傅里叶级数介绍

1. 图示
   观察依据

   纵轴标记为 y，绘制的黄色波形标记为 $y = f(t)$。

$y=f(t)$

将周期性方波函数表示为三角函数项的和。

t 表示时间（单位：秒）；所显示的图像展示了一个周期，从 0 到 $2\pi$，并重复出现。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出横轴表示时间，单位为秒。

2. 图示
   观察依据

   横轴标记为 $t(s)$，刻度标记位于 $2\pi$ 和 $4\pi$ 处。

t

以秒为单位的时间变量。

横轴上显示的实数值时间变量。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出其周期等于 $2\pi$，并提到单位为秒每周期。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$。

T

方波函数 $f(t)$ 的周期。

每个周期对应的正时间区间；此处 $T = 2\pi$ 秒每周期。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出频率将等于该周期的倒数，也可用赫兹描述。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：freq = $\frac{1}{2\pi} \frac{周期}{秒}$。

freq

周期函数的频率，即周期的倒数。

本例中每秒的周期数；数值上当 $T = 1$}{$2\pi$} when $T=2\pi$.

1. 声音
   观察依据

   主讲人称其为基线常数，用于将函数整体上移或下移，并指出该常数由函数在一个周期内的平均值决定。

2. 公式
   观察依据

   表达式以 $f(t) = a_0$ + 开始。

$a_0$

所提出的傅里叶级数表示中的基线常数项。

与 $f(t)$ 在一个周期内平均值相关的常数系数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：我们取 a 下标 1 乘以 cos t。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：+ $a_1\cos(t)$。

$a_1$

所提出展开式中第一个余弦项的系数。

对应 $\cos(t)$ 分量的常数系数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：再加上 b 下标 1 乘以 sin t。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 + $b_1\sin(t)$。

$b_1$

所提出展开式中第一个正弦项的系数。

正弦分量 $\sin(t)$ 的常数系数。

1. 公式
   观察依据

   该表达式起始形式为 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$，随后通过添加更高阶谐波加以扩展。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提到用加权的正弦函数与余弦函数来表示一个函数。

$f(t)$

被表示为三角函数项之和的周期性目标函数。

关于时间 t 的周期函数；在所展示的例子中，周期 $T=2\pi$。

1. 图示
   观察依据

   黄色标签 $y=f(t)$ 指向方波图形。

$y=f(t)$

图形标签，标识所绘制的波形为关于 t 的函数 f。

坐标平面，横轴为 t（单位：秒），纵轴为 y。

1. 公式
   观察依据

   写作 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$ 中的第一项。

2. 声音
   观察依据

   主讲人讨论了各分量所对应的权重，这些权重表明每个分量参与的程度。

1. 本片段中，视频未明确将 $a_0$ 命名为常数项或直流项。

$a_0$

傅里叶级数表示中的常数系数。

实数值系数。

1. 公式
   观察依据

   出现在 $a_1\cos(t)$ 中。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，若 $a_1$ 远大于 $b_1$，则该函数中余弦项 t 的成分多于正弦项 t 的成分。

$a_1$

基频余弦项 $\cos(t)$ 的加权系数。

实数值系数。

1. 公式
   观察依据

   出现在 $b_1\sin(t)$ 中。

2. 声音
   观察依据

   在解释余弦项与正弦项的相对贡献时，直接与 $a_1$ 对比。

$b_1$

基频正弦项 $\sin(t)$ 的加权系数。

实数值系数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将该图像描述为方波，并称其为周期函数，每 $2\pi$ 秒完成一个周期。

2. 图示
   观察依据

   在标有 y 和 $t(s)$ 的坐标轴上绘制了一个黄色矩形脉冲序列，重复的脉冲与位于 $2\pi$ 和 $4\pi$ 处的刻度线对齐。

视频引入了一个方波函数 $y=f(t)$，其图像在固定时间间隔后重复；口述说明指出该周期为 $2\pi$ 秒，与图中矩形脉冲的可见重复规律一致。

1. 该函数是周期函数。

2. 在此例中，一个完整周期耗时 $2\pi$ 秒。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称频率将等于该周期的倒数，也可用赫兹（hertz）来描述。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 freq = $\frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$。

