欧几里得算法：最大公因数例题｜Michael Penn

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写着 设 $a,b \in \mathbb{N}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说这个例子是为了求两个自然数的最大公约数，并回顾了针对两个自然数的欧几里得算法。

a,b

欧几里得算法的两个自然数输入；在演示的例子中，它们被代入为 5295 和 4321。

自然数 $\mathbb{N}$

1. 公式
   观察依据

   右侧黑板标题写着 求 $\gcd(5295,4321)$，左侧黑板结论写着 $gcd(a,b)$。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出任务是求最大公约数，并回顾了最后一个非零余数的规则。

$\gcd(a,b)$

两个输入自然数 a 和 b 的最大公约数。

此处定义为自然数输入

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板显示了带余除法链 $a=bq_1+r_1$, $b=r_1q_2+r_2$, $r_1=r_2q_3+r_3$, ..., $r_{n-2}=r_{n-1}q_n+0$。

1. 黑板上没有明确写出每个余数的大小条件，尽管“带余除法”这一方法名称通常包含该条件。

$q_i$,$r_i$

欧几里得算法中连续应用带余除法所产生的商和余数。

由重复除法步骤生成的整数/自然数

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板结论行写着 $r_{n-1}=gcd(a,b)$。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出最后的非零余数是欧几里得算法的输出。

$r_{n-1}$

显示的欧几里得算法链中的最后一个非零余数。

出现在最终零余数步骤之前的余数

1. 公式
   观察依据

   右侧黑板标题写着 求 $\gcd(5295,4321)$。

2. 声音
   观察依据

   旁白使用的例子涉及正整数对 5295 和 4321。

5295,4321

用于说明欧几里得算法的具体自然数对。

自然数

1. 公式
   观察依据

   黑板标题写着“例：求 $\gcd(5295, 4321)$”。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出计算出的最大公约数为 1。

$\gcd(a,b)$

整数 a 和 b 的最大公约数。

在本例中定义于正整数；此处 $a=5295$ 且 $b=4321$。

1. 公式
   观察依据

   左侧板书包含“假设 $a,b \in \mathbb{N}$”，且带余除法链以 a 和 b 开始。

2. 公式
   观察依据

   右侧板书示例使用了具体的数对 5295 和 4321。

a,b

欧几里得算法的两个自然数输入；在例题中代入为 5295 和 4321。

自然数 $\mathbb{N}$。

1. 公式
   观察依据

   左侧板书显示 $r_1$,$r_2$,$r_3$,$\ldots$,$r_{n-1}$，最后一行余数为 0。

2. 公式
   观察依据

   右侧板书写出了连续的余数 974, 425, 124, 53, 18, 17, 1, 0。

$r_i$

重复带余除法第 i 步产生的余数。

满足 $0 \le$ $r_i$ < 上一步除数的整数。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板使用商 $q_1$,$q_2$,$q_3$,$\ldots$,$q_{n-1}$,$q_n$；等式分别为 a=bq_1+$r_1$, b=$r_1q$_2+$r_2$ 等。

2. 公式
   观察依据

   右侧板书显示了明确的商 1,4,2,3,2,2,1,17。

$q_i$

在第 i 步将当前被除数除以当前除数时使用的商。

所示除法中的非负整数。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写出 $r_{n-1}=\gcd(a,b)$，其前面的带余除法链以余数 0 结束。

1. 右侧板书未数值化具体编号 n；它隐含于最后一个非零余数。

n

余数为 0 的最终除法步骤的编号。

编号算法终止步骤的正整数。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板标题为 欧几里得算法，设置部分为 设 $a,b \in \mathbb{N}$, 反复进行带余除法，随后是以 $r_{n-2}=r_{n-1}q_n+0$ 结尾的方程链，以及 $r_{n-1}=gcd(a,b)$。

