ε–δ极限定义1 | 极限 | 微分学 | 可汗学院

1. 图示
   观察依据

   画出一条水平的蓝色直线，并标注为 x 轴。

x

自变量轴

实数

1. 图示
   观察依据

   画出一条竖直的灰色直线，并标注为 y 轴。

y

因变量轴

实数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“假设这是 f 〔x〕。”

2. 图示
   观察依据

   画出一条带空心点的黄色直线，并标注为 $y=f$〔x〕。

$f(x)$

x 处的函数值

除去 a 的实数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“但它在某点 x 等于 a 处有一个空心点。”

2. 图示
   观察依据

   在 x 轴上空心点正下方标出一个绿色对勾标记，并标注为“a”。

a

函数无定义的特定 x 值

实数

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘假设此处这一点就是 L。’

2. 图示
   观察依据

   一条绿色虚线从空心点延伸至 y 轴，终点标为‘L’。

L

当 x 趋近于 a 时，函数的极限值

实数

1. 公式
   观察依据

   表达式$f(x)$被写在黑板上，并在讲解中被提及。

$f(x)$

函数在 x 处的取值

实数

1. 公式
   观察依据

   变量$x$作为$x \to a$的一部分被写在黑板上，并标在横轴上。

x

趋近于 a 的输入变量

实数

1. 公式
   观察依据

   常数$a$作为$x \to a$的一部分被写在黑板上，并在横轴上标出。

a

x 所趋近的点

实数

1. 公式
   观察依据

   常数$L$作为$\lim_{x \to a} f(x) = L$的一部分被写在黑板上，并在纵轴上标出。

L

当 x 趋近于 a 时，$f(x)$ 的极限值

实数

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“我们把这个叫作 epsilon。”

2. 公式
   观察依据

   符号$\epsilon$被写在黑板上，位于竖直距离标记旁边。

$\epsilon$

表示允许的与 L 的距离的任意正实数

大于0的实数

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“我把它叫作 delta。”

2. 公式
   观察依据

   符号$\delta$被写在黑板上，位于水平距离标记旁边。

$\delta$

围绕 a 的距离，它能保证 $f(x)$ 与 L 的距离在 epsilon 范围内

大于0的实数

1. 图示
   观察依据

   横轴标记为“x”。

x

自变量／函数的输入。

实数（由上下文隐含）。

1. 声音
   观察依据

   说话者通过描述从左右两侧趋近某一点，并观察 $f(x)$ 趋近的值，来解释极限的直观概念。

2. 图示
   观察依据

   图中画出红色箭头，表示 x 从左侧和右侧趋近于‘a’，同时对应的 y 值趋近于‘L’。

若当 x 从左侧和右侧均趋近于 a 时，$f(x)$ 的值均趋近于 L，则称当 x 趋近于 a 时，$f(x)$ 的极限为 L。

1. x 必须从两侧趋近于 a

2. 左极限与右极限必须相等

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，此前的解释并不严谨，并引入了用更严格的数学语言来定义极限的思想，将其类比为一个游戏。

1. 本片段中未完整呈现涉及 epsilon 与 delta 的完整形式化定义。

为了使极限的概念在数学上更加严谨，需要一个比单纯说‘越来越接近’更精确的定义。这涉及一种类似游戏的结构：其中总能给出极限值周围的一个特定范围。

1. 极限的直观定义

1. 声音
   观察依据

   说话者讲解极限的 epsilon-delta 定义。

2. 公式
   观察依据

   表达式$\lim_{x \to a} f(x) = L$被写在黑板上。

当$f(x)$趋近于$x$时，$a$的极限是$L$，如果对于任意实数$\epsilon > 0$，存在一个实数$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \epsilon$。

1. 对应的式子为：$\epsilon > 0$

2. 对应的式子为：$\delta > 0$

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释了选择 epsilon（即与 L 的接近程度）与找到对应 delta（即与 a 的接近程度）之间的关系。

2. 图示
   观察依据

   在 y 轴上用 epsilon 区间、在 x 轴上用 delta 区间进行可视化表示，展示 delta 区间内的 x 值如何映射为 epsilon 区间内的 $f(x)$ 值。

epsilon-delta 定义将极限的直观想法形式化：对于任意期望的与极限值 L 的接近程度（epsilon），都存在一个对应的与输入值 a 的接近程度（delta），使得只要 x 与 a 的距离小于 delta（但 $x \ne a$），$f(x)$ 就与 L 的距离小于 epsilon。主讲人将这一过程描述为一种‘游戏’：一人选定 epsilon，另一人必须找出一个可行的 delta。

