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函数复合简介 | 函数及其图像 | 代数II | 可汗学院

Khan Academy · YouTube · 6:14

YouTube · Khan Academy原视频

选中时刻 · 1:23 · 章节点是时间参考，不表示实时播放进度。

视频中的要点

01函数的三种表示方式
02从图像中读取函数值
03复合函数的含义

来自学习笔记

f(x)=x^2-1

函数的三种表示方式

选中时刻

从内到外的求值流程图

建议预备知识

基本的函数记号
从表格中读取函数值
从图像中读取函数值
求二次表达式的值
理解基本的函数记号（例如 $f(x)$ ）
能够求简单代数表达式的值
能够从表格中读取数值
能够从图像中读取坐标
代入公式进行计算
从函数表格中读取数值
从图像中读取坐标

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这段入门代数白板讲解视频通过展示定义函数的三种方式来介绍函数复合：一是公式法，即 $f(x) = x^2 - 1$ ；二是列表法，即 $g(t)$ 的表格；三是图像法，即 $y = h(x)$ 的图像。讲解者随后计算例题 $f(g(2))$ ，并强调必须先求内层函数的值。由表格可知， $g(2) = -3$ ；将其代入 f 得 (-3)^ $2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。一个简单的流程图直观呈现了从内到外的求值顺序。本视频片段演示了如何求复合函数的值，具体包括 $f(g(2))$ 和 $f(h(2))$ 。函数 f 以代数形式定义为 $f(x) = x^2 - 1$ ；函数 g 由一张数值表定义；函数 h 由一幅图像定义。主讲人展示了两种求 $f(h(2))$ 的方法：直接代数代入法和直观的流程图法。两种方法均正确得出结果 0。片段最后，主讲人提出了一个更复杂的复合函数 $g(f(f(2)))$ ，但未展示其解法。这段时长为 74 秒的白板讲解，完整演算了一个函数复合的具体例题：求 $h(g(f(2)))$ 的值。黑板同时呈现了三种函数表示方式：f 以公式 $f(x)=x^2-1$ 给出，g 以表格给出，h 以图像给出。主讲人指出这是一个“三重复合”，然后由内而外逐步求值：先算 $f(2)=3$ ，再查表得 $g(3)=4$ ，最后从图像中读出 $h(4)=-1$ 。最终写出并口述结果： $h(g(f(2)))=-1$ 。本片段的核心教学点是程序性方法：嵌套复合函数需逐层进行，将上一层的输出作为下一层的输入。

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章节

0:00定义函数的三种方式 0:30引入函数复合 1:00热身例题

f(g(2))

1:23从内到外的求值流程图 1:56查表计算

g(2)

2:10完成

f(-3)

的计算，得到结果8 2:30回顾：求

f(g(2))

的值 2:35新问题：求

f(h(2))

的值 2:50方法 1：代数代入法 3:45方法 2：流程图法 4:25展望：复合三个函数 5:00黑板布置及转入新例题的过渡 5:05引入三重复合

h(g(f(2)))

5:12求最内层函数

f(2)

的值 5:33从表格中读取

g(3)

的值 5:48从图像中读取

h(4)

的值并得出最终结论 6:08方法的总结收尾

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

黑板上并列展示了三种不同形式的函数定义：左侧是公式 $f(x)=x^2-1$ ；中间是一张含 $t$ 和 $g(t)$ 两列的表格，列出了 $(1,3)$ 、 $(2,-3)$ 、 $(3,4)$ 和 $(4,-1)$ ；右侧是一幅标有 $y=h(x)$ 的图像。讲解者利用这三者说明：函数既可由代数式给出，也可由表格给出，还可由图像给出。

讲解者一边指向图像，一边提取两个示例值： $h(3)=0$ 和 $h(1)=2$ 。这进一步说明图像同样定义了一种输入—输出规则：选取一个 $x$ 值，并读出对应的 $y$ 值。

课程随后转向函数复合。讲解者指出，函数复合是指用其他函数构造一个新函数，或把函数嵌套起来。其核心思想并非对数字施加一种新运算，而是一种新的求值次序：一个函数的输出成为另一个函数的输入。

作为热身，黑板上写出了表达式 $f(g(2))$ 。讲解者承认该记号初看可能令人望而生畏，随后将其还原为函数的基本定义——即从一个数到另一个数的映射。

绘制流程图以使过程具体化： $2 \to [g] \to g(2) \to [f] \to f(g(2))$ 。这一可视化序列展示了复合函数的由内而外法则：首先，输入2进入 $g$ ；其结果 $g(2)$ 再进入 $f$ 。

内层值由表格查得。由于对应 $t=2$ 的行中显示 $g(t)=-3$ ，说话者得出 $g(2)=-3$ 。这是在外层函数求值之前所需的关键中间结果。

现在应用外层函数。将 $-3$ 代入 $f(x)=x^2-1$ 得到 $f(-3)=(-3)^2-1$ 。板书上将算术运算化简为 $9-1=8$ ，因此该复合表达式的最终值为 $f(g(2))=8$ 。

我们来回顾一下如何计算复合函数 $f(g(2))$ 。首先，我们从表格中查得 $g(2)$ 等于 -3；接着，将该值代入 f，计算 $f(-3)$ ，即 (-3)^2 - 1，化简后得到 9 - 1，最终结果为 8。

现在，我们将同样的逻辑应用于一个新问题： $f(h(2))$ 的值是多少？在继续之前，建议你暂停视频，先自行尝试解答。

我们可以用代数方法求解。函数 f 定义为 $f(x) = x^2 - 1$ 。在表达式 $f(h(2))$ 中，整个项 $h(2)$ 充当输入 'x'。因此，我们将 $h(2)$ 代入公式，得到 ( $h(2)$ )^2 - 1。

为完成计算，我们需要 $h(2)$ 的值。观察 $y = h(x)$ 的图像，找到横坐标 $x = 2$ 对应的点，其纵坐标为 1，因此 $h(2) = 1$ 。

将该结果代回原表达式，得到 (1)^2 - 1，即 1 - 1，最终结果为 0。因此， $f(h(2)) = 0$ 。

我们也可以用流程图直观呈现这一过程：起始输入为 2；一条箭头指向内层函数 h 的方框； $h(2)$ 的输出是 1，因此我们在旁边写下 1。

接着，另一条箭头指向外层函数 f 的方框；我们现在计算 $f(1)$ ；利用 f 的公式，算出 $1^2 - 1$ ，结果为 0；这就是最终输出。

代数方法与流程图两种方式均证实 $f(h(2))$ 的值为 0；该图清晰表明：第一个函数的输出即为第二个函数的输入。

我们还可将此概念进一步拓展至三个函数的复合；考虑表达式 $g(f(f(2)))$ ：这意味着我们要由内而外依次计算——先算 $f(2)$ ，再将结果代入另一个 f，最后将第二次 f 的结果作为 g 的输入。