对于这个方波，频率定义为周期的倒数。由于周期为$2\pi$秒每周期，因此频率写作$\frac{1}{2\pi}$周期每秒，即赫兹。

1. 该函数具有明确定义的周期T。

2. 当T以秒为单位时，单位为周期每秒。

1. 作为周期函数的方波

1. 声音
   观察依据

   说话者提问：像这样的周期函数能否表示为不同周期或频率的正弦函数与余弦函数的无穷级数和。

视频片段中提出的核心问题是：给定的周期性方波能否重写为一系列正弦成分的和。这引出了后续以常数项加余弦项与正弦项开头的表达式。

1. 目标函数是周期性的。

2. 所提出的表示形式使用了不同周期或频率的正弦函数与余弦函数。

1. 作为周期函数的方波

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，将存在某个基准常数，用于整体上移或下移图像，且该常数基于函数在一个周期内的平均值。

2. 公式
   观察依据

   该表达式以$f(t)=a_0$+开头。

在所提出的展开式中，$a_0$被引入为一个常数偏移量。说话者明确将此项与函数在一个周期内的平均值联系起来，并将其区别于振荡性的正弦项与余弦项。

1. 该表示式正逐项构建。

2. $a_0$ 表示一个周期内的垂直平移或均值水平。

1. 用正弦函数与余弦函数表示周期函数的目标

1. 声音
   观察依据

   主讲人添加了 $a_1\cos(t)$ 和 $b_1\sin(t)$，并提问为何选择这两项。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$。

在常数项之后，视频将首个振荡部分写作 $a_1\cos(t)$ 和 $b_1\sin(t)$。它们被视作对 $f(t)$ 尝试表示时所引入的初始周期性成分。

1. 原始函数在此设定下的周期为 $2\pi$。

2. 所选的基本三角函数自变量为 t。

1. 级数中的基准常数$a_0$
2. 作为周期函数的方波

1. 公式
   观察依据

   黑板上逐步写出$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+a_2\cos(2t)+a_3\cos(3t)+\cdots+b_1\sin(t)+b_2\sin(2t)+b_3\sin(3t)+\cdots$。

2. 声音
   观察依据

   说话者描述通过加权的正弦与余弦来表示某事物。

3. 字幕依据
   观察依据

   在01:24–01:28时刻，屏幕上出现标题“傅里叶级数”。

本片段介绍傅里叶级数：它是周期函数的一种无限三角函数展开式。图中展示的构造过程从常数项开始，加上一个基频余弦项和一个基频正弦项，然后依次加入更高阶的谐波项：$\cos(2t)$、$\cos(3t)$、$\sin(2t)$、$\sin(3t)$，如此无限延续下去。系数 $a_n$ 和 $b_n$ 作为权重，控制每个谐波对整体展开的贡献程度。

1. 此处应用于一个周期为$2\pi$ 的周期函数。

2. 该级数以省略号形式正式写出，而非给出严格的收敛性证明。

1. 所显示波形的周期与频率
2. 将 t 替换为2t 对频率的影响

1. 图示
   观察依据

   图像上标注了 $T=2\pi$ 秒/周期，以及 freq=$1/(2\pi)$ 周期/秒。

2. 声音
   观察依据

   讲话者提到周期为$2\pi$，并随后比较了 $\cos(t)$ 与 $\cos(2t)$ 的频率。

黑板上所示方波的周期为$2\pi$ 秒/周期，因此其频率为$1/(2\pi)$ 周期/秒。这确立了后续三角函数项所依据的基本振荡尺度。

1. 特指本片段中绘制的波形。

1. 公式
   观察依据

   在 $\cos(t)$ 之后加入了 $\cos(2t)$ 项。

2. 声音
   观察依据

   讲话者说：‘这个的频率是1除以2π；这个的频率是前者的两倍；这个的频率是1除以π。’

该片段使用 $\cos(2t)$ 说明：将余弦函数的自变量加倍，会使频率相对于 $\cos(t)$ 加倍。由于基底项 $\cos(t)$ 对应的频率为 $1/(2\pi)$，因此项 $\cos(2t)$ 对应的频率为 $1/\pi$。同样的谐波逻辑随后被推广到 $\cos(3t)$、$\sin(2t)$ 和 $\sin(3t)$。