1. 适用于实变量函数。

2. 用于严格定义极限这一概念。

1. 公式
   观察依据

   极限的数学记号显示在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出：‘你在数学教科书中实际看到的正是这个’，指的是与该记号相关的形式化定义。

表达函数 $f(x)$ 当 x 趋近于某个值 a 时的极限为 L 的标准方式，是使用极限记号。

1. a 和 L 均为实数。

2. f 是一个在包含 a 的某个开区间上有定义的函数，但 f 在 a 处本身可能无定义。

1. 公式
   观察依据

   写作“给定 $ε > 0$”和“他们将给出一个 δ”。

2. 声音
   观察依据

   解释为一种游戏：一人给出一个 epsilon，另一人提供一个 delta。

极限的严格定义指出：对任意给定的正数 ε（epsilon），都存在一个正数 δ（delta），使得当 x 与 a 的距离大于零且小于 δ 时，$f(x)$ 与 L 的距离就小于 ε。

1. ε 必须严格大于 0

2. δ 必须严格大于 0

3. x 不能等于 a（0 < |x - a|）

1. 公式
   观察依据

   写作“|x - a|”和“|$f(x) - L$|”。

2. 声音
   观察依据

   描述为“x 与 a 之间的距离”和“$f(x)$ 与极限点之间的距离”。

两个数之差的绝对值表示它们在数轴上的距离。

1. 公式
   观察依据

   黑板右上方用红色显示 $\lim _{x\to a} f(x)=L$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出：当 x 趋近于这个值时，$f(x)$ 将趋近于这个值。

所展示的记号$\lim_{x\to a} f(x)=L$表示：当输入$x$任意接近$a$时，对应的输出$f(x)$也任意接近$L$。在该片段中，这一符号表述配有一幅图像，其中$a$位于横轴上，$L$位于纵轴上。

1. a 是被趋近的输入值

2. L 是所提出的极限输出值

1. 公式
   观察依据

   左下角黑板文字为0<|x-a|<δ ⇒ |$f(x)-L$|<ε。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：如果有人希望 $f(x)$ 与 L 之间的距离非常小，那么总可以给出一个围绕 x 的距离，使得该要求成立。

该片段明确展示了ε-δ定义的核心含义：如果$x$在$\delta$范围内靠近$a$但不等于$a$，那么$f(x)$就在$\epsilon$范围内靠近$L$。左侧控制输入值与$a$的接近程度；右侧控制输出值与$L$的接近程度。

1. 先给定 $ε>0$

2. 随后给出对应的 δ

3. 该蕴含关系针对满足 0<|x-a|<δ 的 x 进行陈述

1. 极限记号

1. 公式
   观察依据

   绿色手写文字为：“给定 $ε>0$，他们将给出一个 δ。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘你说……我希望 $f(x)$ 与 L 之间的距离为……点 0000001。那么我总能给你一个围绕 x 的距离，使得该要求成立。’

1. ‘点’之后的准确口语数字虽不够清晰，但它被呈现为一个极小的正容差。

黑板和讲解将定义呈现为一个两步过程。首先，为输出值到$\epsilon$的距离选定一个正的容差$L$。其次，为输入值到$\delta$的距离提供一个对应的正半径$a$，使得该蕴含关系成立。

1. 先选择 ε

2. δ 依赖于所选的 ε

3. 目标是使 |$f(x)-L$| 小于给定的 ε

1. 展示 ε-δ 蕴含关系

1. 声音
   观察依据

   主讲人反复用距离来描述设定：‘我希望 $f(x)$ 与 L 之间的距离’以及‘x 周围的一个距离’。

2. 公式
   观察依据

   这些不等式使用绝对值 |$x-a$| 和 |$f(x)-L$|。

在此片段中，$|x-a|$ 表示输入轴上 $x$ 到 $a$ 的距离，$|f(x)-L|$ 表示输出轴上 $f(x)$ 到 $L$ 的距离。口头解释与所展示不等式的代数形式一致。

1. 距离是非负的

2. 严格不等式 < 表示‘在边界之内，但不包含边界本身’