我们在此暂停，思考一下该如何着手求解 $g(f(f(2)))$ ？第一步应该是什么？

视频片段以一块黑板开场，黑板上已呈现三种函数表示形式：公式 $f(x)=x^2-1$ 、对应 $g(t)$ 的表格，以及标有 $y=h(x)$ 的图像。此前的复合函数示例仍保留在黑板上，因此观众能意识到本课重点在于函数的链式组合，而非孤立地研究某个函数。

教师引入一个新表达式 $h(g(f(2)))$ ，并称其为三重复合函数。从数学角度看，这意味着 $f$ 在 2 处的输出成为 $g$ 的输入，而该步骤的输出又成为 $h$ 的输入。

所采用的方法是从最内层开始。利用黑板上给出的 $f$ 的规则，教师计算出 $f(2)=2^2-1=4-1=3$ 。这一代入使原表达式简化为 $h(g(3))$ 。

接下来，中间层函数通过查表而非公式运算来处理。由于表格中显示 $t=3$ 所在行与其对应的值为 $g(t)=4$ ，教师由此得到 $g(3)=4$ 。此时复合表达式进一步简化为 $h(4)$ 。

对于最外层函数，教师回到 $h$ 的图像。从横坐标 $x=4$ 处垂直向上读至曲线，再水平向左（或右）读至 $y$ 轴，得到 $h(4)=-1$ 。因此，整个嵌套表达式的最终取值为 $h(g(f(2)))=-1$ 。

结尾点评将本例概括为一种通用程序：求复合函数的值时，先求最内层函数的输出，再将其结果作为下一层函数的输入，依此类推，由内而外逐层推进，直至获得唯一的数值结果。

知识卡片

函数的三种表示方式

该片段首先说明函数可通过多种方式定义：代数公式、输入-输出数对列表（表格），或图像。此处 $f$ 由规则给出， $g$ 由表格给出， $h$ 由其图像示意图给出。

f(x)=x^2-1

从图像中读取函数值

当函数以图像形式给出时，先在横轴上定位输入值，再从曲线上读取对应的输出值。说话者以 $h$ 的图像为例进行演示，并指出 $h(3)=0$ 和 $h(1)=2$ 。

复合函数的含义

复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。通俗地说，说话者将其描述为函数的嵌套，因此求复合表达式的值需由内而外逐步进行。

函数作为一种映射

为消除复合记号的神秘感，说话者提醒观众：函数本质上只是从一个数到另一个数的映射。因此 $f(g(2))$ 并不神秘：它不过是两个普通映射按顺序依次执行而已。

$f(g(2))$ 的由内而外求值

流程图 $2 \to [g] \to g(2) \to [f] \to f(g(2))$ 展示了运算的精确顺序：先计算内层值 $g(2)$ ，再将该结果代入外层函数 $f$ 。

2 \to [g] \to g(2) \to [f] \to f(g(2))

利用表格求 $g(2)$

由于 $g$ 由表格定义，值 $g(2)$ 通过查找满足 $t=2$ 的行来确定。对应的输出值为 $-3$ ，因此 $g(2)=-3$ 。

g(2)=-3

代入 $f(x) = x^2 - 1$

在得到内层值后，将其代入 $f$ 的表达式中。当 $g(2)=-3$ 时，外层计算变为 $f(-3)=(-3)^2-1$ ，化简后得 $9-1=8$ 。

f(-3)=(-3)^2-1=9-1=8

最终的复合结果

将各步骤整合，本例表明该复合表达式的值为8。这是本视频片段的核心演算结果。

f(g(2))=8

复合函数的求值

求复合函数（例如 $f(g(x))$ ）的值时，要从内到外依次计算：先求出内层函数 $g(x)$ 的值，再将该结果作为外层函数 f 的新输入。无论函数是用公式、表格还是图像定义的，这一方法均适用。

f(g(x))

从函数表中读取函数值

当函数由表格定义（例如 $g(t)$ ）时，可通过查找第一列中的输入值，并在第二列中读取对应的输出值来确定函数值。例如，要求 $g(2)$ ，需在“t”列中找到“2”，并查看“ $g(t)$ ”列中对应的值为“-3”。

从函数图像中读取函数值

当函数由图像定义（例如 $y=h(x)$ ）时，可通过在横轴（x 轴）上定位输入值，垂直移动至图像，再水平移动至纵轴（y 轴）读取输出值来确定函数值。例如，要求 $h(2)$ ，需先定位 $x=2$ ，向上移动至图像，观察对应 y 值为1，因此 $h(2)=1$ 。

复合函数的流程图法

流程图是一种用于求复合函数值的可视化工具：从初始输入值出发，画箭头指向代表第一个（最内层）函数的方框，写出该函数的输出值；再画箭头指向下一个函数的方框，依此类推。该方法清晰展示了从原始输入到最终输出的一系列变换过程。

三重复合是指将三个函数逐层嵌套

表达式 $h(g(f(2)))$ 是三个函数的复合。求值过程遵循由内而外的顺序：先计算 $f(2)$ ，再将该结果作为 $g$ 的输入，最后将 $g$ 的结果作为 $h$ 的输入。

h(g(f(2)))

从最内层函数开始

当复合表达式包含多个嵌套函数时，本片段所演示的方法是优先求最内层函数的值。在此例中，即先计算 $f(2)$ ，再处理 $g$ 或 $h$ 。

f(2)=2^2-1=3

利用表格求函数值

若函数由表格定义，则找到输入值等于所求自变量的那一行，并读取对应的输出值。此处， $g$ 的表格给出 $g(3)=4$ ，因为输入为 $t=3$ 的那一行输出为4。

g(3)=4

利用图像求函数值

若函数由图像定义，则在横轴上找到输入值，并读取该处图像的 $y$ 纵坐标值。在视频片段中， $x$ 的图像显示 $h$ shows that $h(4)=-1$ 。

h(4)=-1

已演算复合函数的最终结果

通过依次代入 $f(2)=3$ 、 $g(3)=4$ 和 $h(4)=-1$ ，原三重复合函数化简为一个数： $h(g(f(2)))=-1$ 。

h(g(f(2)))=-1

常见错误：求值顺序错误

学习者可能误从嵌套表达式中最左侧的函数符号开始计算。视频片段展示的是相反规则：对于 $h(g(f(2)))$ ，正确顺序是先最内层，再中间层，最后最外层。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 18

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板左上方显示 $f(x) = x^2 - 1$ 。
声音
观察依据
主讲人称此为三种不同函数定义方式之一。

符号

$f(x)$

含义

一个由如下规则定义的函数：将输入值平方，然后减去1。

适用范围

视频未明确说明定义域；示例中计算了 f 在 -3 处的函数值。

$g(t)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了一个包含 t 和 $g(t)$ 两列的表格。
声音
观察依据
主讲人称该表格建立了 t 的取值与对应 $g(t)$ 值之间的映射关系。

