介值定理

1. 图示
   观察依据

   白板上显示了一个水平轴，表格和坐标示意图中均将其标记为 x。

x

输入变量或横坐标。

实数；在本例演算中，列出的整数值范围是从 -3 到 3。

1. 图示
   观察依据

   白板上显示了一个垂直轴，表格和坐标示意图中均将其标记为 y。

y

函数图像的输出值或纵坐标。

实数；表格中列出的值为 4、6、1、-2、3、7。

1. 图示
   观察依据

   可见一个两列表格，其中 x 值为 -3、-2、-1、0、1、2，y 值为 4、6、1、-2、3、7。

(x,y)

连续函数的离散采样点，用于推断图像必在何处穿过 x 轴。

所展示的数对为 (-3,4)、(-2,6)、(-1,1)、(0,-2)、(1,3)、(2,7)。

1. 图示
   观察依据

   变量 x 在表格中和图像的横轴上用作自变量。

x

自变量（函数的输入）

实数

1. 图示
   观察依据

   变量 y 在表格中和图像的纵轴上用作因变量。

y

因变量（函数的输出）

实数

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，中间值定理适用于连续图像，即图像没有间断，并且你可以用铅笔沿其描画而无需抬笔。

2. 图示
   观察依据

   主讲人在坐标示意图上使用一条蓝色曲线，并指向图像上两个位置之间。

3. 动画
   观察依据

   在两个标出的 y 值水平线之间画出红色水平线，以表明这些中间 y 值确实被取到。

对于一条连续的图像，从一个点移动到另一个点时，图像必然经过这两个端点纵坐标之间的所有纵坐标值。视频通过视觉方式呈现这一思想，而非采用严格的ε-δ语言或区间形式的定理表述。

1. 该图像必须是连续的。

2. 所比较的两个点位于图像的同一连续分支上。

3. 目标纵坐标值位于这两个点的纵坐标之间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将零点定义为图像与x轴相交的位置。

2. 图示
   观察依据

   他在讨论零点时，指着图像上的x轴。

零点是一个横坐标值，此时图像与x轴相交，等价于函数值为0。

1. 该函数被视作坐标平面上的一条图像。

1. 介值定理的直观表述

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出：若一个函数的 y 值由负变正，或由正变负，则其间必存在一个零点。

2. 图示
   观察依据

   白板展示了一张包含 x 与 y 数值的表格，其中标出了符号变化，并用箭头指向图像必然穿过横轴的区间。

若一个连续函数在两个 x 值之间发生符号变化（即一个 y 值为负，另一个 y 值为正），则在这两个 x 值之间至少存在一个零点（即 x 轴截距）。

1. 该函数必须是连续的。

2. 函数在该区间端点处的函数值必须异号。

1. 声音
   观察依据

   主讲人列举术语：“零点”“x轴截距”“根”“解”。

函数图像与x轴相交的点（即$y = 0$处）可称为零点、x轴截距、根或解。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：若一条连续图像的纵坐标值由正值变为负值，则在对应横坐标值之间，图像必经过0。

2. 图示
   观察依据

   该表格显示 y 从 1 在 $x = -1$ 变为 -2 在 $x =0$。

3. 动画
   观察依据

   绘制一幅新的红色坐标示意图，曲线显示在 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间穿过 x 轴。

若一个连续函数在某个 x 处取正值，而在另一个 x 处取负值，则在这两个 x 值之间至少存在一个零点。

1. 该函数在上述两个 x 值之间的区间上连续。

2. 其中一个端点处的函数值为正，另一个端点处的函数值为负。

存在至少一个介于给定两个 x 值之间的 c，使得 $f(c) = 0$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者口头描述了如何从图像上一点移动到另一点，并经过所有中间的 y 值。

2. 动画
   观察依据

   在两个标记的纵坐标水平之间添加红色水平线，以表示中间输出值。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从一条连续图像出发，并在其上选取两点。

   步骤依据

   这是讲解者为应用该定理所陈述的前提条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   由于图像没有间断，因此从一点移动到另一点时不可能跳过任何输出值。

   步骤依据

   连续性通俗地定义为：能够不抬笔地描出函数图像。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   因此，两个端点的纵坐标值之间的每一个 y 值，都在图像上某处被取到。