1. 展示 ε-δ 蕴含关系

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘这在直观上确实很有道理’，然后一边指着图像、δ 区间和不等式，一边用语言解释‘接近’这一概念。

所展示的条件表达了这样一种直观想法：让 $x$ 充分靠近 $a$，就能迫使 $f(x)$ 相应地靠近 $L$。

1. 该图像显示一个函数在输入 a 附近趋近于高度 L

2. $ε > 0$ 被选为输出容差

3. δ 被选为输入半径

对给定的正数 ε，存在对应的正数 δ，使得只要 0 < |x - a| < δ，不等式 |$f(x) - L$| < ε 就成立。

1. 图示
   观察依据

   图中始终可见坐标轴、一条曲线、一条位于 $x = a$ 处的垂直虚线、一条位于 $y = L$ 处的水平虚线、一个以 L 为中心的 ε 带状区域，以及一个以 a 为中心的 δ 区间。

2. 公式
   观察依据

   黑板上同时显示 $\lim _{x\to a} f(x) = L$ 和 0 < |x - a| < δ ⇒ |$f(x) - L$| < ε。

3. 声音
   观察依据

   主讲人用语言描述“接近”关系，将视觉上的邻域与书面不等式联系起来。

1. 公式

   $$\text{Graph: } x \text{ near } a,\ f(x) \text{ near } L$$
   解释

   该图首先以几何方式展示极限行为：靠近 $a$ 的输入产生靠近 $L$ 的输出。

   步骤依据

   在坐标图中直观可见，并通过口述短语‘x 趋近于某一值，$f(x)$ 趋近于另一值’加以强化。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\varepsilon>0 \text{ chosen on the output side}$$
   解释

   围绕 $L$ 的水平带状区域表示规定的输出容差 $\epsilon$。

   步骤依据

   黑板将垂直方向的半宽标记为 ε，并写出‘给定 $ε > 0$’。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\delta>0 \text{ chosen on the input side}$$
   解释

   围绕 $a$ 的区间表示相应的输入半径 $\delta$。

   步骤依据

   黑板将水平半宽标记为 δ，并写下“他们会给出一个 δ”。

   视频直接表达
4. 公式

   $$0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$
   解释

   形式化的蕴含关系指出：任何位于 a 的去心 δ-邻域内的 x，都会使 $f(x)$ 落入 L 的 ε-邻域内。

   步骤依据

   这正是左下方所写的公式，也是图中所示邻域的代数表达。

   视频直接表达

该片段将 ε-δ 定义呈现为几何思想的形式化表述：围绕$a$的一个足够小的输入邻域，可迫使函数图像落入围绕$L$的指定输出邻域中。

1. 声音
   观察依据

   主讲人给出一个具体例子：‘假设你想让 $f(x)$ 与0.5接近……假设这个数是2，而这个数是1。’

2. 图示
   观察依据

   主讲人在 ε 标签旁写下‘0.5’，在 L 标签旁写下‘2’，在 a 标签旁写下‘1’；随后，他画出对应这些数值的新虚线，并将所得 δ 区间标记为‘0.1’。

给定一个函数，其当 x 趋近于1时的极限为2，用具体数值演示 ε-δ 关系。

1. 极限 $L = 2$

2. 趋近点 $a = 1$

3. 选定的 $ε = 0.5$

找出一个满足该条件的对应 δ。

1. 公式

   $$|f(x) - 2| < 0.5$$
   解释

   我们希望函数的输出值位于0.5极限值的2范围内。这意味着 $f(x)$ 必须介于1.5与2.5之间。

   步骤依据

   绝对值不等式的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0.9 < x < 1.1$$
   解释

   通过观察图像（图像看起来是一条带空心点的直线，很可能为 $y = x + 1$），主讲人确定了以1为中心的一个 x 区间，该区间映射到 y 区间（1.5, 2.5）。

   步骤依据

   对所给图像进行直观观察。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\delta = 0.1$$
   解释

