求解混合策略纳什均衡（示例）

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵的表头显示，Hawk（鹰）上方为P，Dove（鸽）上方为1-P。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，另一名玩家以概率p选择鹰策略，以概率1减p选择鸽策略。

P

对手选择鹰策略的概率。

概率 P 介于 0 和 1 之间（含端点）

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵的表头显示，Dove（鸽）上方为1-P。

2. 声音
   观察依据

   讲师将另一名玩家选择鸽策略的概率称为1减p。

1-P

对手选择鸽策略的概率。

0 小于等于 1 减去 P，小于等于 1

1. 图示
   观察依据

   鹰策略标记收益矩阵的第一行和第一列。

2. 声音
   观察依据

   讲师反复提及鹰策略。

Hawk

胆小鬼博弈收益矩阵中的一种纯策略。

1. 图示
   观察依据

   鸽策略标记收益矩阵的第二行和第二列。

2. 声音
   观察依据

   教师反复提到“鸽子”策略。

Dove

胆小博弈收益矩阵中的一种纯策略。

1. 图示
   观察依据

   白板上显示一个$2\times 2$矩阵，其元素分别为(-1,-1)、(4,0)、(0,4)和(1,1)。

$\begin{bmatrix}-1,-1 & 4,0\\ 0,4 & 1,1\end{bmatrix}$

胆小博弈的收益矩阵，其中先行玩家的收益列在前面，后行玩家的收益列在后面。

1. 公式
   观察依据

   教师在黑板上写下$\Pi_1(H)$。

2. 声音
   观察依据

   她说自己正在计算玩家一选择“鹰派”策略时所获得的收益。

$\Pi_1(H)$

玩家 1 对手采用混合策略时，1 选择鹰策略的期望收益。

1. 公式
   观察依据

   教师在黑板上写下$\Pi_1(D)$。

2. 声音
   观察依据

   她接着说，类似地，玩家一选择“鸽子”策略所获得的收益将等于……

$\Pi_1(D)$

玩家 1 对手采用混合策略时，1 选择鸽策略的期望收益。

1. 图示
   观察依据

   白板上，在收益矩阵的“鹰”列上方写着“p”，在“鸽”列上方写着“1-p”。

2. 声音
   观察依据

   说话者将“p”称为另一名玩家的混合策略。

p

玩家2选择“鹰”的概率。

对应的式子为：[0, 1]

1. 图示
   观察依据

   说话者在“鹰”行旁写下“q”，在“鸽”行旁写下“1-q”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说道：“我让玩家一以概率 q 和概率一减 q 进行混合。”

q

玩家1选择“鹰”的概率。

对应的式子为：[0, 1]

1. 图示
   观察依据

   白板上显示方程 '$\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4) = -p + 4 - 4p = -5p + 4$'。

$\Pi_1(H)$

玩家1选择纯策略“鹰”时的期望收益。

实数

1. 图示
   观察依据

   白板上显示方程 '$\Pi_1(D) = p(0) + (1-p)(1) = 1 - p$'。

$\Pi_1(D)$

玩家1选择纯策略“鸽子”时的期望收益。

实数

1. 图示
   观察依据

   主讲人写下“max_q”，后接总期望收益函数的表达式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们通过选择q来最大化玩家一的目标函数。”

$\max_q$

关于变量q的最大化算子。

实数

1. 图示
   观察依据

   黑板标题为“稳定与不稳定的纳什均衡”，矩阵标注为“胆小博弈”。

2. 声音
   观察依据

   教师称这个特定的博弈为胆小博弈。

该片段使用了一个名为胆小鬼博弈的双策略对称博弈。其中两种策略分别为鹰派和鸽派，所展示的收益矩阵中，每个结果对表示为（行玩家收益，列玩家收益）。

1. 两名玩家。

2. 每名玩家均有鹰派与鸽派两种策略。

3. 收益以有序对形式书写，其中行玩家的收益在前。

1. 声音
   观察依据

   讲师表示她将求解这一特定胆小鬼博弈的混合策略纳什均衡。

2. 图示
   观察依据

   矩阵表头使用 P 和 1-P 表示混合概率。

在本例中，混合策略通过赋予鹰派概率 P、鸽派概率 1-P 来表示。讲师旨在找出使对手在其纯策略之间无差异的 P 值。

1. 对手在鹰派与鸽派之间随机选择。

2. 概率之和必须等于 1。

1. 胆小鬼博弈的收益矩阵

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，一种策略是选择一个鹰派概率，使得另一名玩家在其策略之间无差异。