符号

$g(t)$

含义

根据所展示表格，当输入为 t 时，函数 g 的输出值。

适用范围

所展示表格明确列出了输入值 $t = 1$ 、2、3、4。

$h(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板右侧展示了一张标有 $y = h(x)$ 的图像。
声音
观察依据
主讲人称该图像表示从 x 到 $h(x)$ 的映射。

符号

$h(x)$

含义

根据图像读出的、当输入为 x 时函数 h 的输出值。

适用范围

可见图像的横坐标范围约为 $x = -4$ 到 $x = 4$ 。

$f(g(2))$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表达式 $f(g(2))$ 被写在黑板上。
声音
观察依据
主讲人将其作为函数复合的热身示例引入。

符号

$f(g(2))$

含义

先计算 g 在 2 处的值，再将该结果作为输入代入 f。

适用范围

此处有定义，因为 $g(2)$ 在表格中列出，且 f 可接受该输出值。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
x 出现在 $f(x)$ 和 $h(x)$ 中。
声音
观察依据
主讲人将 x 用作 f 和 h 的输入变量。

符号

含义

本片段中函数 f 和 h 的输入变量。

适用范围

除所展示的示例外，未明确说明其他定义域。

t

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
t 作为首列标题出现在 $g(t)$ 的表格中。
声音
观察依据
主讲人称该表格刻画了不同 t 值与对应 $g(t)$ 值之间的映射关系。

符号

含义

所展示表格中函数 g 的输入变量。

适用范围

明确列出的值为 1、2、3、4。

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $f(x) = x^2 - 1$ 。

符号

$f(x)$

含义

一个将输入值平方后再减去1所定义的函数。

适用范围

全体实数（由多项式表达式隐含）。

$g(t)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
展示了一个具有 t 和 $g(t)$ 两列的表格，列出如下数对：(1, 3)、(2, -3)、(3, 4)、(4, -1)。

符号

$g(t)$

含义

一个由离散数值表所定义的函数。

适用范围

根据可见表格得出的集合 {1, 2, 3, 4}。

$h(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
展示了一张标有 $y = h(x)$ 的图像；讲解者从中读出 $h(2) = 1$ 。

符号

$h(x)$

含义

一个由其图像所定义的函数。

适用范围

该图像可见的 x 取值范围，约为 [-4, 4]。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在 $f(x) = x^2 - 1$ 中用作自变量，并作为 $h(x)$ 图像的横轴标签。

符号

含义

函数的自变量或输入值。

t

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
用作定义 $g(t)$ 的表格中第一列的表头。

符号

含义

表格中函数 g 的自变量或输入值。

f

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $f(x) = x^2 - 1$ 。
声音
观察依据
主讲人通过代入该公式来计算 $f(2)$ 。

符号

含义

黑板上按规则 $f(x) = x^2 - 1$ 定义的函数。

适用范围

视频未明确说明定义域；在所展示的例题中，该函数在 $x = 2$ 处被使用。

知识点 · 14

函数可通过公式、表格或图像来定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出存在三种不同的函数定义方式，并逐一描述每种表示方法。
公式
观察依据
黑板上同时展示了 $f(x)=x^2-1$ 、 $g(t)$ 的表格，以及 $y=h(x)$ 的图像。

定义

解释

该片段呈现了指定函数的三种等价方式：f 的代数规则、g 的有限输入-输出表格，以及 h 的图像。主讲人将这三种方式均视为从输入到输出的映射。

公式

适用条件

每种表示方法都必须为输入赋予对应的输出。

函数作为映射

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：‘函数只是从一个数集到另一个数集的映射。’

定义

解释

在计算复合表达式之前，主讲人重申了函数的基本思想：函数依据其规则，接收一个输入数值并产生一个输出数值。

公式

适用条件

必须存在一个输入值，以及一个确定输出的规则或表示方法。

函数复合的含义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将函数的复合引入为：通过将一个函数嵌套于另一个函数之中，从而构建新函数。

定义

解释

复合意味着将一个函数的输出用作另一个函数的输入。主讲人将此表述为将函数彼此嵌套。

公式

适用条件

内层函数必须产生一个能作为外层函数输入的值。

先修条目

函数作为映射

在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明 $g(2)$ 会得到一个输出，然后将该输出作为输入代入 f，从而得到 $f(g(2))$ 。
动画
观察依据
绘制了一个流程图：2 -> [g] -> $g(2)$ -> [f] -> $f(g(2))$ 。

方法

解释

要计算 $f(g(2))$ ，首先求出内层值 $g(2)$ ，再将该结果代入外层函数 f。直观的流程图明确展示了运算顺序。

公式

f(g(2))

适用条件

$g(2)$ 必须有定义。
$g(2)$ 的值必须属于 f 的定义域，复合函数才能被计算。

先修条目

函数复合的含义
函数作为映射

从表格中读取函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表格列出了 t 的取值 1、2、3、4，对应的 $g(t)$ 值分别为 3、-3、4、-1。
声音
观察依据
讲解者说当 t 等于 2 时， $g(2)$ 等于负 3。

方法

解释

对于由表格定义的函数，需找到输入所在的行，并读取对应的输出值。此处 $t = 2$ 对应 $g(t) = -3$ ，因此 $g(2) = -3$ 。

公式

g(2) = -3

适用条件

所要求的输入必须出现在表格中。

先修条目

函数可通过公式、表格或图像来定义。

将一个数值代入 $f(x) = x^2 - 1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将 -3 代入 f，并计算 (-3)^ $2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。
公式
观察依据
黑板上显示 $f(g(2)) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。

方法

解释

一旦内层值已知，就用该值替换 f 的表达式中的 x。由于 $g(2) = -3$ ，外层计算变为 $f(-3) = (-3)^2 - 1$ 。

公式

f(-3) = (-3)^2 - 1

适用条件

所代入的值必须是 f 的有效输入。

先修条目

函数可通过公式、表格或图像来定义。
在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。

从图像中读取函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人从图像中举出例子：当 $x = 3$ 时， $h(x) = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $h(x) = 2$ 。
图示
观察依据
标有 $y = h(x)$ 的图像可见于黑板右侧。

待核验内容

本片段中未写出 $h(x)$ 的完整分段函数表达式。

方法

解释

对于由图像定义的函数，需在横轴上找到输入值，再从绘制的曲线上读出对应的输出值。主讲人以 $h(3) = 0$ 和 $h(1) = 2$ 为例进行了演示。

公式

适用条件

该图像必须对每个所考虑的输入都定义唯一的输出。

先修条目

函数可通过公式、表格或图像来定义。

复合函数的求值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明如何通过先计算内层函数，再将所得结果作为外层函数的输入，来求 $f(g(2))$ 和 $f(h(2))$ 的值。
公式
观察依据
黑板上展示了分步计算过程： $f(g(2)) = f(-3) = (-3)^2 - 1 = 8$ ，且 $f(h(2)) = (h(2))^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$ 。