1. 针对黑板上所示的周期为$2\pi$ 的情形进行了讨论。

1. 所显示波形的周期与频率

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，傅里叶级数在微分方程研究中很有意义，因为许多微分方程用正弦函数和余弦函数求解较为容易，但对诸如方波这类更一般的函数则不那么直观。

该视频通过说明如下观点来引出傅里叶级数：当外力项或输入项能用正弦函数和余弦函数表达时，微分方程往往更容易求解；若能将方波等更复杂的周期函数重写为一系列正弦波的和，则可由此获得微分方程更普遍的解。

1. 此处仅作为动机引入，而非给出完整定理或证明过程。

1. 傅里叶级数是正弦与余弦的加权和

1. 声音
   观察依据

   主讲人称，这实际上构成了信号处理的基础，且极具实用价值。

1. 这句话在主讲人进一步阐述前被截断。

在视频片段临近结尾处，主讲人指出：将函数表示为正弦波之和，是信号处理的基石；该片段在结束前并未进一步展开这一应用。

1. 本节选仅给出一个简短的导引性论断。

1. 傅里叶级数是正弦与余弦的加权和

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f(t)=a_0+a_1 \cos (t)+a_2 \cos (2t)+a_3 \cos (3t)$+… + $b_1 \sin (t)+b_2 \sin (2t)+b_3 \sin (3t)$+…

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这些系数是余弦项和正弦项上的权重。

该片段将周期函数 $f(t)$ 表示为一个常数项加上若干余弦项与正弦项之和，其中三角函数的自变量为 t 的整数倍；系数 $a_n$ 和 $b_n$ 分别乘在这些余弦项与正弦项上。

1. 所展示的例子针对一个周期函数。

2. 视频未说明收敛条件，也未超出所展示例子介绍一般周期归一化方法。

1. $f(t)$
2. $a_0$
3. $a_1$
4. $a_2$
5. $a_3$
6. $b_1$
7. $b_2$
8. $b_3$

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $T = 2π$ 秒/周期，频率 = $1/(2π)$ 周期/秒。

2. 图示
   观察依据

   方波沿 t 轴重复出现，t 轴上标有 2π 和 4π。

对于所绘制的周期信号，黑板标出一个周期持续2π秒，并指出对应频率为$1/(2π)$赫兹。这符合周期与频率互为倒数的关系。

1. 适用于黑板上所画的具体周期信号。

2. 单位标签在黑板上明确写出。

1. T
2. freq
3. t

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出该函数每 $2\pi$ 秒完成一个周期，并将周期写作 $2\pi$ 秒/周期。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$。

所展示的周期性方波的周期为 $T=2\pi$ 秒/周期。

1. 图中所示为正在讨论的函数。

2. 横轴表示时间，单位为秒。

本片段中绘制的具体函数为 $y = f(t)$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，频率等于周期的倒数，单位为赫兹。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写有：freq = $\frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$。

若周期为 $T = 2\pi$ 秒每周期，则频率为 $\frac{1}{2\pi}$ 周期每秒。

1. 该函数是周期函数，周期为 $T = 2\pi$。

2. 频率定义为周期的倒数。

针对本例中的函数及所给出的频率定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：为何从 cos t 和 sin t 入手？随后解释道：若原函数的周期为$2\pi$，则引入具有……的函数是合理的。

2. 公式
   观察依据

   所写的各项使用了 $\cos(t)$ 和 $\sin(t)$。

1. 解释原因的句子被截断，未完整播出，因此本片段中无法听到完整的理由说明。

由于原函数的周期为$2\pi$，说话者指出，从自然周期与该周期一致的三角函数入手是合理的。

1. 原函数的周期为$2\pi$。

2. 候选基函数是 $\cos(t)$ 和 $\sin(t)$。

针对本片段中设定的基础周期为$2\pi$的情形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，单凭 $a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$ 本身无法描述该函数，因为它只会呈现为一条非常光滑的正弦曲线，而不会像方波。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上显示的图像是一幅标有 $y=f(t)$ 的方波图。

仅靠组合式 $a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$ 只能生成正弦形状，因此它自身无法等于黑板上所示的方波。