   中心点 $a = 1$ 到区间两端（0.9 或 1.1）的距离均为0.1。因此，取 $δ = 0.1$ 是可行的。

   步骤依据

   在数轴上计算距离。

   视频直接表达

当 $ε = 0.5$ 时，一个可行的 δ 是0.1。

若 x 位于0.1的1（即，$0.9 < x < 1.1$），则根据图像，$f(x)$ 将位于0.5的2（即，$1.5 < f(x) < 2.5$。

1. 图示
   观察依据

   先画出坐标轴，再画出一条在 $x=a$ 处有空洞的线性函数，并标出坐标轴和函数的标签。

1. x 轴

2. y 轴

3. 线性函数

4. $x=a$ 处的空洞

5. 标签

1. 绘制坐标轴

2. 绘制函数图像

3. 标出空心点

4. 添加标签

1. 该函数除空心点处外为线性函数

构造一个具有可去间断点的函数的直观图示，用于讨论极限

1. 图示
   观察依据

   红色箭头出现在x轴上，从左右两侧指向“a”；同时出现在y轴上，指向“L”。

1. x 轴上的红色箭头

2. y 轴上的红色箭头

1. 绘制箭头以表示趋近方向

1. 目标值“a”和“L”保持固定。

直观展示极限定义的双侧性

1. 动画
   观察依据

   主讲人擦除最初的小图像，并绘制一个更大的函数曲线图，包括坐标轴以及点 a 和点 L。

1. 函数曲线

2. x 轴

3. y 轴

4. 点 a

5. 点 L

1. 该图像被擦除并重绘为更大的尺寸，以便更清晰地展示 ε 和 δ 的距离。

1. x、a、$f(x)$ 与 L 之间的数学关系保持不变。

重绘是为了在坐标轴上留出更多空间，以便清晰地标出 ε 和 δ 区间。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在 y 轴上标出距离$\epsilon$在$L$上方和下方的位置，并画出水平虚线。