方法

解释

要计算形如 $f(g(x))$ 的复合函数，需先求出内层函数 $g(x)$ 的值，再将该结果作为外层函数 f 的新输入。这一过程可推广至三个或更多函数的复合，始终从最内层函数开始，逐层向外进行。

公式

f(g(x))

适用条件

内层函数的输出值必须属于外层函数的定义域。

先修条目

$f(x)$
$g(t)$
$h(x)$

函数复合的流程图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
讲解者画出一个流程图：2 -> [h] -> 1 -> [f] -> 0，用以表示 $f(h(2))$ 的求值过程。
声音
观察依据
讲解者说：‘我们本可以用流程图的方式来做……我们将 2 输入到 h 中……得到 1……然后再将该结果输入到 f 中……’

方法

解释

一种直观理解函数复合的方法。你从初始输入值出发，画箭头指向代表第一个（最内层）函数的方框，写出该函数的输出值，再画箭头指向下一个函数的方框，依此类推，直至得到最终输出。这清晰地展现了运算的先后顺序。

先修条目

复合函数的求值

函数的三重复合

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入 $h(g(f(2)))$ 并说：‘那么现在我们真正是在做三重复合了。’
公式
观察依据
黑板上显示嵌套表达式 $h(g(f(2)))$ 。

定义

解释

本片段将任务定义为求一个嵌套复合函数的值，其中前一个函数的输出作为下一个函数的输入。此处三个函数依次连接：先计算 f，其结果作为 g 的输入，g 的结果再作为 h 的输入。

公式

h(g(f(2)))

适用条件

每个中间输出值都必须落在下一个函数的定义域内。
求值过程从最内层函数开始，逐层向外进行。

先求最内层函数的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说一种方法是先计算 $f(2)$ ，然后计算 2 的平方减去 1，得到 3。
公式
观察依据
黑板上显示 $f(2) = 3$ ，写在 $h(g(f(2)))$ 的内层部分上方。

方法

解释

对于像 $h(g(f(2)))$ 这样的嵌套表达式，所演示的方法是：从最内层函数 $f(2)$ 开始，将其替换为其数值，再逐层向外进行。这样可逐步简化复合函数，而非试图一次性化简整个表达式。

公式

f(2)=2^2-1=3

适用条件

必须已知内层函数的函数规则或表示形式。

先修条目

函数的三重复合

从表格中读取函数值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者提问：“那么 $g(3)$ 是多少？”并回答：当 t 等于 3 时， $g(3)$ 等于 4。
公式
观察依据
黑板上的表格列出了 t 的取值 1、2、3、4，对应 $g(t)$ 的值分别为 3、-3、4、-1。

方法

解释

当函数以表格形式给出时， $g(3)$ 的值可通过查找输入列 t 等于 3 的行，并读取 $g(t)$ 列中对应的输出值得到。本片段利用此方法，在复合函数中将 $g(3)$ 替换为 4。

公式

g(3)=4

适用条件

所要求的输入值必须出现在表格所列的输入值之中。

先修条目

先求最内层函数的值。

定理与条件 · 3

复合运算即嵌套

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，函数复合是指通过将一个函数作为另一个函数的输入来构建新函数，即函数的嵌套。

命题

函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而构建一个新的求值过程。

前提

有两个或更多函数可供求值。

量词

本课中关于复合运算含义的非形式化普遍陈述。

由表格查得的 $g(2)$ 的值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
当 $t = 2$ 时，表格中对应的 $g(t)$ 值为 -3。
声音
观察依据
说话者称 $g(2)$ 等于负 3。

命题

由所展示的表格可知， $g(2) = -3$ 。

前提

该表格定义了 $t = 2$ 处的 g 函数值。

量词

具体实例。

复合表达式的最终值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $f(g(2)) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。
声音
观察依据
说话者得出结论：该式等于 8。

命题

利用给定的 f 和 g 的定义， $f(g(2)) = 8$ 。

前提

$f(x) = x$ 的 2 次方减去 1。
由表格可知， $g(2) = -3$ 。

量词

具体实例。

推导与证明 · 5

$f(g(2))$ 的分步推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人从内层函数到外层函数，口头逐步讲解复合过程。
动画
观察依据
绘制流程图：2输入 g，得到 $g(2)$ ，再将该结果输入 f，得到 $f(g(2))$ 。
公式
观察依据
最终的书面计算为 $f(g(2)) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。

严格证明

步骤

公式
$f(g(2))$
解释
从黑板上引入的复合表达式开始。
步骤依据
这是主讲人为演示函数复合所选取的例子。
视频直接表达
公式
$2 \to [g] \to g(2)$
解释
首先求内层函数：将输入 2 代入 g。
步骤依据
根据复合函数的定义，内层函数的输出值成为外层函数的输入值。
视频直接表达
公式
$g(2) = -3$
解释
从表格中读取输入为2时函数g的值。
步骤依据
表格明确将 $t = 2$ 与 $g(t) = -3$ 配对。
视频直接表达
公式
$f(g(2)) = f(-3)$
解释
将计算得到的内层函数值代入外层函数。
步骤依据
由于 $g(2) = -3$ ，外层函数接收-3作为其输入。
依据视频推导
公式
$f(-3) = (-3)^2 - 1$
解释
将规则应用于输入-3来计算函数f的值。
步骤依据
函数f由 $f(x) = x^2 - 1$ 定义。
视频直接表达
公式
$(-3)^2 - 1 = 9 - 1$
解释
对-3进行平方运算。
步骤依据
对幂运算进行算术求值。
视频直接表达
公式
$9 - 1 = 8$
解释
减去1。
步骤依据
进行算术化简。
视频直接表达

结论

因此， $f(g(2)) = 8$ 。

$f(g(2))$ 的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了计算过程： $f(g(2)) = 8$ 。
声音
观察依据
讲解者指出：‘ $f(g(2))$ 等于 8。’

数值验证

步骤

公式
$g(2)$
解释
首先确定需要先计算的内层函数。
步骤依据
函数复合运算的运算顺序。
视频直接表达
公式
$-3$
解释
从给定的表格中找出 $g(2)$ 的值。
步骤依据
从由表格定义的函数中读取函数值。
视频直接表达
公式
$f(-3)$
解释
将上一步得到的结果作为输入，代入外层函数 f 中。
步骤依据
复合函数 $f(g(x))$ 的定义。
视频直接表达
公式
$(-3)^2 - 1$
解释
对函数 $f(x) = x^2 - 1$ 应用规则，其中 $x = -3$ 。
步骤依据
将数值代入函数的表达式。
视频直接表达
公式
$9 - 1 = 8$
解释
执行算术运算。
步骤依据
标准算术运算。
视频直接表达

结论

f 与 g 在 2 处的复合函数值等于 8

$f(h(2))$ 的代数推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了代数运算步骤： $f(h(2)) = (h(2))^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$ 。
声音
观察依据
主讲人解释道：‘输入是 $h(2)$ ……我们将以 $h(2)$ 作为输入，对其平方，然后再减去 1……那么 $h(2)$ 的值是多少呢？当 x 等于 2 时， $h(2)$ 等于 1。因此，由于 $h(2)$ 等于 1，该式简化为 1 的平方减去 1，也就是 1 减去 1，结果等于 0。’

