数学建模 / 英语

求解混合策略纳什均衡（示例）

Ashley Hodgson · YouTube · 4:39

YouTube · Ashley Hodgson原视频

视频中的要点

01胆小鬼博弈的收益矩阵
02混合策略均衡的思想
03无差异法

来自学习笔记

\begin{array}{c|cc}\text{Opponent} & P:\text{Hawk} & 1-P:\text{Dove}\\\hline\text{Hawk} & -1,-1 & 4,0\\\text{Dove} & 0,4 & 1,1\end{array}

胆小鬼博弈的收益矩阵

选中时刻

求解混合均衡的无差异法

建议预备知识

基础收益矩阵
期望值
求解线性方程
对称博弈
基础博弈论概念（收益矩阵、纯策略）
概率论（期望值）
微积分（偏导数、优化）

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已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

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这段白板讲解求解一个 $2\times 2$ 规模的“胆小鬼博弈”的混合策略纳什均衡。讲师首先展示支付矩阵，其中纯策略为“鹰派”与“鸽派”，对手的混合概率分别为 P 和 $1-P$ 。接着，她计算玩家1选择“鹰派”时的期望收益： $Π_1(H) = p(-1) + (1-p)(4) = -5p + 4$ ；以及选择“鸽派”时的期望收益： $Π_1(D) = p(0) + (1-p)(1) = 1-p$ 。利用无差异条件 $Π_1(H) = Π_1(D)$ ，她解方程 − $5p + 4 = 1-p$ ，得到 $p = 3/4$ ，并将其作为该对称博弈示例中的混合策略均衡概率给出。本视频演示了两种求解胆小鬼博弈中混合策略纳什均衡的方法：第一种方法通过计算纯策略的期望收益并令其相等，从而求出使对手无差异的混合概率；第二种方法则将某位玩家关于自身混合概率的总期望收益设为优化目标，并应用一阶条件。视频强调了一个关键概念要点：关于某位玩家自身混合概率的一阶条件，揭示了对手为维持均衡所必需采用的混合概率。

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章节

0:00胆小鬼博弈矩阵简介 0:25求解混合均衡的无差异法 0:40选择鹰派的期望收益 1:33选择鸽派的期望收益 2:08求解

p = 3/4

2:30方法1：令期望收益相等 2:46方法2：优化与一阶条件 4:13解读一阶条件的结果

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频片段以一块题为“稳定与不稳定纳什”的白板开场，其上是一个标记为“胆小鬼博弈”的 $2\times 2$ 支付矩阵。行标签为“鹰派”与“鸽派”，列标签为“P 鹰派”和“ $1-P$ 鸽派”。矩阵元素依次为 (−1, −1)、(4, 0)、(0, 4) 和 (1, 1)，表明讲师正在构建一个对称双人博弈，为后续求解混合均衡做准备。

她解释该方法：选取“鹰派”的选择概率，使得对方在自身两个纯策略之间无差异。从博弈论角度看，这意味着比较对方分别选择“鹰派”与“鸽派”时的期望收益，并找出使二者相等的混合概率。

为落实这一思路，她聚焦于玩家1选择“鹰派”时的期望收益。由于该博弈是对称的，她指出只需分析一名玩家的收益即可；交换双方角色将得到完全相同的结构。

当对手以概率 P 选择“鹰派”、以概率 $1-P$ 选择“鸽派”时，“鹰派”策略的期望收益由矩阵第一行构建得出，结果为 $\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)$ ，经逐步化简得 $-5p+4$ 。

接着，她利用矩阵第二行计算选择“鸽派”的期望收益。对手选择“鹰派”带来的收益为 $p(0)$ ，选择“鸽派”带来的收益为 $(1-p)(1)$ ，因此总和为 $\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)=1-p$ 。

随后施加无差异条件：只有当两种纯策略的收益相等时，参与者1才愿意进行混合策略。因此她令 $-5p+4=1-p$ 成立，并求解该线性方程。

整理后得到 $3=4p$ ，故而 $p=\frac{3}{4}$ 。讲师将该值用方框标出，并指出这是本例“胆小鬼博弈”中混合策略纳什均衡的概率。

视频首先回顾了在胆小鬼博弈中求解混合策略纳什均衡的第一种方法。讲师指向黑板，上面列出了玩家1选择鹰策略（ $\Pi_1(H)$ ）和鸽策略（ $\Pi_1(D)$ ）时的期望收益，这些收益基于玩家2的混合概率 $p$ 计算得出。通过令这两个期望收益相等（ $-5p + 4 = 1 - p$ ），讲师解出 $p$ ，得出玩家2必须以概率 $3/4$ 选择鹰策略，才能使玩家1无差异。