2. 声音
   观察依据

   旁白回顾了连续除法和欧几里得算法的停止规则。

1. 视频在此片段中陈述了方法和结论，但没有证明为什么最后一个非零余数等于最大公约数。

对于此处说明的正整数输入，重复除法将当前数对替换为其除数和余数。零余数停止过程；最后一个非零值给出最大公约数。编辑边界情况：如果第一次除法已经是整除，则初始除数即为最大公约数。显示的链说明了具有中间非零余数的情况。

1. 对于此处说明的正整数输入，每个活动除数都是正的；编辑澄清：使用通常的余数界限 0 ≤ 余数 < 除数。

2. 反复应用带余除法。

3. 当余数变为 0 时，显示的链结束。

4. 结论将最后一个非零余数 $r_{n-1}$ 识别为 $\gcd(a,b)$。

1. 示例中使用的连续带余除法方程

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板明确写出了序列 $a=bq_1+r_1$, $b=r_1q_2+r_2$, $r_1=r_2q_3+r_3$，一直延续到 $r_{n-2}=r_{n-1}q_n+0$。

1. 黑板没有单独陈述通常的约束 $0 \le$ $r_i$ < 除数，尽管短语“带余除法”传统上包含它。

每一新行都将前一个除数除以前一个余数。前一个除数成为新的被除数，前一个余数成为新的除数。

1. 适用于逐步简化的自然数对。

2. 每个方程都是带余除法的一个实例。

3. 链在零余数处终止。

1. 公式
   观察依据

   左侧板书标题为“欧几里得算法”。

2. 公式
   观察依据

   左侧板书的除法链以 $r_{n-2}$=$r_{n-1}$$q_n$+0 结束，然后确定 $r_{n-1}$=$\gcd(a,b)$。

3. 声音
   观察依据

   在整个片段中，讲师反复应用相同的模式：取用上一个除数，除以上一个余数，写出商加上新余数。

视频将欧几里得算法呈现为一系列带余除法步骤。从两个自然数 a 和 b 开始，反复用上一个除数除以上一个余数，直到余数为 0。然后将最后一个非零余数确定为 $\gcd(a,b)$。在例题中，链条为 5295, 4321, 974, 425, 124, 53, 18, 17, 1, 0，因此最后一个非零余数是 1。

1. 图示输入 a 和 b 为正整数，且所有中间除数均非零（编辑范围澄清）。

2. 每一步都使用余数小于除数的带余除法

3. 当余数等于 0 时过程停止

1. 每步使用的带余除法形式
2. 最大公约数

1. 公式
   观察依据

   左侧板书明确说明“如果我们反复执行带余除法”，并写出形式为 被除数 = 除数 $\times$ 商 + 余数 的方程。

2. 声音
   观察依据

   旁白完成了第三次除法，余数为 124，对应 $974 = 2 \cdot 425 + 124$。

板上的每一行都具有结构：当前被除数 = 当前除数 $\times$ 商 + 余数。示例反复使用此规则：$5295 = 1\cdot 4321 + 974$, $4321 = 4\cdot 974 + 425$, $974 = 2\cdot 425 + 124$，依此类推。这是此处展示的欧几里得算法背后的操作规则。

1. x,y 在所示示例中为正整数

2. q 为整数商

3. r 为余数

1. 声音
   观察依据

   旁白将最终的非零余数确定为最大公约数，给出 1。

2. 公式
   观察依据

   在 158s，讲师把“=1”写在原题 求 $\gcd(5295,4321)$ 旁边。

最大公约数是能同时整除两个输入数的最大整数。在此片段中，算法以最后一个非零余数 1 终止，讲师在板上记录 $\gcd(5295,4321)=1$。

1. 输入为特定整数 5295 和 4321

1. 声音
   观察依据

   最后的旁白将最大公约数 1 解释为两个输入整数互质。

在得出最大公约数为 1 后，讲师通过说这两个数互质来重述结果。因此在本视频中，“互质”被用作具有最大公约数 1 的口头等价表述。

1. 适用于本例中的数对 5295 和 4321

1. 最大公约数

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板给出结论 $r_{n-1}=gcd(a,b)$；前面的带余除法链以 $r_{n-2}=r_{n-1}q_n+0$ 为最后一行。