数值验证

步骤

公式
$f(h(2))$
解释
从复合函数表达式出发。
步骤依据
题目陈述。
视频直接表达
公式
$(h(2))^2 - 1$
解释
应用 $f(x) = x^2 - 1$ 的定义，其中自变量 x 被整体替换为 $h(2)$ 。
步骤依据
将表达式代入函数的公式中。
视频直接表达
公式
$h(2) = 1$
解释
通过读取函数 $y = h(x)$ 的图像上点 (2) by reading the point (2) 来确定内层函数 $h(1)$ 的值。
步骤依据
从函数图像中读取函数值。
视频直接表达
公式
$(1)^2 - 1$
解释
将 $h(2) = 1$ 代入第 2 步所得的表达式中。
步骤依据
代入。
视频直接表达
公式
$1 - 1 = 0$
解释
进行最终的算术计算。
步骤依据
标准算术运算。
视频直接表达

结论

f 在 $h(2)$ 处的函数值等于 0

$f(h(2))$ 的图示推导。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
主讲人绘制流程图：2 -> [h] -> 1 -> [f] -> 0。
声音
观察依据
主讲人叙述该过程：‘将2输入函数 h……得到1……接着将该结果输入函数 f……从而得到 $f(1)$ 。 $f(1)$ 等于1的平方减去1，即0。’

视觉说明

步骤

公式
$2 \rightarrow [h]$
解释
从初始输入2出发，先应用最内层函数 h。
步骤依据
复合函数的流程图法。
视频直接表达
公式
$\rightarrow 1$
解释
$h(2)$ 的输出为1，该值由图像读出。
步骤依据
从图像中读取数值。
视频直接表达
公式
$\rightarrow [f]$
解释
将输出1作为下一个函数 f 的输入。
步骤依据
复合函数的流程图法。
视频直接表达
公式
$\rightarrow 0$
解释
使用公式 $f(x) = x^1$ ) using the formula $f(x) = x^2$ , 计算 $f(1)$ ，得到 $1^2 - 1 = 0$ .
步骤依据
代入与算术运算。
视频直接表达

结论

复合函数 $f(h(2))$ 的最终输出结果是 0。

$h(g(f(2)))$ 的分步求值过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人依次计算 $f(2)$ 、 $g(3)$ 、 $h(4)$ ，并指出最终结果为 -1。
公式
观察依据
黑板依次在 $h(g(f(2)))$ 上标注 3 在 $f(2)$ 上方，4 在 $g(3)$ 下方，最后写上 = -1。
图示
观察依据
确定 $h(4)$ 时参考了函数 h 的图像。

数值验证

步骤

公式
$h(g(f(2)))$
解释
从主讲人引入的三重复合函数的完整嵌套表达式开始。
步骤依据
这是写在黑板上的题目陈述。
视频直接表达
公式
$f(2)=2^2-1=3$
解释
首先使用函数 f 的规则计算最内层函数。
步骤依据
代入所展示的公式 $f(x)=x^2-1$ 。
视频直接表达
公式
$h(g(3))$
解释
在复合函数中，将 $f(2)$ 替换为 3。
步骤依据
将已算出的值等价代入外层表达式。
依据视频推导
公式
$g(3)=4$
解释
从 g 的表格中读取下一个函数值。
步骤依据
表格中 $t=3$ 对应的表项为 $g(t)=4$ 。
视频直接表达
公式
$h(4)$
解释
将 $g(3)$ 替换为 4，此时仅剩最外层函数待求值。
步骤依据
将表格中的值等价代入剩余的复合函数。
依据视频推导
公式
$h(4)=-1$
解释
从函数 h 的图像上读取 $x=4$ 处的最终函数值。
步骤依据
图像中横坐标为 4 的点，其纵坐标为 -1。
视频直接表达
公式
$h(g(f(2)))=-1$
解释
得出原三重复合函数的值。
步骤依据
将前面的代入步骤依次连接，得到最终的数值结果。
依据视频推导

结论

复合值 $h(g(f(2)))$ 等于 -1。

例题详解 · 5

热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称此为热身练习，并提问 $f(g(2))$ 的结果是什么。
公式
观察依据
黑板上显示 $f(x) = x^2 - 1$ ， $g(t)$ 的函数表，以及已算出的结果 $f(g(2)) = 8$ 。

题目

已知 $f(x) = x^2 - 1$ ，且 $g(t)$ 由表格定义，求复合表达式 $f(g(2))$ 的值。

已知条件

$f(x) = x$ 的 2 次方减去 1。
$g(t)$ 的表格中包含一行： $t = 2$ ， $g(t) = -3$ 。

目标

计算 $f(g(2))$ 的数值。

步骤

公式
$g(2) = -3$
解释
首先从表格中找出内层函数的值。
步骤依据
复合函数要求先计算内层函数，再代入外层函数。
视频直接表达
公式
$f(g(2)) = f(-3)$
解释
将 $g(2)$ 替换为 -3，代入 f 中。
步骤依据
将先前算得的内层函数输出代入。
依据视频推导
公式
$f(-3) = (-3)^2 - 1$
解释
将 -3 作为输入，代入 f 的表达式中。
步骤依据
直接应用函数 $f(x) = x^2 - 1$ 。
视频直接表达
公式
$(-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
解释
化简算术运算，得到最终结果。
步骤依据
标准的算术求值。
视频直接表达

结果

对应的式子为：8

检验

结果与黑板上最后一行所写的式子一致： $f(g(2)) = 8$ 。

从函数 h 的图像中读取样本数值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出：当 $x = 3$ 时， $h(x) = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $h(x) = 2$ 。
图示
观察依据
右侧显示一张标注为 $y = h(x)$ 的图像。

待核验内容

仅讨论了部分点；本片段未完整转录基于该图像的函数 h 的全部规则。

题目

利用 $y = h(x)$ 的图像识别若干输出值。

已知条件

显示一张标注为 $y = h(x)$ 的图像。

目标

从图像中提取函数的示例取值。

步骤

公式
$h(3) = 0$
解释
当 $x = 3$ 时，图像给出的输出为 0。
步骤依据
主讲人明确指出该点来自图像。
视频直接表达
公式
$h(1) = 2$
解释
当 $x = 1$ 时，图像给出的输出为 2。
步骤依据
主讲人明确指出该点来自图像。
视频直接表达

结果

示例数值包括 $h(3) = 0$ 和 $h(1) = 2$ 。

检验

这些数值在图像显示期间被主讲人直接读出。

示例：求 $f(g(2))$ 的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
题目 $f(g(2))$ 写在黑板上，并附有其解题步骤和最终答案 8。