接下来，讲师引入第二种方法——优化法。她擦去之前的计算，并建立一个新问题。她定义 $q$ 为玩家1选择鹰策略的概率， $1-q$ 为玩家1选择鸽策略的概率。目标是关于1最大化玩家 $q$ 的总期望收益函数。她写出完整的期望收益函数： $\max_q \left( q[p(-1) + (1-p)4] + (1-q)[p(0) + (1-p)1] \right)$ 。

教师将期望收益表达式简化为 $\max_q (-4qp + 3q + 1 - p)$ 。接着，她应用一阶条件（F.O.C.），对该函数关于 $q$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3$ 。令该导数等于零（ $-4p + 3 = 0$ ），解出 $p$ ，再次得到 $p = 3/4$ 。

最后，教师指出一个常见的困惑点：尽管优化问题设定的目标是求出玩家1的最优混合概率 $q$ ，但一阶条件实际解出的却是对手的混合概率 $p$ 。她解释道，这正是混合策略纳什均衡的运作方式：一名玩家的最优混合策略会使对手在其纯策略之间无差异；因此，一阶条件揭示的是*另一名*玩家所需的混合概率。她总结道，两种方法均有效，学生可任选其更熟悉的一种。

知识卡片

胆小鬼博弈的收益矩阵

本例采用一个 $2\times 2$ 对称博弈，其策略为“鹰”与“鸽”。图中显示的收益为：鹰对鹰 = (-1, -1)，鹰对鸽 = (4, 0)，鸽对鹰 = (0, 4)，鸽对鸽 = (1, 1)。列标题P与1-P表示对手的混合概率。

\begin{array}{c|cc}\text{Opponent} & P:\text{Hawk} & 1-P:\text{Dove}\\\hline\text{Hawk} & -1,-1 & 4,0\\\text{Dove} & 0,4 & 1,1\end{array}

混合策略均衡的思想

混合策略为各纯策略分配概率。此处对手以概率P选择‘鹰’，以概率1-P选择‘鸽’。目标是找出使混合策略纳什均衡得以支撑的P值。

P(\text{Hawk})=P,\quad P(\text{Dove})=1-P

无差异法

为求得混合概率，需计算同一参与者在每种纯策略下的期望收益，并令二者相等。该等式表达了参与者对两种纯策略的无差异性，这正是本例所采用的条件。

\Pi_1(H)=\Pi_1(D)

选择‘鹰’的期望收益

利用矩阵第一行，参与者1选择‘鹰’所得的期望收益，是-1与4按概率加权的平均值。该式可简化为关于p的线性函数。

\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)=-5p+4

选择‘鸽’的期望收益

利用矩阵第二行，参与者1选择‘鸽’所得的期望收益，是0与1按概率加权的平均值。该式可简化为1-p。

\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)=1-p

求解均衡概率

令两个期望收益相等，并求解所得的线性方程。代数运算得出黑板上所示的唯一混合概率。

-5p+4=1-p\;\Rightarrow\;3=4p\;\Rightarrow\;p=\frac{3}{4}

本例的最终答案

讲师得出结论：本鸡鹰博弈示例中的混合策略纳什均衡概率为 $p=3/4$ 。

p=\frac{3}{4}

方法1：令期望收益相等

为求混合策略纳什均衡，需先计算在对手混合概率给定的前提下，该玩家各纯策略的期望收益；再令这些期望收益彼此相等。解此方程即可得到使该玩家在其纯策略间无差异的对手混合概率。

\Pi_1(H) = \Pi_1(D)

方法2：优化与一阶条件

建立一个优化问题，以该玩家自身的混合概率（例如 q）为变量，最大化其总期望收益。对 q 求一阶条件（即关于 q 的偏导数），并令其为零。出人意料的是，解此方程所得结果并非该玩家自身的 q，而是对手在均衡中所需的混合概率（p）。

\frac{\partial \pi}{\partial q} = 0 \Rightarrow p = 3/4

关键洞见：混合策略中的无差异性

在混合策略纳什均衡中，玩家对其所随机化的各纯策略无差异。因此，以自身混合概率为变量优化自身收益，并不能直接给出一个特定的最优概率；相反，一阶条件揭示的是对手必须采用的、恰好使其保持无差异的混合概率。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 14

P

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
收益矩阵的表头显示，Hawk（鹰）上方为P，Dove（鸽）上方为1-P。
声音
观察依据
讲师指出，另一名玩家以概率p选择鹰策略，以概率1减p选择鸽策略。

符号

含义

对手选择鹰策略的概率。

适用范围

概率 P 介于 0 和 1 之间（含端点）

1-P

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
收益矩阵的表头显示，Dove（鸽）上方为1-P。
声音
观察依据
讲师将另一名玩家选择鸽策略的概率称为1减p。