2. 声音
   观察依据

   旁白陈述最后的非零余数给出了原始数对的最大公约数。

1. 此片段将该陈述呈现为回忆的事实/方法，而不是证明它。

如果对自然数 a 和 b 执行欧几里得算法，通过反复应用带余除法直到出现零余数，那么最后一个非零余数 $r_{n-1}$ 等于 $\gcd(a,b)$。

1. a 和 b 是显示的除法链中的正整数，具有非零的中间除数和通常的带余除法余数界限（编辑范围澄清）。

2. 如图所示反复应用带余除法。

3. 过程达到余数为 0 的步骤。

对于显示的以余数 0 结束的有限连续除法链。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写出 $r_{n-1}=\gcd(a,b)$，其前面的带余除法链以余数 0 结束。

2. 声音
   观察依据

   在 143s-157s，讲师指出达到余数 1 时最大公约数应该已经很明显，然后增加了一步以获得余数 0，最后得出 gcd=1。

如果 $a,b\in\mathbb{N}$ 的重复带余除法以 $r_n$=0 结束，则前一个非零余数 $r_{n-1}$ 等于 $\gcd(a,b)$。

1. a 和 b 是正整数，且显示的中间除数非零（编辑范围澄清）。

2. 序列由重复应用带余除法生成

3. 显示的最终余数为 0

对于在所示迭代程序下的自然数 a 和 b。

1. 声音
   观察依据

   旁白得出结论，输入数对的最大公约数为 1。

2. 公式
   观察依据

   在 158s，板书完成为“例：求 $\gcd(5295,4321)=1$”。

$\gcd(5295,4321)=1$。

1. 显示的欧几里得算法链已在板上正确执行

关于两个整数 5295 和 4321 的具体声明。

1. 声音
   观察依据

   结束旁白描述输入数对为互质。

整数 5295 和 4321 互质。

1. $\gcd(5295,4321)=1$ 如从演算算法得出的结论

关于数对 (5295,4321) 的具体声明。

1. 声音
   观察依据

   旁白伴随着两个完成的除法，商分别为 1 和 4，余数分别为 974 和 425，并解释了将前一个除数和余数带入下一行。

2. 公式
   观察依据

   右侧黑板显示 $5295 = 1 \cdot 4321 + 974$，然后是 $4321 = 4 \cdot 974 + 425$。

3. 动画
   观察依据

   写完第一行后，从 4321 和 974 向下画箭头，以指示下一个被除数/除数对。

1. 公式

   $$5295 = 1\cdot 4321 + 974$$
   解释

   对初始对 (5295,4321) 应用带余除法，得到商 1 和余数 974。

   步骤依据

   黑板上直接计算并口头陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4321 = 4\cdot 974 + 425$$
   解释

