比较1000只昆虫与10只昆虫来说明成比例关系。

使用一个简单的微分方程模型来描述昆虫种群随时间的变化。

1. P 表示种群数量。

2. t 表示以天为单位的时间。

3. 所建模的种群是繁殖速度很快的昆虫。

建立一个合理的描述种群变化的微分方程。

1. 公式

   $$\text{Choose days as the time unit.}$$
   解释

   由于昆虫繁殖迅速，以天为单位观察变化较为合适。

   步骤依据

   由主讲人直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{dP}{dt}=kP$$
   解释

   将种群变化率建模为与当前种群数量成正比。

   步骤依据

   通过口头比较较大种群与较小种群，并在黑板上写出，予以说明。

   视频直接表达

引入的例子导出模型 dP/dt = kP，其中 t 以天为单位。

主讲人通过直观论证验证该模型的合理性：1000只昆虫单位时间内产生的新个体数多于10只昆虫。

1. 公式
   观察依据

   本片段全程讲解标题为‘人口建模’的例题方程 dP/dt = kP。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过分离变量、积分和取指数运算，逐步求解该方程。

1. 未给出具体的数值初始条件，因此无法确定某一条特定的人口变化曲线。

求解可分离变量的微分方程 dP/dt = kP，其中 P 表示人口数量，t 表示时间（单位：天）。

1. P = 人口数量

2. t = 时间（天）

3. P 对 t 的变化率等于 k 乘以 P

求出 P 关于 t 的显式关系式。

1. 公式

   $$\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}=kP\cdot\frac{1}{P}$$
   解释

   两边同除以 P，开始分离变量。

   步骤依据

   对原方程进行代数变形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{1}{P}\,dP=k\,dt$$
   解释

   两边同乘 dt，使含 P 的项与含 t 的项分别位于等号两侧。

   步骤依据

   借助莱布尼茨记号启发式地使用可分离变量方程法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int \frac{1}{P}\,dP=\int k\,dt$$
   解释

   对等式两边同时积分。

   步骤依据

   分离变量后的标准求解步骤。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\ln|P|=kt+C_1$$
   解释

   计算不定积分（原函数）。

   步骤依据

   $\int (1/P)$dP = ln|P| 且 $\int k dt$ = kt + 常数。

   视频直接表达
5. 公式

   $$|P|=e^{kt+C_1}$$
   解释

   对等式两边取指数，以解出 |P|。

   步骤依据

   ln 与 e 互为反函数。

   视频直接表达
6. 公式

   $$|P|=e^{kt}e^{C_1}$$
   解释

   利用指数运算法则将常数因子分离出来。

   步骤依据

   e 的 a 加 b 次方等于 e 的 a 次方乘以 e 的 b 次方。

   视频直接表达

视频片段得到 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$；但未继续将其改写为 P = Ce^{kt}。

未在视频片段中展示将解代回原微分方程进行验证的过程。

1. 动画
   观察依据

   整个片段中均使用数字黑板。

2. 公式
   观察依据

   标题“人口建模”首先出现，随后是定义“P = 人口”和“t = 时间（天）”，最后是方程“dP/dt = kP”。

1. 标题文字“人口建模”

2. 变量定义“P = 人口”

3. 变量定义“t = 时间（天）”

4. 方程“dP/dt = kP”

5. 光标/笔的移动

1. 黑板初始为空白。

2. 先书写标题。

3. 变量定义写在标题下方。

4. 微分方程最后写出，其中常数以橙色显示。

1. 场景始终为黑色数字黑板，配手写文字。

2. 本片段中未引入任何图像或数值表格。

视觉呈现的递进过程与数学推导的逻辑顺序一致：先点明主题，再定义变量，最后写出所遵循的微分方程。

1. 图示
   观察依据

   一块黑色数字白板上显示粉红色标题“种群建模”，并给出定义：P = 种群数量，t = 时间（单位：天），以及方程 dP/dt = kP。

1. 标题“种群建模”