题目

求复合函数 $f(g(2))$ 的值。

已知条件

$f(x) = x$ 的 2 次方减去 1
函数 $g(t)$ 的表格： $g(1)=3$ ， $g(2)=-3$ ， $g(3)=4$ ， $g(4)=-1$

目标

求 $f(g(2))$ 的数值。

步骤

公式
$g(2) = -3$
解释
在所给表格中查出 $g(2)$ 的值。
步骤依据
用表格定义的函数 g。
视频直接表达
公式
$f(g(2)) = f(-3)$
解释
将 $g(2)$ 的值代入外层函数 f 中。
步骤依据
求复合函数值的方法。
视频直接表达
公式
$f(-3) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
解释
将 $x = -3$ 代入 $f(x)$ 的公式并计算结果。
步骤依据
代入与算术运算。
视频直接表达

结果

对应的式子为：8

检验

计算过程在黑板上分步展示，并与讲解者的口述一致。

例题：计算 $f(h(2))$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
题目 $f(h(2))$ 在黑板上被写出，并用两种不同方法求解。
图示
观察依据
利用函数 $h(x)$ 的图像求出 $h(2)$ ，并绘制流程图以说明第二种方法。

题目

求复合函数 $f(h(2))$ 的值。

已知条件

$f(x) = x$ 的 2 次方减去 1
函数 $y = h(x)$ 的图像，从中可读出 $h(2)$ 的值。

目标

求 $f(h(2))$ 的数值。

步骤

公式
$h(2) = 1$
解释
在 $h(x)$ 的图像上找到 $x = 2$ 对应的点，并读出其纵坐标值，即为 1。
步骤依据
从图像中读取函数值。
视频直接表达
公式
$f(h(2)) = f(1)$
解释
将 $h(2)$ 的值代入外层函数 f。
步骤依据
求复合函数值的方法。
视频直接表达
公式
$f(1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
解释
将 $x = 1$ 代入 $f(x)$ 的表达式并计算结果。
步骤依据
代入与算术运算。
视频直接表达

结果

对应的式子为：0

检验

该结果通过黑板上展示的两种不同方法得到验证：直接代数代入法和直观的流程图法。

例题：求 $h(g(f(2)))$ 的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者‘纯属好玩’地提出 $h(g(f(2)))$ ，并完整演算出来。
公式
观察依据
黑板上展示了该表达式以及中间代入结果：3、4和最终结果 -1。
图示
观察依据
最后一步使用了函数 h 的图像。

题目

已知 $f(x) = x^2 - 1$ ，g 的函数表，以及 h 的图像，求三重复合函数 $h(g(f(2)))$ 的值。

已知条件

$f(x)$ 等于 x 的2次方减去1
g 的函数表中包含 $g(3) = 4$ 。
h 的图像给出 $h(4) = -1$ 。

目标

求 $h(g(f(2)))$ 的数值。

步骤

公式
$f(2)=2^2-1=3$
解释
先计算最内层的值。
步骤依据
将数值直接代入函数 f 的表达式中。
视频直接表达
公式
$g(3)=4$
解释
将结果3作为输入代入函数 g，并查表获取对应值。
步骤依据
在 $t = 3$ 处查表。
视频直接表达
公式
$h(4)=-1$
解释
将结果4作为输入代入函数 h，并从图像中读取对应值。
步骤依据
在 $x = 4$ 处进行图像求值。
视频直接表达
公式
$h(g(f(2)))=-1$
解释
合并连续的代入步骤，得到最终答案。
步骤依据
复合函数的求值顺序是从内到外。
依据视频推导

结果

对应的式子为：−1

检验

最终板书标注与口述结论一致： $h(g(f(2)))$ 的值为负1。

图示与动画 · 8

三种函数表示法并列展示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板分为三个区域：左上方为函数 f 的表达式，中部附近为函数 g 的表格，右侧为函数 h 的图像。
声音
观察依据
主讲人指出，这是三种不同的函数定义方式。

图中对象

表达式 $f(x) = x^2 - 1$
表格包含 t 和 $g(t)$ 两列
标有 $y = h(x)$ 的图像

变化过程

光标随讲解在三种表示法之间移动。

不变量

三个对象始终同时可见，分别作为函数定义的独立示例。

数学含义

视觉布局表明：函数既可通过代数式、也可通过表格或图像来定义。

复合函数求值的流程图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
绘制一条链：2 -> [g] -> $g(2)$ -> [f] -> $f(g(2))$ 。
声音
观察依据
讲解者叙述将2输入函数 g，得到 $g(2)$ ，再将该结果输入函数 f。

图中对象

输入2
标注为 g 的方框
中间输出 $g(2)$
标注为 f 的方框
最终输出 $f(g(2))$

变化过程

该图从左向右构建，体现求值顺序。

不变量

箭头的方向始终从输入指向输出。

数学含义

动画体现了复合函数从内到外求值的规则。

该例题的手写算术演算过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $f(g(2)) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ 。

图中对象

复合表达式
代入的值 -3
中间算术步骤 9 - 1
最终答案 8

变化过程

该表达式被逐步化简，直至出现最终的数值结果。

不变量

在整个化简过程中，外层函数始终为 f，内层值始终为 -3。

数学含义

视觉序列验证了该复合函数示例的计算结果。

$g(t)$ 的表格定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
显示一个绿色表格，表头为“t”和“ $g(t)$ ”，包含四组输入-输出对应关系。

图中对象

列标题为 t 和 $g(t)$ 的表格

不变量

表格中的数值在整个视频片段中保持不变。

数学含义

该表格以离散方式定义了函数 g。对于第一列中给定的 t，可通过查阅第二列中对应的值来求得 $g(t)$ 。

$h(x)$ 的图像定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
坐标平面上显示了一条黄色的分段线性函数图像，标记为 $y = h(x)$ 。

图中对象

坐标平面
$y = h(x)$ 的图像

不变量

图像的形状与关键点保持不变。

数学含义

该图像为函数 h 提供了一个连续的定义。要求给定 x 对应的 $h(x)$ ，需先在横轴上找到 x，再垂直向上（或向下）移动至图像，最后水平移动至纵轴，读出对应的 y 值。例如，点 (2, 1) 在图像上，因此 $h(2) = 1$ 。

$f(h(2))$ 的动画流程图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
主讲人逐步绘制一个流程图：'2'，一个箭头，一个标有 'h' 的方框，一个箭头，'1'，一个箭头，一个标有 'f' 的方框，一个箭头，最后是 '0'。

图中对象

数字 2、1、0
标有 'h' 和 'f' 的方框
连接它们的箭头

变化过程

该流程图按照主讲人讲解求值过程的顺序，从左到右依次构建。

数学含义

本动画直观展示了函数复合运算的运算顺序：初始输入2先经函数h处理，得到1；该中间结果1再经函数f处理，得到最终输出0。

固定板书布局，呈现多种函数表示形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕上并排显示三种表示形式：公式 $f(x) = x^2 - 1$ 、函数 $g(t)$ 的表格，以及标有 $y = h(x)$ 的图像。
公式
观察依据
其下方列出了此前的复合示例，包括 $f(g(2)) = 8$ 和 $f(h(2)) = 0$ ，还配有流程风格的箭头图，展示输入依次经过标有 g、f 和 h 的方框。