   在欧几里得链中向下移动：前一个除数 4321 成为新的被除数，前一个余数 974 成为新的除数，得到商 4 和余数 425。

   步骤依据

   匹配左侧黑板方法的一般模式 $b=r_1q_2+r_2$ 以及将前一个余数移入下一行的口头指令。

   视频直接表达

经过两个欧几里得步骤后，数对从 (5295,4321) 简化为 (974,425)，余数依次为 974 和 425。

1. 声音
   观察依据

   旁白开始下一个除法，被除数为 974，商为 2；82 秒的片段在这行正在书写时结束。

2. 公式
   观察依据

   到 01:21 时，右侧黑板显示 $974 = 2$，该行其余部分尚未完成。

1. 第三个除法在此片段中仅刚开始；完整的表达式和余数在截止前不可见或听不到。

2. 无法从提供的片段确认 2 乘以 4…… 之后的确切延续。

1. 公式

   $$974 = 2\cdots$$
   解释

   通过将 974 移到左边并开始商为 2 来启动下一个除法。

   步骤依据

   可见的黑板书写和口头设置表明这是欧几里得算法的下一行，但该行在此片段中不完整。

   视频直接表达

示例继续进行第三个除法步骤，但此片段在该步骤完成之前结束。

1. 公式
   观察依据

   右侧板书累积了从 5295 到 $17=17\cdot1+0$ 的完整除法链。

2. 声音
   观察依据

   旁白跟随书写的除法，包括完成第三次除法和最后的余数为 0 的除法。

1. 前两行在片段开始时已存在；这里仅直接观察到它们的延续。

1. 公式

   $$5295 = 1\cdot 4321 + 974$$
   解释

   初始将较大的数除以较小的数。

   步骤依据

   在片段开始时已写在板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4321 = 4\cdot 974 + 425$$
   解释

   下一次除法使用前一个除数 4321 和前一个余数 974。

   步骤依据

   在片段开始时已写在板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$974 = 2\cdot 425 + 124$$
   解释

   讲师在此期间完成了第三次除法，得到余数 124。

   步骤依据

   在板上可见的完成以及 82s-90s 的口述旁白。

   视频直接表达
4. 公式

   $$425 = 3\cdot 124 + 53$$
   解释

   取用 425 并除以 124，得到商 3 和余数 53。

   步骤依据

   在大约 95s-106s 写在板上并口述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$124 = 2\cdot 53 + 18$$
   解释

   取用 124 并除以 53，得到商 2 和余数 18。

   步骤依据

   在大约 109s-121s 写在板上并口述。

   视频直接表达
6. 公式

   $$53 = 2\cdot 18 + 17$$
   解释

   取用 53 并除以 18，得到商 2 和余数 17。

   步骤依据

   在大约 125s-133s 写在板上并口述。

   视频直接表达
7. 公式

   $$18 = 1\cdot 17 + 1$$
   解释

   取用 18 并除以 17，得到商 1 和余数 1。

   步骤依据

   在大约 135s-142s 写在板上并口述。

   视频直接表达
8. 公式

   $$17 = 17\cdot 1 + 0$$
   解释

   添加最后一次除法以强制余数为 0，符合所述的停止条件。

   步骤依据

   在 143s-157s 口述并写在板上。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\gcd(5295,4321)=1$$
   解释

   由于最后一个非零余数是 1，最大公约数为 1。

   步骤依据

   根据左侧黑板的规则 $r_{n-1}$=$\gcd(a,b)$ 得出；讲师口头给出结论，并写出“=1”，时间为 158s。

   视频直接表达

重复除法链以最后一个非零余数 1 终止，因此 $\gcd(5295,4321)=1$ 且这两个数互质。

1. 公式
   观察依据

   右侧黑板标题写着 求 $\gcd(5295,4321)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师口头介绍该例子为求 5,295 和 4,321 的最大公约数。

3. 公式
   观察依据

   黑板工作显示 $5295 = 1 \cdot 4321 + 974$，然后是 $4321 = 4 \cdot 974 + 425$，然后是 $974 = 2...$ 的开始。

1. 此片段中的例子未完成；在截止前未达到最终的最大公约数值。

使用欧几里得算法求 $\gcd(5295,4321)$。

1. $a=5295$

2. $b=4321$

3. 使用如显示的欧几里得算法中的重复除法。

逐步简化数对，直到找到最后一个非零余数。

1. 公式

   $$5295 = 1\cdot 4321 + 974$$
   解释

   较大的整数除以较小的整数，第一次带余除法得到余数 974。

   步骤依据

   黑板上显示并口头陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4321 = 4\cdot 974 + 425$$
   解释

   第二次除法使用前一个除数和余数，产生余数 425。

   步骤依据

   黑板上显示并口头陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$974 = 2\cdots$$
   解释