1. 目标函数是屏幕上显示的周期为$2\pi$的方波。

2. 仅使用基频的余弦项和正弦项。

针对本片段中展示的特定方波示例。

1. 声音
   观察依据

   讲话者称，他们将叠加频率为这些频率整数倍的正弦波。

2. 公式
   观察依据

   黑板上进一步列出了$\cos(2t)$、$\cos(3t)$、$\sin(2t)$、$\sin(3t)$以及省略号。

1. 该片段指出需要高次谐波，但并未证明级数收敛或对方波成立精确相等。

若要超越简单正弦波来逼近方波，该级数必须包含频率为基频整数倍的正弦波。

1. 所建模的函数是以$2\pi$为周期的周期函数。

2. 该表示法使用正弦项和余弦项。

本片段仅陈述所构建的构造；此处未证明任何普适性定理。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这类无穷级数最初由傅里叶探索，被称为傅里叶级数。

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上写出标题“傅里叶级数”。

用加权正弦与余弦表示函数的无穷级数，称为傅里叶级数，以纪念傅里叶。

讲座中给出的历史命名说明。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，许多微分方程在输入为正弦与余弦时易于求解，但当输入为更一般的函数（例如方波）时，解法便不那么明显。

1. 本片段未展示或求解任何具体的微分方程。

许多微分方程在所涉函数为正弦与余弦时比在为更一般的周期函数时更容易求解。

1. 讨论聚焦于微分方程的求解。

主讲人在本节摘录中作出宽泛的定性论断，未提供形式化证明。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“如果 a1 远大于 a2，那就说明该函数所含的 1 除以 2π 赫兹频率成分，远多于 1 除以 π 赫兹频率成分。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人补充道，也许 a3 大于 a1 或 a2。

1. 口述的频率标签与屏幕上显示的级数相关联，但本片段并未将这些频率值单独写在黑板上。

在屏幕上展示的傅里叶级数设定中，若 $a_1$ 远大于 $a_2$，则该函数所含的 $1/(2π)$ 赫兹频率成分多于 $1/π$ 赫兹频率成分；类似地，$a_3$ 可能主导 $a_1$ 或 $a_2$。

1. 该函数以屏幕上展示的形式表示，其余弦项系数分别为 $a_1$、$a_2$、$a_3$。

2. 该比较涉及 $\cos (t)$、$\cos (2t)$ 和 $\cos (3t)$ 前面的系数。

针对本片段中讨论的示例系数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，傅里叶级数，继而傅里叶变换，将把我们带入频域，从而可以开始进行一些信号处理。

该片段指出，傅里叶级数以及后续的傅里叶变换，将分析从时域转入频域，从而实现信号处理。

1. 讨论聚焦于由傅里叶级数表示的周期函数。

口头提出的关于傅里叶级数与傅里叶变换作用的一般性论断。

1. 声音
   观察依据

   说话者首先将周期识别为$2\pi$秒每周期，然后指出频率为其倒数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$，随后写出 freq = $\frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$。

1. 公式

   $$T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$$
   解释

   方波的周期从图像中读出，并口头表述为每$2\pi$秒一个周期。

   步骤依据

   对重复波形的直接观察，以及说话者的明确陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$freq = \frac{1}{T}$$
   解释

   频率取为周期的倒数。

   步骤依据

   音频中给出的定义：频率等于该值的倒数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$freq = \frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$$
   解释

   将 $T=2\pi$ 代入，得到本例中的数值频率。

   步骤依据

   代入倒数关系式进行代数替换。

   依据视频推导

对于图示的方波，其周期为$2\pi$ 秒每周期，对应频率为$\frac{1}{2\pi}$ 周期每秒。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：$f(t)$ 是否可表示为正弦函数与余弦函数的和？随后补充了一个基线常数项，以及首个余弦项和正弦项。

2. 公式
   观察依据

   黑板上逐步写出 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$。

1. 公式

   $$f(t)=?$$
   解释

   起点是给定的周期函数，我们正寻求它的表示形式。

   步骤依据

   主讲人明确提问：该 $f(t)$ 是否可重写为正弦函数与余弦函数的和？

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(t)=a_0+\cdots$$
   解释

   首先添加一个常数基线项，以体现垂直方向的平移或平均水平。

   步骤依据

   主讲人指出，将存在某个基于一个周期内平均值的基线常数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+\cdots$$
   解释

   所选的第一个振荡项是自变量为 t 的余弦函数。

   步骤依据

   主讲人说，我们取 a 下标1乘以 cos t。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$$
   解释