2. 声音
   观察依据

   随后她指出，当选择鹰策略的收益等于选择鸽策略的收益时，玩家一将无差异。

所展示的方法是：先计算每个纯策略针对对手混合策略的期望收益，再令这些期望收益相等；解这个等式即可得到使对手无差异的混合概率。

1. 适用于寻找由所列纯策略支撑的混合策略均衡。

2. 比较同一玩家在不同纯策略下的期望收益。

1. 本例中的混合策略纳什均衡

1. 声音
   观察依据

   讲师表示，此处实际上并不影响结果，因为这是一个对称博弈，即若交换双方角色，各自的收益保持不变。

讲师指出该博弈是对称的，意味着在玩家角色互换后，双方的收益结构保持一致；正因如此，她在本片段中只需分析玩家1的收益，而无需单独重新分析玩家2的情形。

1. 当玩家角色互换时，收益结构保持不变。

1. 胆小鬼博弈的收益矩阵

1. 声音
   观察依据

   主讲人介绍了两种求解混合策略纳什均衡的方法：令纯策略的期望收益相等，以及使用带一阶条件的优化方法。

2. 图示
   观察依据

   白板展示了‘胆小鬼博弈’的收益矩阵，并用两种方法逐步推导出混合策略概率 $p = 3/4$。

可通过确保某位玩家在其纯策略之间无差异来求得混合策略纳什均衡。具体做法有两种：一是令各纯策略的期望收益彼此相等；二是以该玩家的混合概率为变量，构建其期望收益的优化问题，并取一阶条件。在对称博弈中，求出一位玩家的最优混合概率，即可同时得到另一位玩家的最优混合概率。

1. 该博弈至少存在一个混合策略纳什均衡。

2. 对于优化方法，期望收益函数必须关于混合概率可微。

1. 图示
   观察依据

   白板上展示了类似 '$\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4)$' 的计算式，以及玩家 1 的完整期望收益函数。

当一名玩家选择某一特定纯策略、而对手采用混合策略时，该玩家的期望收益等于：将每种可能结果的收益乘以对手选择对应纯策略的概率，再将所有乘积相加。而一名玩家采用混合策略时的总期望收益，则等于其各纯策略的期望收益分别乘以其对应的混合概率后之和。

1. 对手各策略的概率之和必须等于 1。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，当选择鹰策略的收益等于选择鸽策略的收益时，玩家一将无差异。

2. 公式
   观察依据

   接着她建立方程 -5p+$4 = 1-p$ 并求解。

对于本题所求的混合策略，当玩家1在鹰派与鸽派之间无差异时，恰好满足$Π_1(H)$＝$Π_1(D)$。

1. 玩家2以概率P和1－P分别选择鹰派与鸽派。

2. 相关收益是玩家1采用每种纯策略时的期望收益。

本例中所考虑的混合概率为P。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，这样计算后得到p等于四分之三，即为该混合策略纳什均衡。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示框出的结果为p＝$3/4$。

对该收益矩阵求解无差异方程，可得P＝$3/4$。

1. 使用屏幕上展示的“胆小鬼博弈”收益矩阵。

2. 令$Π_1(H)$＝$Π_1(D)$。

针对本特定的$2\times 2$胆小鬼博弈示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说道：‘它看起来会完全一样，因为这是一个对称问题。’

在胆小鬼博弈中，玩家2选择鹰派策略的期望收益计算式与玩家1完全相同，因为该博弈具有对称性。

1. 该博弈是一个对称博弈。

适用于所有对称博弈。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出：‘由此得出的结果与 q 无关，而只与另一名玩家的混合概率 p 有关。这正是混合策略纳什均衡的运作方式。’

当通过最大化某位玩家关于自身混合概率（q）的期望收益来求解混合策略纳什均衡时，一阶条件所导出的方程决定的是*对手*的混合概率（p），而非该玩家自身的混合概率。

1. 该博弈存在混合策略纳什均衡。

2. 期望收益函数关于该玩家自身的混合概率呈线性关系。

适用于所有存在混合策略纳什均衡的$2\times 2$博弈。

1. 公式
   观察依据

   讲师写出$Π_1(H)$＝p(－1)＋(1－p)(4)＝－p＋4－4p＝－5p＋4。

2. 声音
   观察依据

   她逐一解释每一项：遇到鹰或鸽子时的概率乘以相应收益。

1. 公式

   $$\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)$$
   解释

   选择鹰策略的期望收益，是两种可能对手行为的加权和。

   步骤依据

   使用对手的混合概率 P 和 1-P 定义期望收益。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=-p+4-4p$$
   解释