   第三次除法通过将 974 下移作为新的被除数开始。

   步骤依据

   可见的部分黑板书写和口头设置，但该行在此片段中不完整。

   视频直接表达

此片段中未给出最终答案；例题在开始第三次除法后停止。

片段本身未达到零余数，因此仅凭此片段无法验证最终的最大公约数。

1. 公式
   观察依据

   右侧板书标题写着“例：求 $\gcd(5295,4321)$”。

2. 公式
   观察依据

   到片段结束时可见完整的演算链，以 $17=17\cdot1+0$ 和附加的结果 =1 结束。

3. 声音
   观察依据

   讲师叙述计算过程，并在 160s 得出结论，这两个数互质。

1. 前两行除法早于片段开始，但其内容完全可见。

通过重复除法计算 $\gcd(5295,4321)$。

1. $a=5295$

2. $b=4321$

3. 使用欧几里得算法 / 带余除法反复进行直到余数为 0

确定 5295 和 4321 的最大公约数。

1. 公式

   $$5295 = 1\cdot 4321 + 974$$
   解释

   从给定的数对开始。

   步骤依据

   在片段开始时可见于板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4321 = 4\cdot 974 + 425$$
   解释

   将前一个除数除以前一个余数。

   步骤依据

   在片段开始时可见于板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$974 = 2\cdot 425 + 124$$
   解释

   继续相同的模式。

   步骤依据

   在 82s-90s 期间在屏幕上完成并口述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$425 = 3\cdot 124 + 53$$
   解释

   下一个余数是 53。

   步骤依据

   在大约 95s-106s 书写并叙述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$124 = 2\cdot 53 + 18$$
   解释

   下一个余数是 18。

   步骤依据

   在大约 109s-121s 书写并叙述。

   视频直接表达
6. 公式

   $$53 = 2\cdot 18 + 17$$
   解释

   下一个余数是 17。

   步骤依据

   在大约 125s-133s 书写并叙述。

   视频直接表达
7. 公式

   $$18 = 1\cdot 17 + 1$$
   解释

   下一个余数是 1。

   步骤依据

   在大约 135s-142s 书写并叙述。

   视频直接表达
8. 公式

   $$17 = 17\cdot 1 + 0$$
   解释

   添加最后一步以达到余数 0。

   步骤依据

   讲师在 143s-157s 明确陈述。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\gcd(5295,4321)=1$$
   解释

   最后一个非零余数是 1。

   步骤依据

   使用左侧板书规则 $r_{n-1}$=$\gcd(a,b)$；也在 158s 写在示例标题旁边。

   视频直接表达

$\gcd(5295,4321)=1$

最后一行 $17=17\cdot1+0$ 的余数为 0。前一个非零余数 1 给出了最大公约数，因此这两个输入整数互质。

1. 图示
   观察依据

   单个黑板在概念上分为两个区域：左侧包含一般的欧几里得算法陈述，右侧包含例题标题和计算。

2. 动画
   观察依据

   讲师指着左侧的一般公式回顾方法，然后转向右侧编写具体示例。

1. 左栏：欧几里得算法 一般陈述

2. 右栏：求 $\gcd(5295,4321)$ 例题

3. 站在黑板旁的讲师

1. 注意力从左侧的一般公式转移到右侧的数值示例。

2. 新方程依次添加在示例标题下方。

1. 左侧的一般方法在整个片段中保持可见。

2. 示例标题 求 $\gcd(5295,4321)$ 固定在右上角。

视觉布局将理论与实践分开：左侧提供算法模板，右侧在具体数字上代入它。

1. 动画
   观察依据

   写完 $5295 = 1 \cdot 4321 + 974$ 后，从 4321 和 974 向下画箭头指向下一行。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释重用前一个除数和余数进行下一个除法；箭头显示了它们的新角色。