   然后在余弦项旁加上一个自变量为 t 的正弦项。

   步骤依据

   主讲人说，再加上 b 下标1乘以 sin t。

   视频直接表达

该片段构建了傅里叶型展开式的起始形式：$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$，其动机是用正弦与余弦分量来表示周期函数。

1. 公式
   观察依据

   该表达式逐步扩展，从 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$ 开始，依次加入 +$a_2\cos(2t)$、+$a_3\cos(3t)$、+$b_2\sin(2t)$、+$b_3\sin(3t)$，随后以省略号结束。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释了各项权重，指出仅一个谐波分量不足以刻画函数，于是添加了基频的更高倍数分量。

1. 这是一种构造性说明，而非对系数或收敛性的严格推导。

1. 公式

   $$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$$
   解释

   从一个常数项，加上基本的余弦与正弦分量开始。

   步骤依据

   这些是板书上最先清晰写出的几项。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_1\gg b_1 \Rightarrow \text{more }\cos(t)\text{ than }\sin(t)$$
   解释

   比较 $a_1$ 与 $b_1$ 的大小，以理解这两个基本正弦分量的相对贡献。

   步骤依据

   主讲人明确指出：若 $a_1$ 远大于 $b_1$，则该函数中 cos t 的成分多于 sin t 的成分。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a_1\cos(t)+b_1\sin(t)\ \text{is still only sinusoidal}$$
   解释

   认识到仅靠这一对基本分量，无法复现出图中所示的方波形状。

   步骤依据

   主讲人将一个非常纯净的正弦波与屏幕上显示的方波进行对比。

   视频直接表达
4. 公式

   $$+a_2\cos(2t)$$
   解释

   加入第二阶谐波的余弦项。

   步骤依据

   该项写在黑板上，并被口头描述为：另一个加权系数乘以 $\cos (2t)$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$+a_3\cos(3t)+\cdots$$
   解释

   将余弦级数继续展开至基频的更高整数倍。

   步骤依据

   说话者表示他将无限延续下去，黑板上用省略号展示了这一规律。

   视频直接表达
6. 公式

   $$+b_2\sin(2t)+b_3\sin(3t)+\cdots$$
   解释

   对正弦项做相同的谐波延拓。

   步骤依据

   说话者表示他将对正弦项做同样的处理，这些项已写在黑板上。

   视频直接表达

该片段构建了傅里叶级数的一般模板，即常数项、余弦谐波项与正弦谐波项的无穷加权和。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘这一项的频率为1除以2π；这一项的频率是前者的两倍；这一项的频率为1除以π。’

2. 公式
   观察依据

   新添加的项是$a2\cos(2t)$。

1. 公式

   $$T=2\pi$$
   解释

   使用所展示波形标明的周期。

   步骤依据

   黑板明确标注$T=2\pi$ 秒/周期。

   视频直接表达
2. 公式

   $$freq(\cos(t))=\frac{1}{2\pi}$$
   解释

   确定与基波项对应的基频。

   步骤依据

   说话者在讨论图像与级数时直接陈述了该频率。

   视频直接表达
3. 公式

   $$freq(\cos(2t))=2\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac{1}{\pi}$$
   解释

   自变量翻倍，频率也翻倍。

   步骤依据

   说话人明确指出，新项的频率是原来的两倍，且等于1除以π。

   视频直接表达

在本片段所设的周期为2π的背景下，$\cos (2t)$ 的频率为$1/π$ 个周期每秒。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：$T = 2π$ 秒/周期，频率 = $1/(2π)$ 周期/秒。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在讨论系数时，提到了 $1/(2π)$ 赫兹的频率以及 $1/π$ 的频率。

1. 该片段并未用语言明确推导出 $1/π$ 这一标注；它是根据黑板上显示的级数参数 2t，结合黑板所写的周期/频率记号推断得出的。

1. 公式

   $$T=2\pi\ \frac{\text{sec}}{\text{cycle}}$$
   解释

   黑板标出了所绘制周期信号的周期。

   步骤依据

   直接写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{freq}=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\ \frac{\text{cycles}}{\text{sec}}$$
   解释

   基频是周期的倒数。

   步骤依据

   标准的周期-频率关系，与黑板上写出的公式一致。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\cos(t),\ \cos(2t),\ \cos(3t),\ldots$$
   解释