符号

1-P

含义

对手选择鸽策略的概率。

适用范围

0 小于等于 1 减去 P，小于等于 1

Hawk

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
鹰策略标记收益矩阵的第一行和第一列。
声音
观察依据
讲师反复提及鹰策略。

符号

Hawk

含义

胆小鬼博弈收益矩阵中的一种纯策略。

Dove

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
鸽策略标记收益矩阵的第二行和第二列。
声音
观察依据
教师反复提到“鸽子”策略。

符号

Dove

含义

胆小博弈收益矩阵中的一种纯策略。

$\begin{bmatrix}-1,-1 & 4,0\\ 0,4 & 1,1\end{bmatrix}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上显示一个 $2\times 2$ 矩阵，其元素分别为(-1,-1)、(4,0)、(0,4)和(1,1)。

符号

$\begin{bmatrix}-1,-1 & 4,0\\ 0,4 & 1,1\end{bmatrix}$

含义

胆小博弈的收益矩阵，其中先行玩家的收益列在前面，后行玩家的收益列在后面。

$\Pi_1(H)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师在黑板上写下 $\Pi_1(H)$ 。
声音
观察依据
她说自己正在计算玩家一选择“鹰派”策略时所获得的收益。

符号

$\Pi_1(H)$

含义

玩家 1 对手采用混合策略时，1 选择鹰策略的期望收益。

$\Pi_1(D)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师在黑板上写下 $\Pi_1(D)$ 。
声音
观察依据
她接着说，类似地，玩家一选择“鸽子”策略所获得的收益将等于……

符号

$\Pi_1(D)$

含义

玩家 1 对手采用混合策略时，1 选择鸽策略的期望收益。

p

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上，在收益矩阵的“鹰”列上方写着“p”，在“鸽”列上方写着“1-p”。
声音
观察依据
说话者将“p”称为另一名玩家的混合策略。

符号

含义

玩家2选择“鹰”的概率。

适用范围

对应的式子为：[0, 1]

q

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
说话者在“鹰”行旁写下“q”，在“鸽”行旁写下“1-q”。
声音
观察依据
主讲人说道：“我让玩家一以概率 q 和概率一减 q 进行混合。”

符号

含义

玩家1选择“鹰”的概率。

适用范围

对应的式子为：[0, 1]

$\Pi_1(H)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上显示方程 ' $\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4) = -p + 4 - 4p = -5p + 4$ '。

符号

$\Pi_1(H)$

含义

玩家1选择纯策略“鹰”时的期望收益。

适用范围

实数

$\Pi_1(D)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上显示方程 ' $\Pi_1(D) = p(0) + (1-p)(1) = 1 - p$ '。

符号

$\Pi_1(D)$

含义

玩家1选择纯策略“鸽子”时的期望收益。

适用范围

实数

$\max_q$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
主讲人写下“max_q”，后接总期望收益函数的表达式。
声音
观察依据
主讲人说：“我们通过选择q来最大化玩家一的目标函数。”

符号

$\max_q$

含义

关于变量q的最大化算子。

适用范围

实数

知识点 · 6

胆小鬼博弈的收益矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板标题为“稳定与不稳定的纳什均衡”，矩阵标注为“胆小博弈”。
声音
观察依据
教师称这个特定的博弈为胆小博弈。

定义

解释

该片段使用了一个名为胆小鬼博弈的双策略对称博弈。其中两种策略分别为鹰派和鸽派，所展示的收益矩阵中，每个结果对表示为（行玩家收益，列玩家收益）。

公式

\begin{array}{c|cc}\text{Opponent} & P:\text{Hawk} & 1-P:\text{Dove}\\\hline\text{Hawk} & -1,-1 & 4,0\\\text{Dove} & 0,4 & 1,1\end{array}

适用条件

两名玩家。
每名玩家均有鹰派与鸽派两种策略。
收益以有序对形式书写，其中行玩家的收益在前。

本例中的混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师表示她将求解这一特定胆小鬼博弈的混合策略纳什均衡。
图示
观察依据
矩阵表头使用 P 和 1-P 表示混合概率。

定义

解释

在本例中，混合策略通过赋予鹰派概率 P、鸽派概率 1-P 来表示。讲师旨在找出使对手在其纯策略之间无差异的 P 值。

公式

P(\text{Hawk})=P,\quad P(\text{Dove})=1-P

适用条件

对手在鹰派与鸽派之间随机选择。
概率之和必须等于 1。

先修条目

胆小鬼博弈的收益矩阵

混合均衡的无差异法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，一种策略是选择一个鹰派概率，使得另一名玩家在其策略之间无差异。
声音
观察依据
随后她指出，当选择鹰策略的收益等于选择鸽策略的收益时，玩家一将无差异。