图中对象

f 的表达式
g 的表格
h 的图像
先前的复合函数示例
箭头式求值图示

变化过程

新表达式 $h(g(f(2)))$ 写在先前示例的下方。
在嵌套表达式周围添加中间值 3 和 4。
最终等式 = -1 被追加。

不变量

f、g 和 h 的定义在整个片段中始终可见。
先前的示例保留在黑板上作为背景，同时逐步求解新示例。

数学含义

该视觉布局通过将每个函数以不同表示形式（公式、表格、图像）呈现，支持本课教学，使学习者认识到复合运算可整合基于公式的函数、基于表格的函数和基于图像的函数。

复合表达式的分步注释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
随着讲解者讲述，黑板上添加 3 在 $f(2)$ 上方，然后 4 在 $g(3)$ 下方，最后写上 = -1 表示整个表达式。
公式
观察依据
嵌套表达式 $h(g(f(2)))$ 始终可见，同时注释逐步累积。

图中对象

表达式 $h(g(f(2)))$
数字 3
数字 4
最终结果 -1

变化过程

首先，内层值 $f(2)$ 在概念上被替换为 3。
接着，中层值 $g(3)$ 被替换为 4。
最后，外层值 $h(4)$ 被替换为 -1。

不变量

嵌套顺序 $h(g(f(2)))$ 不发生变化。
每条注释对应一层函数被求解。

数学含义

动画直观地呈现了嵌套函数的由内而外求值过程。

易错点 · 2

复合函数的记号看起来可能令人望而生畏

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若不熟悉这种记号，初看可能令人望而生畏，但应牢记函数的定义。

误区

学生可能误以为 $f(g(2))$ 是一种全新的数学对象，而非普通的、按顺序进行的函数求值。

说明

该片段明确指出： $f(g(2))$ 的含义仍是——先对 2 应用 g，再将所得结果作为输入代入 f。

切勿从左到右求解复合函数。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确从‘ $f(2)$ 是多少’开始，再转向 g，最后转向 h。
公式
观察依据
黑板上先求解最内层的项，之后才依次求解外层各项。

误区

学习者可能试图从 $h(g(f(2)))$ 中最左侧的符号 h 开始，并将整个表达式误认为应优先处理最外层函数。

说明

该片段演示了复合函数是由内而外求值的：先计算 $f(2)$ ，再将该结果作为 g 的输入，最后才对 h 进行运算。

概念关系 · 10

函数作为映射 → 在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者首先回顾函数是一种映射，再以此概念为基础解释 $f(g(2))$ 。

先修

解释

本片段中对复合函数的理解，依赖于将每个函数都视为一种输入—输出的映射。

从表格中读取函数值 → 热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在例题演算中，直接使用 $g(t)$ 的表格得出 $g(2) = -3$ 。

应用

解释

读取表格的方法被用于计算复合示例中的内层函数值。

将一个数值代入 $f(x) = x^2 - 1$ → 热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
利用规则 $f(x) = x^2 - 1$ 在例题中计算 $f(-3)$ 。

应用

解释

代数代入法被用于完成整个复合函数的求值过程。

函数可通过公式、表格或图像来定义。 → 从图像中读取函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板上并列呈现了一个公式、一张表格和一幅图像，作为函数的三种定义方式。

包含

解释

从图像中读取函数值，是‘函数可用多种表示方式定义’这一更广泛思想的一个具体实例。

复合函数的求值 → $g(t)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将函数g的表格与函数h的图像作为输入，代入代数形式定义的函数f中。

应用

解释

复合函数求值方法在此应用于以不同方式定义的函数（代数表达式、表格和图像）。

复合函数的求值 → $h(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将函数g的表格与函数h的图像作为输入，代入代数形式定义的函数f中。

应用

解释

复合函数求值方法在此应用于以不同方式定义的函数（代数表达式、表格和图像）。

函数复合的流程图 → 复合函数的求值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入流程图作为一种替代方法（即“图示法”），用于执行与代数方法相同的求值过程。

等价

解释

流程图法是一种视觉化表示方式，它在复合函数求值上等价于标准的代数方法。

函数的三重复合 → 先求最内层函数的值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
该例题在一个计算过程中综合运用了 f 的公式、g 的表格以及 h 的图像。
声音
观察依据
讲解者在求解 $h(g(f(2)))$ 的过程中，在这三种表示形式之间切换。

应用

解释

函数复合的一般概念，通过具体的由内而外求值过程得以体现。

从表格中读取函数值。 → 从图像中读取函数值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在算出 $f(2)$ 后，才查阅 g 的表格。
图示
观察依据
在算出 $g(3)$ 后，才查阅 h 的图像。

先修

解释

在此道例题中，必须先得到 $g(3)=4$ ，才能借助图像求出 $h(4)$ 。

三重复合函数的最终数值 → 先求最内层函数的值。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
黑板上依次累积代入：3，然后是4，最后得出等式——1。

证明依赖

解释

最终的数值结论依赖于先前由内而外的求值步骤。

问题定位 · 13

函数复合是什么意思？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确引入了函数复合的概念。

涉及知识点

函数复合的含义

如何逐步计算像 $f(g(2))$ 这样的复合表达式？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上的例题计算了 $f(g(2))$ 。

涉及知识点

在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。
热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

当函数以表格形式给出时，如何求它的函数值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
利用 $g(t)$ 的表格来求出 $g(2)$ 。

涉及知识点

从表格中读取函数值

如何从 $y = h(x)$ 的图像中读取函数值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者从图像中读出 $h(3)=0$ 和 $h(1)=2$ 。

涉及知识点

从图像中读取函数值

我该如何求形如 $f(g(x))$ 的复合函数的值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
整段视频演示了如何求形如 $f(g(2))$ 和 $f(h(2))$ 的复合函数的值。

涉及知识点

复合函数的求值
示例：求 $f(g(2))$ 的值。
例题：计算 $f(h(2))$

我该如何从表格中求函数的值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
由表格读出 $g(2) = -3$ 。

涉及知识点

$g(t)$
$g(t)$ 的表格定义
示例：求 $f(g(2))$ 的值。

如何从函数的图像上求出函数值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
由图像读出 $h(2) = 1$ 。

涉及知识点

$h(x)$
$h(x)$ 的图像定义
例题：计算 $f(h(2))$

函数复合的流程图方法是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
绘制流程图来解释 $f(h(2))$ 的求值过程。

涉及知识点

函数复合的流程图
$f(h(2))$ 的动画流程图

在 $h(g(f(2)))$ 中，三重复合运算是什么意思？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“现在我们实际上是在进行三重复合运算。”

涉及知识点

函数的三重复合

在这个例子中，为什么我们要先计算 $f(2)$ ，再计算 g 和 h？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先提问： $f(2)$ 是多少？