2. 定义：P 表示种群数量，t 表示时间（单位：天）

3. 方程 dP/dt = kP

1. 白板呈现模型时，尚未进行任何代数变形。

1. 变量 P 和 t 在本片段中始终具有相同的含义。

2. 方程以 dP/dt = kP 的形式起始。

视觉布局确立了建模背景以及待求解的微分方程。

1. 动画
   观察依据

   随着讲解者将等式两边除以 P、在右侧约去 P 并乘以 dt，新行被写在原方程下方。

2. 公式
   观察依据

   中间表达式（$1/P$）(dP/dt)=kP（$1/P$）及随后的（$1/P$)dP = k dt 出现在白板上。

1. 原方程 dP/dt = kP

2. 分数 $1/P$

3. 微分 dt

4. 分离后的方程 ($1/P$)dP = k dt

1. P 通过除法移至左侧。

2. 通过乘法引入 dt。

3. 右侧在 P 约去后得到化简。

1. k 在含 t 的一侧保持为常数乘子。

2. 整个推导过程中，方程始终维持等式关系。

书写顺序直观展示了使积分成为可能的分离步骤。

1. 动画
   观察依据

   在两侧添加积分号，随后黑板将结果重写为 ln|P| = kt + $C_1$。

2. 公式
   观察依据

   积分后的方程出现在分离形式的下方。

1. 对 1 除以 P 关于 P 的积分

2. k 对 t 的积分

3. P 的绝对值的自然对数

4. kt 加 C 1

1. 分离后的微分形式被转化为积分方程。

2. 在等式右侧添加一个常数 $C_1$。

1. 左侧仅依赖于 P；右侧仅依赖于 t 和一个常数。

这一视觉转换展示了分离变量如何直接导出原函数，并建立对数关系。

1. 动画
   观察依据

   黑板上写出 |P| = e^{kt+$C_1$}，然后将其改写为 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$。

2. 公式
   观察依据

   指数形式取代了对数方程。

1. 视频片段在最终常数重命名步骤完全写出之前就结束了。

1. 集合 P 的基数

2. e 的1次方

3. e^{kt}$e^{C_1}$

1. 对数方程被转化为指数方程。

2. 利用指数运算法则，将指数的和拆分为乘积。

1. P 上的绝对值符号在所展示的步骤中始终保留可见。

该视觉序列演示了如何从对数表达式中解出 P，并整理为熟悉的指数增长形式。

1. 动画
   观察依据

   教师在黑板上写出推导步骤，最终将最终方程 $P = C e$^{kt} 框出。

1. 黑板

2. 粉笔

3. 方程

1. 方程自上而下依次书写。

2. 最终的方程用方框标出。

1. 初始的微分方程始终保留在顶部可见。

求解该微分方程所用的代数与微积分步骤的直观呈现。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“有时你会觉得微分方程是些令人望而生畏的复杂事物，但请注意，我们刚刚已成功表达了一个相当不复杂的概念。”

微分方程看似天生就令人望而生畏，或过于复杂。

该片段表明，一个简单的现实世界思想——人口增长率与人口规模成正比——可简洁地表示为〔dP/dt〕 = 〔kP〕。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这并不完全是一个分数，这是当时间变化量趋近于零时，P 的变化量与时间的变化量之比的极限。”

导数记号〔dP/dt〕可能被误认为是一个字面上的分数。

主讲人强调，〔dP/dt〕表示的是通过极限定义的瞬时变化率，尽管在可分离变量方程的运算中会使用类似分数的记号。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确提醒：将微分符号当作一个量来处理，仅为方法上的便利；它本质上并非一个量，而应视为变化率的极限。

有人可能认为 dP 和 dt 本身是普通的代数量。

视频片段指出，这种处理方式是求解可分离变量微分方程时一种实用的程序性技巧；而导数本身本质上是 P 的变化量与时间变化量之比的极限。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，也可在等式左侧添加一个常数，但随后两边同时减去常数，最终仍可归并为右侧的一个常数。

对等式两边分别积分后，人们可能会认为两边都需要各自独立的常数，且这些常数必须保持分离。

该片段解释道，两边出现的常数可以合并，因此只需在其中一侧写一个常数，例如 $C_1$，就已足够。

1. 公式
   观察依据

   黑板上首先定义了 P 和 t，然后写出 dP/dt = kP。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在提出比例模型之前先引入了变量。