方法

解释

所展示的方法是：先计算每个纯策略针对对手混合策略的期望收益，再令这些期望收益相等；解这个等式即可得到使对手无差异的混合概率。

公式

\Pi_1(H)=\Pi_1(D)

适用条件

适用于寻找由所列纯策略支撑的混合策略均衡。
比较同一玩家在不同纯策略下的期望收益。

先修条目

本例中的混合策略纳什均衡

关于对称博弈的说明

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师表示，此处实际上并不影响结果，因为这是一个对称博弈，即若交换双方角色，各自的收益保持不变。

定义

解释

讲师指出该博弈是对称的，意味着在玩家角色互换后，双方的收益结构保持一致；正因如此，她在本片段中只需分析玩家1的收益，而无需单独重新分析玩家2的情形。

适用条件

当玩家角色互换时，收益结构保持不变。

先修条目

胆小鬼博弈的收益矩阵

求解混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人介绍了两种求解混合策略纳什均衡的方法：令纯策略的期望收益相等，以及使用带一阶条件的优化方法。
图示
观察依据
白板展示了‘胆小鬼博弈’的收益矩阵，并用两种方法逐步推导出混合策略概率 $p = 3/4$ 。

方法

解释

可通过确保某位玩家在其纯策略之间无差异来求得混合策略纳什均衡。具体做法有两种：一是令各纯策略的期望收益彼此相等；二是以该玩家的混合概率为变量，构建其期望收益的优化问题，并取一阶条件。在对称博弈中，求出一位玩家的最优混合概率，即可同时得到另一位玩家的最优混合概率。

公式

适用条件

该博弈至少存在一个混合策略纳什均衡。
对于优化方法，期望收益函数必须关于混合概率可微。

期望收益计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上展示了类似 ' $\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4)$ ' 的计算式，以及玩家 1 的完整期望收益函数。

公式

解释

当一名玩家选择某一特定纯策略、而对手采用混合策略时，该玩家的期望收益等于：将每种可能结果的收益乘以对手选择对应纯策略的概率，再将所有乘积相加。而一名玩家采用混合策略时的总期望收益，则等于其各纯策略的期望收益分别乘以其对应的混合概率后之和。

公式

E[\text{Payoff}] = \sum_{i} P(\text{Opponent plays } i) \times \text{Payoff}(i)

适用条件

对手各策略的概率之和必须等于 1。

定理与条件 · 4

混合均衡的无差异条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，当选择鹰策略的收益等于选择鸽策略的收益时，玩家一将无差异。
公式
观察依据
接着她建立方程 -5p+ $4 = 1-p$ 并求解。

命题

对于本题所求的混合策略，当玩家1在鹰派与鸽派之间无差异时，恰好满足 $Π_1(H)$ ＝ $Π_1(D)$ 。

前提

玩家2以概率P和1－P分别选择鹰派与鸽派。
相关收益是玩家1采用每种纯策略时的期望收益。

量词

本例中所考虑的混合概率为P。

计算所得的混合均衡概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，这样计算后得到p等于四分之三，即为该混合策略纳什均衡。
公式
观察依据
黑板上显示框出的结果为p＝ $3/4$ 。

命题

对该收益矩阵求解无差异方程，可得P＝ $3/4$ 。

前提

使用屏幕上展示的“胆小鬼博弈”收益矩阵。
令 $Π_1(H)$ ＝ $Π_1(D)$ 。

量词

针对本特定的 $2\times 2$ 胆小鬼博弈示例。

胆小鬼博弈中的对称性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说道：‘它看起来会完全一样，因为这是一个对称问题。’

命题

在胆小鬼博弈中，玩家2选择鹰派策略的期望收益计算式与玩家1完全相同，因为该博弈具有对称性。

前提

该博弈是一个对称博弈。

量词

适用于所有对称博弈。

混合策略下的一阶条件结果

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：‘由此得出的结果与 q 无关，而只与另一名玩家的混合概率 p 有关。这正是混合策略纳什均衡的运作方式。’

命题

当通过最大化某位玩家关于自身混合概率（q）的期望收益来求解混合策略纳什均衡时，一阶条件所导出的方程决定的是*对手*的混合概率（p），而非该玩家自身的混合概率。

前提

该博弈存在混合策略纳什均衡。
期望收益函数关于该玩家自身的混合概率呈线性关系。

量词

适用于所有存在混合策略纳什均衡的 $2\times 2$ 博弈。

推导与证明 · 5

鹰策略期望收益的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
讲师写出 $Π_1(H)$ ＝p(－1)＋(1－p)(4)＝－p＋4－4p＝－5p＋4。
声音
观察依据
她逐一解释每一项：遇到鹰或鸽子时的概率乘以相应收益。