   所展示的级数使用三角函数的自变量 t、2t、3t、…。

   步骤依据

   直接可见于黑板上的傅里叶级数公式中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{1}{2\pi},\ \frac{1}{\pi},\ \frac{3}{2\pi},\ldots$$
   解释

   这些分别对应于所展示的余弦项所关联的基本谐波与高次谐波。

   步骤依据

   通过将黑板上的周期/频率记号与 cos(nt) 内部出现的整数倍数相结合而导出。

   依据视频推导

对于所展示的例子，系数 $a_1$ 对应频率 $1/(2π)$，$a_2$ 对应 $1/π$，$a_3$ 对应 $3/(2π)$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示将先复习三角学，特别是三角函数的积分，然后求解各系数，并观察它们对 f 的逼近效果。

1. 公式

   $$$$
   解释

   复习三角学，特别是三角函数的积分。

   步骤依据

   在后续视频中口头陈述为下一步计划。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   求解系数 $a_n$ 和 $b_n$。

   步骤依据

   在三角学复习之后，口头陈述为下一步计划。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   检验所得级数对原函数 f 的逼近效果。

   步骤依据

   将接下来的步骤的最终目标用自然语言陈述出来。

   视频直接表达

本片段概述了后续工作流程：先用三角积分法确定傅里叶系数，再评估该级数对 f 的逼近质量。

1. 图示
   观察依据

   屏幕上画出一个标有 $y=f(t)$ 的黄色方波图像，坐标轴上标有 t（秒）、$2\pi$ 和 $4\pi$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将该图像描述为一个周期为$2\pi$ 秒的方波，并提问：它能否被表示为正弦与余弦函数的和？

3. 公式
   观察依据

   黑板上写出：$T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$，freq = $\frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$，以及 $f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$。

已知屏幕上显示的周期性方波 $y=f(t)$，请确定其周期与频率，并开始将其写成三角函数项的和。

1. 该图像是一个标有 $y=f(t)$ 的方波。

2. 横轴为时间 t，单位为秒。

3. 该波形每$2\pi$ 秒重复一次。

写出周期 T；计算频率；写出所设正弦级数展开式的前几项。

1. 公式

   $$T = 2\pi \frac{sec}{cycle}$$
   解释

   从重复的矩形波形中读取一个完整周期。

   步骤依据

   主讲人明确指出该函数每$2\pi$ 秒完成一个周期。

   视频直接表达
2. 公式

   $$freq = \frac{1}{2\pi} \frac{cycles}{sec}$$
   解释

   对周期取倒数，得到频率。

   步骤依据

   主讲人将频率定义为周期的倒数。

   依据视频推导
3. 公式

   $$f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$$
   解释

   从常数项开始表示，再加入第一个余弦项和正弦项。

   步骤依据

   主讲人先引入一个基于平均值的基准常数，然后加上 $a_1\cos(t)$ 和 $b_1\sin(t)$。

   视频直接表达

$T=2\pi \frac{sec}{cycle}$,$\quad$ freq=$\frac{1}{2\pi}\frac{cycles}{sec}$,$\quad f(t)=a_0+a_1\cos(t)+b_1\sin(t)\text{（展示的初始形式）}$

答案与视频片段中黑板上清晰写出的公式一致。

1. 图示
   观察依据

   一个黄色方波绘制在标有 y 和 t（秒）的坐标轴上，横轴标记位于2π 和4π 处，并标注有 $T=2π$ 秒/周期 和 freq=$1/(2π)$ 周期/秒。

2. 公式
   观察依据

   左下角的表达式被构造成一个三角级数，旨在表示 $y=f(t)$。

3. 声音
   观察依据

   说话人将一个纯净的正弦波与方波作对比，并引出添加谐波的必要性。

1. 方波的数值振幅未在 y 轴上标出。

2. 本片段未计算该方波的实际傅里叶系数。

用加权的正弦函数和余弦函数来表示所显示的周期性方波 $y=f(t)$。

1. 该图像为一个周期 $T=2π$ 的方波。

2. 频率标注为$1/(2π)$ 周期/秒。

3. 该级数以 $f(t) = a_0 + a_1\cos(t) + b_1\sin(t)$ 开始。