1. y 轴

2. 点 L

3. 水平虚线

1. 距离 $\epsilon$ 标注在 $L$ 的上方和下方，形成一个区间 $(L - \epsilon, L + \epsilon)$。

1. 函数曲线与点 a 保持不变。

这直观地表示条件 $|f(x) - L| < \epsilon$，即函数值必须落在该水平带状区域内。

1. 动画
   观察依据

   讲话者在 x 轴上从 $\delta$ 向左和向右标记距离 $a$，并绘制垂直虚线。

1. x 轴

2. 点 a

3. 垂直的虚线

1. 距离 $\delta$ 在 $a$ 周围标注，形成一个区间 $(a - \delta, a + \delta)$。

1. 函数曲线、点L以及ε标记均保持不变。

这直观地表示了条件$0 < |x - a| < \delta$，即定义了围绕$a$的一个邻域，该邻域能保证函数值始终落在ε带内。

1. 动画
   观察依据

   视频展示了一幅预先绘制好的图像，包含坐标轴、函数曲线（一条带空心点的直线），以及关于 L、a、ε 和 δ 的初始标注；虚线连接这些点，用以示意相应区间。

1. 坐标轴（x 轴和 y 轴）

2. 函数曲线（带空心点的直线）

3. 点 L 和点 a

4. 区间 ε 和 δ

5. 虚线投影线

1. 无；图像初始为静态，供讲解者阐述一般概念。

1. 虚线所展示的关系：x 值落在 ($a-δ$, $a+δ$) 内时，对应的 y 值落在 ($L-ε$, $L+ε$) 内。

这一视觉构图在引入具体数值之前，为 ε-δ 定义提供了几何直观。

1. 动画
   观察依据

   讲解者在现有图像上标出具体数值（2、1、0.5、0.1），并绘制新的、更紧凑的虚线，以表示这些具体的区间。

1. 新增的数值标签：2（代表 L）、1（代表 a）、0.5（代表 ε）、0.1（代表 δ）

2. 新绘制的虚线围绕点（1, 2）构成一个更小的矩形

1. 抽象区间被具体数值示例所替代或补充。

2. 视觉焦点转向区间（0.9，1.1）与（1.5，2.5）之间的具体映射关系。

1. 底层函数曲线保持不变。

2. ε-δ 关系的逻辑结构得以保持。

这一过程将抽象定义落实到一个具体实例中，清晰展示：对某个特定函数，选定一个 ε 后，总能找到对应的 δ。

1. 动画
   观察依据

   主讲人将形式化的极限记号“$\lim_{x \to a} f(x) = L$”写在屏幕右侧。

1. 数学表达式：$\lim_{x \to a} f(x) = L$

1. 从图形/数值解释过渡到符号表示。

1. 该符号所传达的含义，与此前讲解的概念完全一致。

这将直观与数值层面的解释，重新联结至教科书中所采用的标准数学语言。

1. 图示
   观察依据

   一个函数的图像，在 $x = a$ 处有一个空心点，并用水平虚线标出 $L \pm ε$，用竖直虚线标出 $a \pm δ$。

1. 函数曲线

2. 点（a，L）

3. 水平线 $y = L+ε$ 和 $y = L-ε$

4. 竖直线 $x = a+δ$ 和 $x = a-δ$

5. ε 范围与 δ 范围对应的阴影区域

1. 光标在 x 轴上于 δ 范围内移动

2. 光标在 y 轴上于 ε 范围内移动

1. x 范围（δ）与 y 范围（ε）之间的关系保持不变

该图像直观地表明：只要 x 保持在 a 的 δ 距离之内（但不等于 a），$f(x)$ 就必然落在 L 的 ε 距离之内。

1. 图示
   观察依据

   全程可见一个带黄色坐标轴、粉红色/洋红色曲线、一条过 a 的垂直虚线、一条过 L 的水平虚线、一个绿色 ε-带以及一个紫色 δ-区间。

2. 公式
   观察依据

   静态手写公式始终显示在屏幕上：$\lim _{x\to a} f(x)=L$，给定 $ε>0$，他们会给出一个 δ，以及0<|x-a|<δ ⇒ |$f(x)-L$|<ε。

1. 笛卡尔坐标系

2. 函数曲线

3. x 轴上的点 a

4. y 轴上的点 L

5. 过 a 的垂直虚线

6. 一条穿过 L 的水平虚线

7. 围绕 L 的 ε-带

8. 围绕 a 的 δ-区间

9. 手写的极限表达式

10. 手写的蕴含关系

1. 该片段中未添加任何新的数学书写内容。

2. 光标在图像、δ-区间、ε-带以及公式之间移动。

1. 所显示的公式始终保持不变。

2. a、L、ε 和 δ 的几何角色在整个过程中保持固定。

视觉布局将每个代数符号与一个几何区域关联起来：δ 控制 x 与 a 的水平接近程度，ε 控制 $f(x)$ 与 L 的垂直接近程度，而蕴含关系表明前者可强制导致后者。

1. 动画
   观察依据

   光标起初指向曲线及坐标轴附近，随后移至左下方的蕴含关系处，之后在 ε 区域和 δ 区域附近悬停。

2. 声音
   观察依据

   讲解者的口头说明紧随这些指向动作，同时讨论 x 与 a 的接近程度以及 $f(x)$ 与 L 的接近程度。

1. 精确的光标运动路径是逐帧近似的，因为仅能获取采样得到的帧。

1. 鼠标光标

2. 靠近 a 的图像区域

3. 围绕 L 的 ε 带

4. 围绕 a 的 δ 区间

5. 左下角的蕴含关系

1. 注意力从整体图像转向形式不等式，再转回 ε 和 δ 的标记。

1. 底层板书内容保持不变。

2. 光标移动过程中，相同符号始终表示相同含义。

该运动作为一种教学辅助手段，将口头表述的直观理解与书面定义联系起来，且不引入新的数学内容。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出，这种直观解释“完全不严谨”。

误以为‘不断靠近’这一视觉想法本身，就足以构成极限的严格数学定义。

严格的定义要求对‘靠近’进行精确量化，这一内容将在本视频系列后续部分引入。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘那里不一定非得有个空洞。极限值完全可能恰好等于函数在该点的取值；但当函数在极限点处无定义时，极限才更显有趣。’

学生可能误以为：只有当图像上存在空洞（即函数在该点无定义）时，极限才存在或才值得关注。

即使函数在该点有定义，极限仍可能存在，且其值可与函数在该点的取值相等。空洞只是让极限的概念与函数的实际取值显得更加分明。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确提醒：‘刚才那只是一例……但按定义，要使这个成立……它不能仅对某一个特例成立，而必须对你给出的任意数都成立。’

误以为只为某一个特定的 epsilon 找到 delta 就足以证明极限存在。

定义要求：对任意一个正数 epsilon，无论它多么小，都必须存在一个对应的 delta。这里 epsilon 是全称量词。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确指出：‘我唯一无法向你保证的，是当 x 等于 a 时会发生什么。’