1. 从 4321 和 974 向下的箭头

2. 下一行 $4321 = 4 \cdot 974 + 425$

1. 前一个除数 4321 被移动以成为新的被除数。

2. 前一个余数 974 被移动以成为新的除数。

1. 整体欧几里得模式从一行到下一行保持不变。

箭头直观地编码了欧几里得算法中的递归：每一步都重用前一个除数和余数作为下一对。

1. 图示
   观察依据

   黑板分为左侧算法区域，标题为“欧几里得算法”，和右侧例题区域，标题为“例：求 $\gcd(5295,4321)$”。

2. 图示
   观察依据

   右侧的弯曲箭头将每个余数连接到下一行的除数位置。

1. 左侧区域：一般欧几里得算法陈述

2. 右侧区域：数值示例 $\gcd(5295,4321)$

3. 连接连续行的弯曲箭头

1. 随着新除法方程的书写，右侧区域向下增长。

2. 到最后，示例标题扩展为“=1”。

1. 左侧区域在整个片段中保持不变。

2. 右侧区域始终保持相同的 被除数 = 除数 $\times$ 商 + 余数 格式。

视觉布局将理论与计算分开：左侧陈述算法和终止规则，而右侧在具体整数上代入它，并使用箭头显示每个余数如何成为下一个除数。

1. 图示
   观察依据

   在此延续部分的开头，一个弯曲箭头将 425 从前一行带入下一个除数位置。

2. 图示
   观察依据

   类似的箭头出现在 124 和下一行之间，53 和下一行之间，18 和下一行之间，以及 17 和下一行之间。

1. 连续方程之间的弯曲箭头

2. 数字 425, 124, 53, 18, 17

1. 每个箭头视觉上转移前一个除数或余数到下一个除法步骤。

2. 链条逐行向下进行，直到最终的零余数。

1. 每一新行都以前一行取用的量开始。

2. 一行的余数成为下一行的除数。

箭头编码了欧几里得算法的递推关系：在写出 x=yq+r 后，下一行以 y 开始并除以 r。这使得迭代替换变得明确，而无需每次重述一般公式。

1. 图示
   观察依据

   在 158s，讲师将“=1”直接写在题头 求 $\gcd(5295,4321)$ 后面。

1. 标题“例：求 $\gcd(5295,4321)$”

2. 添加的“=1”

1. 问题陈述通过附加结果转化为已解决的陈述。

1. 一旦完成，底层除法链保持不变。

最终注释在示例顶部记录了算法的结果，将计算出的最后一个非零余数链接回原始问题。

1. 声音
   观察依据

   0–82 秒的部分在开始第三次除法时结束。

2. 公式
   观察依据

   到结束时只看到 $974 = 2$；尚未写出零余数终止行。

人们可能认为因为已经计算了几个余数，所以示例已经确定了 $\gcd(5295,4321)$。

此时除法过程仍在进行中。继续直到出现余数为 0；最后一个非零值然后给出最大公约数。

1. 声音
   观察依据

   讲师确定了最大公约数 1，但仍编写了最后的零余数除法以使显示的停止规则明确。

可以把任何一个中间非零余数直接当成最大公约数。

任意中间余数都不足以确定结果；若余数已经为 1，则确实可以确定最大公约数为 1，此时提前停止是有效的。视频又写出 $17=17\cdot1+0$，以明确展示通常的零余数停止规则。

1. 图示
   观察依据

   左侧黑板给出一般的欧几里得算法；右侧黑板将其应用于 $gcd(5295,4321)$。

2. 声音
   观察依据

   旁白从一般算法陈述过渡到一对具体的正整数。

例题是左侧黑板上陈述的一般欧几里得算法过程的直接代入。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写出除法链，然后得出结论 $r_{n-1}=gcd(a,b)$。