严格证明

步骤

公式
$\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)$
解释
选择鹰策略的期望收益，是两种可能对手行为的加权和。
步骤依据
使用对手的混合概率 P 和 1-P 定义期望收益。
视频直接表达
公式
$=-p+4-4p$
解释
将乘法分配到各项中。
步骤依据
代数展开。
视频直接表达
公式
$=-5p+4$
解释
合并关于 p 的同类项。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达

结论

$\Pi_1(H)=-5p+4$ 。

鸽策略期望收益的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
讲师写出 $\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)=1-p$ 。
声音
观察依据
她指出，期望收益等于遇到鹰的概率乘以遇到鹰时的收益，加上遇到鸽子的概率乘以遇到鸽子时的收益……总和为一。

严格证明

步骤

公式
$\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)$
解释
选择鸽子策略的期望收益是对手两种可能行动的加权和。
步骤依据
利用对手混合策略概率定义期望收益。
视频直接表达
公式
$=1-p$
解释
第一项消失，第二项化简。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达

结论

$\Pi_1(D)=1-p$ .

求解无差异方程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 -5p+ $4=1-p$ ，然后 +5p-1，然后 $3=4p$ ，最后 $p=3/4$ （加框）。
声音
观察依据
讲师说将这两个式子设为相等并解出 p，然后指出 p 等于四分之三。

严格证明

步骤

公式
$-5p+4=1-p$
解释
令选择鹰策略的期望收益等于选择鸽子策略的期望收益。
步骤依据
混合策略均衡的无差异条件。
视频直接表达
公式
$+5p-1$
解释
移项以分离常数项与含 p 的系数项。
步骤依据
代数整理。
视频直接表达
公式
$3=4p$
解释
重新整理后，常数项给出3，p 的项给出4p。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达
公式
$p=\frac{3}{4}$
解释
等式两边同时除以4。
步骤依据
求解线性方程。
视频直接表达

结论

满足无差异条件的混合概率为 $p = \frac{3}{4}$ 。

方法1：令期望收益相等

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上显示方程：‘ $\Pi_1(H) = -5p + 4$ ’ 和 ‘ $\Pi_1(D) = 1 - p$ ’，随后是 ‘-5p + $4 = 1 - p \Rightarrow 3 = 4p \Rightarrow p = 3/4$ ’。

严格证明

步骤

公式
$\Pi_1(H) = p(-1) + (1-p)(4) = -5p + 4$
解释
计算玩家1选择鹰策略时的期望收益，已知玩家2以概率 p 选择鹰策略。
步骤依据
期望值的定义。
视频直接表达
公式
$\Pi_1(D) = p(0) + (1-p)(1) = 1 - p$
解释
计算玩家1选择鸽策略时的期望收益，已知玩家2以概率 p 选择鹰策略。
步骤依据
期望值的定义。
视频直接表达
公式
$-5p + 4 = 1 - p$
解释
令上述两个期望收益相等，以求出玩家1无差异点。
步骤依据
混合策略纳什均衡的条件（玩家在各纯策略之间必须无差异）。
视频直接表达
公式
$3 = 4p \Rightarrow p = 3/4$
解释
求解所得线性方程，解出p。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达

结论

玩家2必须以概率 $p = 3/4$ 选择鹰策略，才能使玩家1在鹰策略与鸽策略之间无差异。

方法2：优化法与一阶条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板展示了最大化问题的设定：「 $\max_q q[p(-1) + (1-p)4] + (1-q)[p(0) + (1-p)1]$ 」，其化简结果为「 $\max_q -4$ qp + $3q + 1 - p$ 」，以及一阶条件「 $\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3 = 0 \Rightarrow p = 3/4$ 」。

严格证明

步骤

公式
$\max_q \left( q[p(-1) + (1-p)4] + (1-q)[p(0) + (1-p)1] \right)$
解释
建立优化问题，以玩家1的混合概率q为变量，最大化其总期望收益。
步骤依据
混合策略下期望收益的定义。
视频直接表达
公式
$\max_q (-4qp + 3q + 1 - p)$
解释
通过展开并合并同类项，化简期望收益表达式。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3$
解释
对化简后的期望收益函数关于 q 求偏导数。
步骤依据
求导法则（幂函数求导法则，将 p 视为常数）。
视频直接表达
公式
$-4p + 3 = 0$
解释
令一阶条件（即该导数）等于零，以求出临界点。
步骤依据
优化问题中存在内点最大值的必要条件。
视频直接表达
公式
$p = 3/4$
解释
解所得方程，求出 p。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达