误以为函数在 x 趋近于 a 时的极限取决于函数在 $x = a$ 处的精确取值。

极限仅关注函数在 x 无限接近 a 时的行为，而非在 a 处本身的行为；函数甚至可能在 $x = a$ 处无定义。

1. 公式
   观察依据

   所显示的条件是 0<|x-a|<δ，而不仅仅是 |x-a|<δ。

有人可能认为定义仅说明 x 接近 a。

书面假设是去心邻域 0 < |x - a| < δ，因此 x 必须接近 a，但不能等于 a。

1. 公式
   观察依据

   黑板上先写下“给定 $ε > 0$”，再写“他们会给出一个 δ”。

2. 声音
   观察依据

   说话者描述的过程是：先选择一个微小的目标距离，再给出 x 附近的一个距离范围，使得该条件在此范围内成立。

有人可能认为 δ 先被选定，然后才确定 ε。

在所展示的定义中，ε 是预先规定的误差容限，而 δ 则随后根据 ε 给出。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从直观解释过渡到指出：我们需要一个更严谨的定义。

严谨的ε-δ定义推广并形式化了前文所讲解的极限直观概念。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘让我用实际的 epsilon 和 delta 来定义它——这正是你在数学教科书中实际看到的写法。’紧接着写下该记号。

用语言和图像解释的 epsilon-delta 游戏，是极限形式化数学记号的概念基础。

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入例子时说：‘只是为了使这个概念稍微更具体一点。’

这个具体的数值例子，是将一般性的 epsilon-delta 概念应用于特定情境，以辅助理解。

1. 公式
   观察依据

   $\lim _{x\to a} f(x) = L$ 与 0 < |x - a| < δ ⇒ |$f(x) - L$| < ε 同时显示在同一块黑板上。

该片段将 ε-δ 蕴含式呈现为位于其上方极限记号背后的严格数学内容。

1. 公式
   观察依据

   短语“给定 $ε > 0$”和“他们会给出一个 δ”出现在该蕴含式旁边。

2. 声音
   观察依据

   说话者用“先选择一个微小的距离，再提供一个与之匹配的 x 附近距离”的方式来解释这一过程。

方法卡片说明了如何使用所展示的蕴含关系：先给定 ε，再找出 δ，使得该蕴含关系成立。

1. 公式
   观察依据

   该蕴含关系用绝对值 |x-a| 和 |$f(x)-L$| 表示。

2. 声音
   观察依据

   说话者将这些表达式解释为距离。

理解该蕴含关系，需要将绝对值表达式分别读作输入轴和输出轴上的距离。

1. 声音
   观察依据

   关于极限直观含义的讨论。

1. 极限的直观定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到先前解释缺乏严谨性。

1. 严谨的极限定义简介

1. 声音
   观察依据

   说话者将ε定义为任一大于零的实数，用以表示到L的距离。

1. 极限的 epsilon-delta 定义

1. 声音
   观察依据

   说话者将δ定义为围绕a的距离，该距离能保证$f(x)$与L的距离在ε以内。

1. 极限的 epsilon-delta 定义

1. 声音
   观察依据

   解释 epsilon 表示函数值希望逼近极限 L 的程度（即与 L 的接近程度）。

1. 对 epsilon-delta 概念的理解。

1. 声音
   观察依据

   借助图像演示：给定一个 epsilon，如何找出对应的 delta。

1. 对 epsilon-delta 概念的理解。
2. ε-δ 定义的具体数值示例

1. 公式
   观察依据

   呈现标准的极限记号。

1. 极限的标准记号

1. 声音
   观察依据

   提醒：该定义必须对任意的 epsilon 成立，而不仅限于某一个 epsilon。

1. 常见误解：ε-δ 定义只需对一个例子成立

1. 声音
   观察依据

   主讲人用‘你给我一个 epsilon，我给你一个 delta’的类比来解释形式化定义。

1. 极限的 ε-δ 定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人澄清：极限并不依赖于函数在 $x = a$ 处的取值。

1. 极限依赖于该点处的函数值

1. 公式
   观察依据

   黑板上明确展示了 epsilon-delta 蕴含关系。

1. 展示 ε-δ 蕴含关系
2. 极限记号

1. 公式
   观察依据

   假设写作 0<|x-a|<δ。

1. 展示 ε-δ 蕴含关系
2. 该条件排除了 $x = a$ 本身