关于最后一个非零余数的声明依赖于显示的重复带余除法链作为其设置。

1. 公式
   观察依据

   方法摘要和结论行一起出现在左侧黑板上。

2. 声音
   观察依据

   讲师在一句话中陈述了方法和结论。

欧几里得算法方法包括最后一个非零余数是最大公约数的命题。

1. 公式
   观察依据

   左侧板书说“如果我们反复执行带余除法”，然后列出欧几里得链。

此处展示的欧几里得算法是通过在每一步迭代带余除法恒等式 x=yq+r 构建的。

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写出 $r_{n-1}=\gcd(a,b)$，其前面的带余除法链以余数 0 结束。

2. 声音
   观察依据

   在 143s-160s，讲师应用此规则得出 $\gcd(5295,4321)=1$。

该算法被用作计算两个自然数最大公约数的方法。

1. 声音
   观察依据

   结束旁白将最大公约数 1 与输入数对的互质性联系起来。

在此片段中，最大公约数等于 1 被呈现为等同于这两个数互质。

1. 图示
   观察依据

   右侧区域在具体数对 5295 和 4321 上代入了左侧区域的算法。

例题是直接应用板上左侧描述的欧几里得算法。

1. 声音
   观察依据

   讲师回顾了针对两个自然数的欧几里得算法。

2. 公式
   观察依据

   左侧黑板显示完整的方法陈述。

1. 作为重复除法的欧几里得算法
2. 示例中使用的连续带余除法方程
3. 最后一个非零余数等于最大公约数

1. 声音
   观察依据

   旁白回顾了终端余数规则，但没有展示其一般证明。

2. 公式
   观察依据

   左侧黑板得出结论 $r_{n-1}=gcd(a,b)$。

1. 此片段陈述了结果但没有证明它。

1. 最后一个非零余数等于最大公约数
2. 作为重复除法的欧几里得算法

1. 动画
   观察依据

   箭头显示 4321 和 974 被带下来形成下一个方程。

2. 声音
   观察依据

   旁白和箭头说明：前一个除数成为下一行的被除数，前一个余数成为下一行的除数。

1. 示例中使用的连续带余除法方程
2. 通过前两个欧几里得步骤简化 $\gcd(5295,4321)$ 的过程
3. 显示如何形成下一个欧几里得行的箭头

1. 公式
   观察依据

   右侧黑板显示示例标题和前两个完成的除法，然后是部分第三行。

1. 此片段中未达到最终的最大公约数。

1. 部分例题：$\gcd(5295,4321)$
2. 通过前两个欧几里得步骤简化 $\gcd(5295,4321)$ 的过程
3. 第三个欧几里得步骤的开始

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板在显示的链中使用 $a,b,q_i,r_i,r_{n-1}$。

1. a,b
2. $q_i$,$r_i$
3. $r_{n-1}$
4. 示例中使用的连续带余除法方程

1. 公式
   观察依据

   左侧板书标题和一般链定义了该方法。

1. 通过重复除法的欧几里得算法
2. 每步使用的带余除法形式
3. 欧几里得算法的终止规则

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写出 $r_{n-1}=\gcd(a,b)$，其前面的带余除法链以余数 0 结束。

1. 欧几里得算法的终止规则
2. 通过重复除法的欧几里得算法

1. 公式
   观察依据

   右侧板书标题要求 $\gcd(5295,4321)$，后来附加 =1。

1. 使用欧几里得算法求 $\gcd(5295,4321)$
2. $\gcd(5295,4321)$ 的演算欧几里得算法
3. 最大公约数

1. 声音
   观察依据

   在 160s，讲师在找到最大公约数 1 后说这两个数互质。

1. 最大公约数等于 1 的互质解释
2. 最大公约数
3. 示例的互质结论

1. 声音
   观察依据

   在 143s-157s，讲师增加了最后一步以获得余数 0，尽管最大公约数 1 已经很明显。

1. 在零余数行之前停止
2. 欧几里得算法的终止规则
3. 使用欧几里得算法求 $\gcd(5295,4321)$