在解释 dP/dt 并写出种群增长的微分方程之前，必须先定义 P 为种群数量、t 为时间。

1. 声音
   观察依据

   在给出 dP/dt = kP 后，主讲人指出这是一个可分离变量的微分方程，并解释了分离变量再积分的求解思路。

可分离变量方程的解法被应用于具体模型 dP/dt = kP。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在讨论可分离变量方程时提醒：dP/dt 并不真正是一个分数。

该片段对比了导数的严格数学含义与分离变量过程中实际采用的、类似分数的操作方式。

1. 公式
   观察依据

   该片段从 dP/dt = kP 出发，并立即将其改写为变量已分离的形式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们希望将所有含 P 的项和 dP 放在等式一侧，而将所有与 t 相关的项放在另一侧。

该人口微分方程通过分离变量法求解。

1. 公式
   观察依据

   得到 ($1/P$)dP = k dt 后，板书在等式两边同时添加了积分号。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在我们可以对两边同时积分。”

积分步骤的前提是：变量已成功分离为仅含 P 的一侧和仅含 t 的另一侧。

1. 公式
   观察依据

   对数形式的结果 ln|P| = kt + $C_1$ 被重写为 |P| = e^{kt+$C_1$}。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问如何解出 P，并通过取指数运算给出答案。

显式地解出 P，需要对积分所得的对数方程进行指数化运算。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将 dP/dt 视为分数的做法，与将导数视为极限的更深刻观点进行了对比。

该片段将莱布尼茨记号在实际运算中作为分数处理的方式，与导数的概念性极限定义进行了对比。

1. 声音
   观察依据

   这只是一个指数函数。你在代数课或预备微积分课中，很可能已用指数函数对实际问题建模。

最终解 $P = C e$^{kt} 被识别为一个指数函数，从而将微积分推导过程与先前的代数知识联系起来。

1. 公式
   观察依据

   板书文字定义：P = 种群数量。

1. 建立一个含变量P和t的种群模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释选择‘天’作为时间单位，是因为本例涉及繁殖迅速的昆虫。

1. 建立一个含变量P和t的种群模型。
2. 以昆虫种群为引入示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人通过比较较大种群与较小种群，为正比关系提供了依据。

2. 公式
   观察依据

   板书写出方程：dP/dt = kP。

1. 描述成比例人口增长的微分方程
2. 为什么将变化率设为与种群数量成正比是一个合理的建模假设

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出该方程是可分离变量的，并描述了分离变量及对等式两边分别积分的过程。

1. 本片段中并未展示实际的代数分离与积分运算。

1. 将 dP/dt = kP 识别为可分离变量的微分方程
2. 求解该模型的预定方法

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出 dP/dt 并非严格意义上的分数，而是一个极限。

1. dP/dt 的含义
2. 将〔dP/dt〕当作普通分数来处理

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释了为何在求解可分离变量微分方程时，莱布尼茨记号可以像分数一样处理。

1. 作为可分离变量微分方程的人口模型
2. 一阶常微分方程的变量分离

1. 公式
   观察依据

   板书两边同除以 P，并在右侧约去 P。

1. 一阶常微分方程的变量分离

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，来自等式两边的积分常数可以合并为右侧的一个常数。

1. 分离变量后对两边积分
2. 将多个积分常数合并为一个常数。

1. 公式
   观察依据

   板书将 ln|P| = kt + $C_1$ 转化为 |P| = e^{kt+$C_1$}，再转化为 |P| = e^{kt}$e^{C_1}$。

1. 通过对等式两边取指数来解出 P

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，导数本质上应被理解为 P 的变化量与时间变化量之比的极限。

1. 导数应被理解为极限，而非字面上的商。

1. 公式
   观察依据

   推导 $P = C e$^{kt}

1. 分离变量法
2. 对分离后的方程进行积分
3. 对等式两边取指数
4. 去掉绝对值
5. 定义新常数