   将乘法分配到各项中。

   步骤依据

   代数展开。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=-5p+4$$
   解释

   合并关于 p 的同类项。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达

$\Pi_1(H)=-5p+4$。

1. 公式
   观察依据

   讲师写出 $\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)=1-p$。

2. 声音
   观察依据

   她指出，期望收益等于遇到鹰的概率乘以遇到鹰时的收益，加上遇到鸽子的概率乘以遇到鸽子时的收益……总和为一。

1. 公式

   $$\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)$$
   解释

   选择鸽子策略的期望收益是对手两种可能行动的加权和。

   步骤依据

   利用对手混合策略概率定义期望收益。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=1-p$$
   解释

   第一项消失，第二项化简。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

$\Pi_1(D)=1-p$.

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 -5p+$4=1-p$，然后 +5p-1，然后 $3=4p$，最后 $p=3/4$（加框）。

2. 声音
   观察依据

   讲师说将这两个式子设为相等并解出 p，然后指出 p 等于四分之三。

1. 公式

   $$-5p+4=1-p$$
   解释

   令选择鹰策略的期望收益等于选择鸽子策略的期望收益。

   步骤依据

   混合策略均衡的无差异条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$+5p-1$$
   解释

   移项以分离常数项与含 p 的系数项。

   步骤依据

   代数整理。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3=4p$$
   解释

   重新整理后，常数项给出3，p 的项给出4p。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
4. 公式

   $$p=\frac{3}{4}$$
   解释

   等式两边同时除以4。

   步骤依据

   求解线性方程。

   视频直接表达

满足无差异条件的混合概率为 $p = \frac{3}{4}$。

1. 图示
   观察依据

   白板上显示方程：‘$\Pi_1(H) = -5p + 4$’ 和 ‘$\Pi_1(D) = 1 - p$’，随后是 ‘-5p + $4 = 1 - p \Rightarrow 3 = 4p \Rightarrow p = 3/4$’。

1. 公式

   $$\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4) = -5p + 4$$
   解释

   计算玩家1选择鹰策略时的期望收益，已知玩家2以概率 p 选择鹰策略。

   步骤依据

   期望值的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Pi_1(D) = p(0) + (1-p)(1) = 1 - p$$
   解释

   计算玩家1选择鸽策略时的期望收益，已知玩家2以概率 p 选择鹰策略。

   步骤依据

   期望值的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-5p + 4 = 1 - p$$
   解释

   令上述两个期望收益相等，以求出玩家1无差异点。

   步骤依据

   混合策略纳什均衡的条件（玩家在各纯策略之间必须无差异）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$3 = 4p \Rightarrow p = 3/4$$
   解释

   求解所得线性方程，解出p。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达

玩家2必须以概率$p = 3/4$选择鹰策略，才能使玩家1在鹰策略与鸽策略之间无差异。

1. 图示
   观察依据

   白板展示了最大化问题的设定：「$\max_q q[p(-1) + (1-p)4] + (1-q)[p(0) + (1-p)1]$」，其化简结果为「$\max_q -4$qp + $3q + 1 - p$」，以及一阶条件「$\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3 = 0 \Rightarrow p = 3/4$」。

1. 公式

   $$\max_q \left( q[p(-1) + (1-p)4] + (1-q)[p(0) + (1-p)1] \right)$$
   解释

   建立优化问题，以玩家1的混合概率q为变量，最大化其总期望收益。

   步骤依据

   混合策略下期望收益的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\max_q (-4qp + 3q + 1 - p)$$
   解释

   通过展开并合并同类项，化简期望收益表达式。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3$$
   解释

   对化简后的期望收益函数关于 q 求偏导数。

   步骤依据

   求导法则（幂函数求导法则，将 p 视为常数）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-4p + 3 = 0$$
   解释