结论

一阶条件得出 $p = 3/4$ ，即参与者 2 选择鹰策略的概率，使得参与者 1 的期望收益最大化（从而在纯策略之间无差异）。

例题详解 · 2

例题：胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
本视频片段全程基于所展示的“胆小鬼博弈”收益矩阵展开。
声音
观察依据
讲师明确将本视频定位为求解该博弈的混合策略纳什均衡。

题目

求出使对手在所展示的胆小鬼博弈中无差异的混合策略概率 P。

已知条件

策略：鹰派与鸽派。
收益矩阵：鹰/鹰 = (−1, −1)，鹰/鸽 = (4, 0)，鸽/鹰 = (0, 4)，鸽/鸽 = (1, 1)。
对手以概率 P 选择鹰派，以概率 $1-P$ 选择鸽派。

目标

计算混合策略均衡概率 P。

步骤

公式
$\Pi_1(H)=p(-1)+(1-p)(4)$
解释
写出玩家1选择鹰策略时的期望收益。
步骤依据
对对手的两种纯策略取期望值。
视频直接表达
公式
$\Pi_1(H)=-5p+4$
解释
化简鹰策略的收益表达式。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达
公式
$\Pi_1(D)=p(0)+(1-p)(1)$
解释
写出玩家1选择鸽策略时的期望收益。
步骤依据
对对手的两种纯策略取期望值。
视频直接表达
公式
$\Pi_1(D)=1-p$
解释
化简鸽策略的收益表达式。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达
公式
$-5p+4=1-p$
解释
令这两个期望收益相等。
步骤依据
混合均衡的无差异条件。
视频直接表达
公式
$p=\frac{3}{4}$
解释
求解所得的线性方程。
步骤依据
代数解法。
视频直接表达

结果

P 等于 3 除以 4。

检验

将 $P=3/4$ 代入两个收益公式： $Π_1(H)=-5(3/4)+4=1/4$ 和 $Π_1(D)=1-3/4=1/4$ ，因此两个收益相等。

胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上展示了‘胆小鬼博弈’的收益矩阵，其中策略为鹰与鸽，对应收益分别为 (-1,-1)、(4,0)、(0,4)、(1,1)。

题目

求胆小鬼博弈的混合策略纳什均衡。

已知条件

胆小鬼博弈的收益矩阵：鹰/鹰 = (-1,-1)，鹰/鸽 = (4,0)，鸽/鹰 = (0,4)，鸽/鸽 = (1,1)。
参与者2以概率 p 选择鹰策略，以概率 1-p 选择鸽策略。
参与者1以概率 q 选择鹰策略，以概率 1-q 选择鸽策略。

目标

确定构成混合策略纳什均衡的概率 p（由对称性，q 亦同）。

步骤

公式
$\Pi_1(H) = -5p + 4, \Pi_1(D) = 1 - p$
解释
计算参与者1在纯策略鹰和鸽下的期望收益。
步骤依据
期望值的定义。
视频直接表达
公式
$-5p + 4 = 1 - p \Rightarrow p = 3/4$
解释
令两种纯策略的期望收益相等，并解出 p。
步骤依据
混合策略纳什均衡的无差异条件。
视频直接表达
公式
$\max_q (-4qp + 3q + 1 - p)$
解释
建立并化简参与者1的总期望收益函数。
步骤依据
混合策略下期望收益的定义。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial \pi}{\partial q} = -4p + 3 = 0 \Rightarrow p = 3/4$
解释
对 q 求一阶条件，并解出 p。
步骤依据
纳什均衡的优化条件。
视频直接表达

结果

混合策略纳什均衡中，每位参与者以概率 $3/4$ 选择鹰策略，以概率 $1/4$ 选择鸽策略。

检验

两种方法（令期望收益相等法与一阶条件法）得出相同结果： $p = 3/4$ 。

图示与动画 · 2

白板布置与推演过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上显示标题“稳定与不稳定的纳什均衡”，一个标为“胆小鬼博弈”的 $2\times 2$ 收益矩阵，其下方随后出现手写的方程。

图中对象

标题文字：稳定与不稳定的纳什均衡
$2\times 2$ 收益矩阵
行标签为“鹰”和“鸽”
列标题为“P 鹰”和“ $1-P$ 鸽”
侧边标注：胆小鬼博弈
矩阵下方的手写方程

变化过程

初始时，仅显示标题和收益矩阵。
大约在42秒处，讲师开始书写 $\Pi_1(H)$ 。
大约在94秒处，她添加了 $\Pi_1(D)$ 。
大约在128秒处，她写出等式 -5p+ $4=1-p$ 并求解。
最终，框出的结果 $p=3/4$ 清晰可见。

不变量

收益矩阵的数值在整个片段中保持不变。
策略标签“鹰”和“鸽”始终保持固定。
列标题 P 和 1-P 始终保持固定。

数学含义

视觉推演过程与代数方法一致：先确定博弈结构，再分别计算各纯策略的期望收益，然后施加无差异条件，并求解混合概率。

优化方法的白板演示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
主讲人擦去先前的计算，在白板上为优化方法写下新的方程。