涉及知识点

先求最内层函数的值。

当函数 g 以表格形式给出时，如何求 $g(3)$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人查表读出 $g(3) = 4$ 。

涉及知识点

从表格中读取函数值。

如何从函数 h 的图像中确定 $h(4)$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提示回看原始图像，并从图中读出 $h(4) = -1$ 。

涉及知识点

从图像中读取函数值。

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 该片段介绍了三种函数表示法，并给出了函数 h 图像上的示例读数。

已覆盖 · 说话者将复合函数非正式地定义为将一个函数嵌套在另一个函数内部。

已覆盖 · 提出了例题 $f(g(2))$ ，说话者强调这种记号仅表示顺序映射。

已覆盖 · 流程图展示了复合表达式的求值顺序。

已覆盖 · 内层值 $g(2)$ 从表格中读出为 -3。

已覆盖 · 对外层函数进行求值，得到最终答案8。

已覆盖 · 利用函数 g 的表格求 $f(g(2))$ 的值。

已覆盖 · 利用函数 h 的图像，代数地求 $f(h(2))$ 的值。

已覆盖 · 用示意图法求 $f(h(2))$ 的值。

已覆盖 · 主讲人提出一个新问题： $g(f(f(2)))$ ，但在本片段中未给出解答。

已覆盖 · 开场音频延续前一个例题，此时黑板上已显示函数 f、g、h 及此前的复合表达式；视频片段随即转入介绍 $h(g(f(2)))$ 。

已覆盖 · 主讲人明确将新任务命名为三重复合，并写下 $h(g(f(2)))$ 。

已覆盖 · 最内层函数 $f(2)$ 被计算为 $2^2-1=3$ ，并在黑板上标注。

已覆盖 · 从表格中读出 $g(3)$ 的值为 4，并代入该复合表达式中。

已覆盖 · 主讲人从图像中读出 $h(4)=-1$ ，并得出结论： $h(g(f(2)))=-1$ 。

已覆盖 · 结束语总结道：本例展示了如何求函数复合的值。

探索视频中的知识

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函数复合讲解定位 0:30
查看关联依据
已审核中文素材 v1：chapter「引入函数复合」出现在 0:30——课程讲解函数复合是用其他函数构造新函数、把函数嵌套，其核心是一种新的求值次序：一个函数的输出成为另一个函数的输入，因而像 $f(g(2))$ 这样的复合表达式由内向外求值。

函数复合简介 | 函数及其图像 | 代数II | 可汗学院

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

函数的三种表示方式

从图像中读取函数值

复合函数的含义

函数作为一种映射

f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的由内而外求值

利用表格求 g(2)g(2)g(2)

代入 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1f(x)=x2−1

最终的复合结果

复合函数的求值

从函数表中读取函数值

从函数图像中读取函数值

复合函数的流程图法

三重复合是指将三个函数逐层嵌套

从最内层函数开始

利用表格求函数值

利用图像求函数值

已演算复合函数的最终结果

常见错误：求值顺序错误

详细学习笔记

f(x)f(x)f(x)

g(t)g(t)g(t)

h(x)h(x)h(x)

f(g(2))f(g(2))f(g(2))

x

t

f(x)f(x)f(x)

g(t)g(t)g(t)

h(x)h(x)h(x)

x

t

f

函数可通过公式、表格或图像来定义。

函数作为映射

函数复合的含义

在 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 中，先计算内层函数。

从表格中读取函数值

将一个数值代入 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1f(x)=x2−1

从图像中读取函数值

复合函数的求值

函数复合的流程图

函数的三重复合

先求最内层函数的值。

从表格中读取函数值。

复合运算即嵌套

由表格查得的 g(2)g(2)g(2) 的值

复合表达式的最终值

f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的分步推导

f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的推导

f(h(2))f(h(2))f(h(2)) 的代数推导

f(h(2))f(h(2))f(h(2)) 的图示推导。

h(g(f(2)))h(g(f(2)))h(g(f(2))) 的分步求值过程

热身例题：求 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的值。

从函数 h 的图像中读取样本数值。

示例：求 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的值。

例题：计算 f(h(2))f(h(2))f(h(2))

例题：求 h(g(f(2)))h(g(f(2)))h(g(f(2))) 的值。

三种函数表示法并列展示

复合函数求值的流程图

该例题的手写算术演算过程

g(t)g(t)g(t) 的表格定义

h(x)h(x)h(x) 的图像定义

f(h(2))f(h(2))f(h(2)) 的动画流程图

固定板书布局，呈现多种函数表示形式

复合表达式的分步注释

复合函数的记号看起来可能令人望而生畏

切勿从左到右求解复合函数。

函数作为映射 → 在 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 中，先计算内层函数。

从表格中读取函数值 → 热身例题：求 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的值。

将一个数值代入 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1f(x)=x2−1 → 热身例题：求 f(g(2))f(g(2))f(g(2)) 的值。

函数可通过公式、表格或图像来定义。 → 从图像中读取函数值

复合函数的求值 → g(t)g(t)g(t)

复合函数的求值 → h(x)h(x)h(x)

函数复合的流程图 → 复合函数的求值

函数的三重复合 → 先求最内层函数的值。

从表格中读取函数值。 → 从图像中读取函数值。

$f(g(2))$ 的由内而外求值

利用表格求 $g(2)$

代入 $f(x) = x^2 - 1$

$f(x)$

$g(t)$

$h(x)$

$f(g(2))$

$f(x)$

$g(t)$

$h(x)$

在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。

将一个数值代入 $f(x) = x^2 - 1$

由表格查得的 $g(2)$ 的值

$f(g(2))$ 的分步推导

$f(g(2))$ 的推导

$f(h(2))$ 的代数推导

$f(h(2))$ 的图示推导。

$h(g(f(2)))$ 的分步求值过程

热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

示例：求 $f(g(2))$ 的值。

例题：计算 $f(h(2))$

例题：求 $h(g(f(2)))$ 的值。

$g(t)$ 的表格定义

$h(x)$ 的图像定义

$f(h(2))$ 的动画流程图

函数作为映射 → 在 $f(g(2))$ 中，先计算内层函数。

从表格中读取函数值 → 热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

将一个数值代入 $f(x) = x^2 - 1$ → 热身例题：求 $f(g(2))$ 的值。

复合函数的求值 → $g(t)$

复合函数的求值 → $h(x)$

如何逐步计算像 $f(g(2))$ 这样的复合表达式？

如何从 $y = h(x)$ 的图像中读取函数值？

我该如何求形如 $f(g(x))$ 的复合函数的值？

在 $h(g(f(2)))$ 中，三重复合运算是什么意思？

在这个例子中，为什么我们要先计算 $f(2)$ ，再计算 g 和 h？

当函数 g 以表格形式给出时，如何求 $g(3)$ ？

如何从函数 h 的图像中确定 $h(4)$ ？