   令一阶条件（即该导数）等于零，以求出临界点。

   步骤依据

   优化问题中存在内点最大值的必要条件。

   视频直接表达
5. 公式

   $$p = 3/4$$
   解释

   解所得方程，求出 p。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达

一阶条件得出 $p = 3/4$，即参与者 2 选择鹰策略的概率，使得参与者 1 的期望收益最大化（从而在纯策略之间无差异）。

1. 图示
   观察依据

   本视频片段全程基于所展示的“胆小鬼博弈”收益矩阵展开。

2. 声音
   观察依据

   讲师明确将本视频定位为求解该博弈的混合策略纳什均衡。

求出使对手在所展示的胆小鬼博弈中无差异的混合策略概率 P。

1. 策略：鹰派与鸽派。

2. 收益矩阵：鹰/鹰 = (−1, −1)，鹰/鸽 = (4, 0)，鸽/鹰 = (0, 4)，鸽/鸽 = (1, 1)。

3. 对手以概率 P 选择鹰派，以概率$1-P$ 选择鸽派。

计算混合策略均衡概率 P。

1. 公式

   $$\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)$$
   解释

   写出玩家1选择鹰策略时的期望收益。

   步骤依据

   对对手的两种纯策略取期望值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Pi_1(H)=-5p+4$$
   解释

   化简鹰策略的收益表达式。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)$$
   解释

   写出玩家1选择鸽策略时的期望收益。

   步骤依据

   对对手的两种纯策略取期望值。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\Pi_1(D)=1-p$$
   解释

   化简鸽策略的收益表达式。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-5p+4=1-p$$
   解释

   令这两个期望收益相等。

   步骤依据

   混合均衡的无差异条件。

   视频直接表达
6. 公式

   $$p=\frac{3}{4}$$
   解释

   求解所得的线性方程。

   步骤依据

   代数解法。

   视频直接表达

P 等于 3 除以 4。

将 $P=3/4$ 代入两个收益公式：$Π_1(H)=-5(3/4)+4=1/4$ 和 $Π_1(D)=1-3/4=1/4$，因此两个收益相等。

1. 图示
   观察依据

   白板上展示了‘胆小鬼博弈’的收益矩阵，其中策略为鹰与鸽，对应收益分别为 (-1,-1)、(4,0)、(0,4)、(1,1)。

求胆小鬼博弈的混合策略纳什均衡。

1. 胆小鬼博弈的收益矩阵：鹰/鹰 = (-1,-1)，鹰/鸽 = (4,0)，鸽/鹰 = (0,4)，鸽/鸽 = (1,1)。

2. 参与者2以概率 p 选择鹰策略，以概率 1-p 选择鸽策略。

3. 参与者1以概率 q 选择鹰策略，以概率 1-q 选择鸽策略。

确定构成混合策略纳什均衡的概率 p（由对称性，q 亦同）。

1. 公式

   $$\Pi_1(H) = -5p + 4, \Pi_1(D) = 1 - p$$
   解释

   计算参与者1在纯策略鹰和鸽下的期望收益。

   步骤依据

   期望值的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-5p + 4 = 1 - p \Rightarrow p = 3/4$$
   解释

   令两种纯策略的期望收益相等，并解出 p。

   步骤依据

   混合策略纳什均衡的无差异条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\max_q (-4qp + 3q + 1 - p)$$
   解释

   建立并化简参与者1的总期望收益函数。

   步骤依据

   混合策略下期望收益的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3 = 0 \Rightarrow p = 3/4$$
   解释

   对 q 求一阶条件，并解出 p。

   步骤依据

   纳什均衡的优化条件。

   视频直接表达

混合策略纳什均衡中，每位参与者以概率$3/4$选择鹰策略，以概率$1/4$选择鸽策略。

两种方法（令期望收益相等法与一阶条件法）得出相同结果：$p = 3/4$。

1. 图示
   观察依据

   白板上显示标题“稳定与不稳定的纳什均衡”，一个标为“胆小鬼博弈”的 $2\times 2$ 收益矩阵，其下方随后出现手写的方程。

1. 标题文字：稳定与不稳定的纳什均衡

2. $2\times 2$ 收益矩阵

3. 行标签为“鹰”和“鸽”

4. 列标题为“P 鹰”和“$1-P$ 鸽”