图中对象

白板
记号笔
主讲人

变化过程

先前的方程被擦除。
新变量 q 与 1-q 被写在收益矩阵各行旁。
最大化问题被逐步写出。
推导并求解一阶条件。

不变量

懦夫博弈的收益矩阵始终显示在黑板顶部。

数学含义

视觉化推演展示了使用基于微积分的优化来寻找混合策略纳什均衡的另一种方法。

易错点 · 2

为何仅分析玩家1在此处已足够

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，此处实际上并不需要区分玩家，因为这是一个对称博弈——若将双方玩家互换，各自的收益保持不变。

误区

有人可能认为，即使在对称博弈中，也必须分别为两名玩家重复该计算。

说明

讲师明确指出，由于该博弈是对称的，交换玩家后收益逻辑完全相同，因此本例中仅分析玩家1即已足够。

对一阶条件结果的误解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确指出了这一反直觉的结果：‘你会注意到，这有点奇怪——我们设立了一个优化问题，试图决定作为玩家一的我们应该为自己混合策略选择什么值，即 q；但解出来的结果却与 q 完全无关，反而涉及对手的混合策略 p。’

误区

学生可能预期：通过对自己混合概率（q）最大化自身收益，就能直接得到自己的最优 q。

说明

在混合策略纳什均衡中，一名玩家对其纯策略无差异。而其期望收益函数关于自身混合概率的一阶条件，实际上揭示的是为维持这种无差异性，*对手* 所需采用的混合概率。

概念关系 · 7

混合均衡的无差异法 → 本例中的混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师介绍无差异法，作为一种求解混合策略纳什均衡的方法。

应用

解释

无差异法是本例中用于求解混合策略纳什均衡的计算步骤。

关于对称博弈的说明 → 胆小鬼博弈的收益矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师在指代所展示的收益矩阵时，称该博弈为对称博弈。

特例

解释

所展示的“胆小鬼博弈”被视为一个对称博弈的实例，这使得只需关注一名参与者的收益即可。

鹰策略期望收益的推导 → 混合均衡的无差异条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上令 $Π_1(H)$ 与 $Π_1(D)$ 的简化表达式相等。

证明依赖

解释

无差异主张依赖于先推导出选择鹰策略与鸽策略的期望收益表达式。

鸽策略期望收益的推导 → 混合均衡的无差异条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上令-5p+4等于1-p。

证明依赖

解释

鸽策略期望收益的推导提供了无差异方程的右侧。

混合均衡的无差异条件 → 计算所得的混合均衡概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
解该等式得到框出的结果 $p=3/4$ 。

证明依赖

解释

均衡概率可直接由求解无差异方程得出。

求解混合策略纳什均衡 → 求解混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人呈现了两种不同方法，并指出它们得出相同答案：‘你可以任选其中一种方法，取决于你更习惯哪一种。’

等价

解释

令纯策略的期望收益相等，与使用一阶条件进行优化，这两种方法在 $2\times 2$ 博弈中是等价的，均可用于求解混合策略纳什均衡。

期望收益计算 → 求解混合策略纳什均衡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
推导过程明确构建了期望收益函数，然后对其应用一阶条件。

应用

解释

期望收益这一概念被用于构建优化法求解混合策略纳什均衡的目标函数。

问题定位 · 8

本胆小鬼博弈示例中使用的是哪一收益矩阵？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板将该矩阵标注为“胆小鬼博弈”。

涉及知识点

胆小鬼博弈的收益矩阵

如何使用无差异法求解混合策略纳什均衡？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师讲解如何选择一个概率，使得另一名玩家无差异。

涉及知识点

混合均衡的无差异法
本例中的混合策略纳什均衡

为什么教师在此例中只需分析玩家1的收益？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示这无关紧要，因为该博弈具有对称性。

涉及知识点

关于对称博弈的说明

为什么我们将两个期望收益设为相等？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，当选择鹰派策略的收益等于选择鸽派策略的收益时，第一位玩家将处于无差异状态。

涉及知识点

混合均衡的无差异条件
混合均衡的无差异法

视频结尾求得的混合策略概率是多少？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
最终框出的结果是 $p=3/4$ 。

涉及知识点

计算所得的混合均衡概率
例题：胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

如何求解混合策略纳什均衡？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
整段视频专门讲解如何求解混合策略纳什均衡。

涉及知识点

求解混合策略纳什均衡

为何对我自己的混合概率求导，却得到了对手的混合概率？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释了为何关于 q 的一阶条件会得出 p。

涉及知识点

求解混合策略纳什均衡
对一阶条件结果的误解

您能展示一个计算胆小鬼博弈中混合策略的例子吗？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
白板上清晰地标明该矩阵为“胆小鬼博弈”。

涉及知识点

胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 介绍胆小鬼博弈（Game of Chicken）的收益矩阵，以及寻找混合策略纳什均衡的目标。

已覆盖 · 教师阐述了基于无差异性的混合均衡求解方法。

已覆盖 · 设定玩家1选择鹰派策略的期望收益，并指出对称性。

已覆盖 · 计算玩家1选择鸽派策略的期望收益。

已覆盖 · 令两个期望收益相等，解该线性方程，并将结果 $p=3/4$ 用方框标出。

已覆盖 · 问题引入及第一种方法（令期望收益相等）的演示。

已覆盖 · 第二种方法（优化与一阶条件）的演示。

已覆盖 · 对一阶条件所得反直觉结果的解释及结论。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

纳什均衡应用定位 0:00
查看关联依据
已审核中文素材 v1：knowledge_item「本例中的混合策略纳什均衡」出现在 0:00 至 2:30——在本例中，混合策略通过赋予鹰派概率 P、鸽派概率 1-P 来表示。讲师旨在找出使对手在其纯策略之间无差异的 P 值。
Reviewed English material v1: knowledge_item "Mixed strategy Nash equilibrium in this example" at 0:00 至 2:30 — In this example, a mixed strategy is represented by assigning probability P to Hawk 且 probability 1-P to Dove. The instructor seeks the value of P that makes the opponent indifferent between their own pure strategies.
混合策略讲解定位 4:13
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「关键洞见：混合策略中的无差异性」出现在 4:13——在混合策略纳什均衡中，玩家对其所随机化的各纯策略无差异。因此，以自身混合概率为变量优化自身收益，并不能直接给出一个特定的最优概率；相反，一阶条件揭示的是对手必须采用的、恰好使其保持无差异的混合概率。

求解混合策略纳什均衡（示例）

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

胆小鬼博弈的收益矩阵

混合策略均衡的思想

无差异法

选择‘鹰’的期望收益

选择‘鸽’的期望收益

求解均衡概率

本例的最终答案

方法1：令期望收益相等

方法2：优化与一阶条件

关键洞见：混合策略中的无差异性

详细学习笔记

P

1-P

Hawk

Dove

[−1,−14,00,41,1]\begin{bmatrix}-1,-1 & 4,0\\ 0,4 & 1,1\end{bmatrix}[−1,−10,4​4,01,1​]

Π1(H)\Pi_1(H)Π1​(H)

Π1(D)\Pi_1(D)Π1​(D)

p

q

Π1(H)\Pi_1(H)Π1​(H)

Π1(D)\Pi_1(D)Π1​(D)

max⁡q\max_qmaxq​

胆小鬼博弈的收益矩阵

本例中的混合策略纳什均衡

混合均衡的无差异法

关于对称博弈的说明

求解混合策略纳什均衡

期望收益计算

混合均衡的无差异条件

计算所得的混合均衡概率

胆小鬼博弈中的对称性

混合策略下的一阶条件结果

鹰策略期望收益的推导

鸽策略期望收益的推导

求解无差异方程。

方法1：令期望收益相等

方法2：优化法与一阶条件

例题：胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

胆小鬼博弈中的混合策略纳什均衡

白板布置与推演过程

优化方法的白板演示

为何仅分析玩家1在此处已足够

对一阶条件结果的误解

混合均衡的无差异法 → 本例中的混合策略纳什均衡

关于对称博弈的说明 → 胆小鬼博弈的收益矩阵

鹰策略期望收益的推导 → 混合均衡的无差异条件

鸽策略期望收益的推导 → 混合均衡的无差异条件

混合均衡的无差异条件 → 计算所得的混合均衡概率

求解混合策略纳什均衡 → 求解混合策略纳什均衡

期望收益计算 → 求解混合策略纳什均衡

本胆小鬼博弈示例中使用的是哪一收益矩阵？

如何使用无差异法求解混合策略纳什均衡？

为什么教师在此例中只需分析玩家1的收益？

为什么我们将两个期望收益设为相等？

视频结尾求得的混合策略概率是多少？

如何求解混合策略纳什均衡？

为何对我自己的混合概率求导，却得到了对手的混合概率？

您能展示一个计算胆小鬼博弈中混合策略的例子吗？

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相似讲解

前后衔接

其他讲解类型

$\begin{bmatrix}-1,-1 & 4,0\\ 0,4 & 1,1\end{bmatrix}$

$\Pi_1(H)$

$\Pi_1(D)$

$\Pi_1(H)$

$\Pi_1(D)$

$\max_q$