5. 侧边标注：胆小鬼博弈

6. 矩阵下方的手写方程

1. 初始时，仅显示标题和收益矩阵。

2. 大约在42秒处，讲师开始书写 $\Pi_1(H)$。

3. 大约在94秒处，她添加了 $\Pi_1(D)$。

4. 大约在128秒处，她写出等式 -5p+$4=1-p$ 并求解。

5. 最终，框出的结果 $p=3/4$清晰可见。

1. 收益矩阵的数值在整个片段中保持不变。

2. 策略标签“鹰”和“鸽”始终保持固定。

3. 列标题 P 和 1-P 始终保持固定。

视觉推演过程与代数方法一致：先确定博弈结构，再分别计算各纯策略的期望收益，然后施加无差异条件，并求解混合概率。

1. 动画
   观察依据

   主讲人擦去先前的计算，在白板上为优化方法写下新的方程。

1. 白板

2. 记号笔

3. 主讲人

1. 先前的方程被擦除。

2. 新变量 q 与 1-q 被写在收益矩阵各行旁。

3. 最大化问题被逐步写出。

4. 推导并求解一阶条件。

1. 懦夫博弈的收益矩阵始终显示在黑板顶部。

视觉化推演展示了使用基于微积分的优化来寻找混合策略纳什均衡的另一种方法。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，此处实际上并不需要区分玩家，因为这是一个对称博弈——若将双方玩家互换，各自的收益保持不变。

有人可能认为，即使在对称博弈中，也必须分别为两名玩家重复该计算。

讲师明确指出，由于该博弈是对称的，交换玩家后收益逻辑完全相同，因此本例中仅分析玩家1即已足够。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出了这一反直觉的结果：‘你会注意到，这有点奇怪——我们设立了一个优化问题，试图决定作为玩家一的我们应该为自己混合策略选择什么值，即 q；但解出来的结果却与 q 完全无关，反而涉及对手的混合策略 p。’

学生可能预期：通过对自己混合概率（q）最大化自身收益，就能直接得到自己的最优 q。

在混合策略纳什均衡中，一名玩家对其纯策略无差异。而其期望收益函数关于自身混合概率的一阶条件，实际上揭示的是为维持这种无差异性，*对手* 所需采用的混合概率。

1. 声音
   观察依据

   教师介绍无差异法，作为一种求解混合策略纳什均衡的方法。

无差异法是本例中用于求解混合策略纳什均衡的计算步骤。

1. 声音
   观察依据

   教师在指代所展示的收益矩阵时，称该博弈为对称博弈。

所展示的“胆小鬼博弈”被视为一个对称博弈的实例，这使得只需关注一名参与者的收益即可。

1. 公式
   观察依据

   黑板上令$Π_1(H)$与$Π_1(D)$的简化表达式相等。

无差异主张依赖于先推导出选择鹰策略与鸽策略的期望收益表达式。

1. 公式
   观察依据

   黑板上令-5p+4等于1-p。

鸽策略期望收益的推导提供了无差异方程的右侧。

1. 公式
   观察依据

   解该等式得到框出的结果$p=3/4$。

均衡概率可直接由求解无差异方程得出。

1. 声音
   观察依据

   主讲人呈现了两种不同方法，并指出它们得出相同答案：‘你可以任选其中一种方法，取决于你更习惯哪一种。’

令纯策略的期望收益相等，与使用一阶条件进行优化，这两种方法在$2\times 2$博弈中是等价的，均可用于求解混合策略纳什均衡。

1. 图示
   观察依据

   推导过程明确构建了期望收益函数，然后对其应用一阶条件。

期望收益这一概念被用于构建优化法求解混合策略纳什均衡的目标函数。

1. 图示
   观察依据

   黑板将该矩阵标注为“胆小鬼博弈”。

1. 胆小鬼博弈的收益矩阵

1. 声音
   观察依据

   教师讲解如何选择一个概率，使得另一名玩家无差异。

1. 混合均衡的无差异法
2. 本例中的混合策略纳什均衡

1. 声音
   观察依据

   教师表示这无关紧要，因为该博弈具有对称性。

1. 关于对称博弈的说明

1. 声音
   观察依据

   教师指出，当选择鹰派策略的收益等于选择鸽派策略的收益时，第一位玩家将处于无差异状态。

1. 混合均衡的无差异条件
2. 混合均衡的无差异法

1. 公式
   观察依据

   最终框出的结果是 $p=3/4$。

1. 计算所得的混合均衡概率
2. 例题：胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

1. 声音
   观察依据

   整段视频专门讲解如何求解混合策略纳什均衡。

1. 求解混合策略纳什均衡

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释了为何关于 q 的一阶条件会得出 p。

1. 求解混合策略纳什均衡
2. 对一阶条件结果的误解

1. 图示
   观察依据

   白板上清晰地标明该矩阵为“胆小鬼博弈”。

1. 胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