   步骤依据

   这是所呈现的介值定理的直观结论。

   视频直接表达

一条连续的图像，必在它的任意两点之间取到所有中间的 y 值。

1. 图示
   观察依据

   该表格列出了点 (-1, 1) 和 (0, -2)。

2. 声音
   观察依据

   讲话者询问在 -1 和 0 之间发生了什么，并指出图像必须从正的 1 变为负的 2。

3. 动画
   观察依据

   一条红色图像被勾勒出来，穿过所标出的点，并显示在 $x = -1$ 和 $x = 0$ 之间穿过 x 轴。

1. 公式

   $$$$
   解释

   读取表格中 $x = -1$ 和 $x = 0$ 处的函数值：输出分别为 1 和 -2。

   步骤依据

   这些数值在表格中可直接看到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在这两个 x 值之间，函数值的符号由正变负。

   步骤依据

   1 是正数，而 -2 是负数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   假设其底层图像连续，则它必在 $x = -0$ 与 $x =1$ 之间的某处经过 0。

   步骤依据

   这应用了本片段前文所讲解的介值定理思想。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   将所列各点描出，并勾勒一条连续曲线，可在新图中直观看出函数穿过横轴的位置。

   步骤依据

   主讲人绘制坐标系及曲线，以说明该结论。

   视频直接表达

在 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间的区间内，至少存在一个零点。

1. 声音
   观察依据

   主讲人逐行分析表格，指出符号变化的位置。

2. 图示
   观察依据

   在表格中y值符号发生变化的行旁画出红色箭头。

1. 公式

   $$$$
   解释

   观察表格中对应$x = -1$和$x = 0$的y值。y值由-1变为2。

   步骤依据

   直接观察白板上的表格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   由于y值符号由负变正，因此可得出结论：在$x = -1$与$x = 0$之间存在一个零点。

   步骤依据

   符号变化情形下的介值定理

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察$x = 1$和$x = 2$对应的y值。y值由-3变为7。

   步骤依据

   直接观察白板上的表格。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   由于符号由负变正，可得出在 $x = 1$ 与 $x = 2$ 之间存在一个零点。

   步骤依据

   符号变化情形下的介值定理。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   观察 $x = 2$ 与 $x = 3$ 对应的 y 值，二者均为正（7）。

   步骤依据

   直接观察黑板上的表格。

   视频直接表达
6. 公式

   $$$$
   解释

   由于未出现符号变化，仅凭此信息无法保证在 $x = 2$ 与 $x = 3$ 之间存在零点。

   步骤依据

   介值定理所需的符号变化条件未满足。

   视频直接表达

通过分析表格中的符号变化，我们可以确定连续函数必有零点的区间。

1. 图示
   观察依据

   屏幕上显示一张表格，其中 x 值为 -3、-2、-1、0、1、2，对应 y 值为 4、6、1、-2、3、7。

2. 声音
   观察依据

   主讲人借助该表格讨论多项式零点的寻找方法。

3. 动画
   观察依据

   他在一张新的坐标草图上描出这些点，并画出一条经过它们的连续曲线。

1. 本片段中未给出该多项式的具体表达式。

2. 主讲人指出该方法适用于多项式，但屏幕上所展示的表格本身仅是一组采样数值。

已知一个连续函数的若干 x 与 y 对应值表格，判断零点必然出现的位置。

1. 表格中包含点 (-3,4)、(-2,6)、(-1,1)、(0,-2)、(1,3) 和 (2,7)。

2. 该函数被视为连续函数。

找出一个必然包含零点的区间。

1. 公式

   $$$$
   解释

   按顺序检查各 y 值的符号。

   步骤依据

   当函数在连续区间上的输出值变号时，其间必存在一个零点。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   当 $x = -1$ 时，函数值为 1，为正数；当 $x = 0$ 时，函数值为 -2，为负数。

   步骤依据

   这些数据直接取自表格。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   因此，函数图像必在 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间穿过 x 轴。

   步骤依据

   这源于前文所述的介值定理思想。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   讲解者随后描出各点，并画出一条连续曲线，以直观呈现该穿越过程。

   步骤依据

   该示意图从图形角度验证了符号变化的论证。

   视频直接表达

零点必出现在 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间。

验证是图形化的：所绘制的连续曲线在 $x = -1$ 处位于 x 轴上方，而在 $x = 0$ 处位于 x 轴下方，因此它必在两者之间与该轴相交。

1. 图示
   观察依据

   黑板上展示了一个包含 x 列与 y 列的表格。

2. 声音
   观察依据

   主讲人利用该表格演示如何找出含有零点的区间。

给定一个连续函数的函数值表格，判断该函数必有零点的区间。

1. 函数值表格：(-3, 4), (-2, 6), (-1, -1), (0, 2), (1, -3), (2, 7), (3, 7)

找出至少包含一个零点的 x 区间。

1. 公式

   $$$$
   解释

   检查相邻 x 值对应的 y 值之间是否存在符号变化。

   步骤依据

   将介值定理应用于离散数据的方法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在 $x=-1$（$y=-1$）与 $x=0$（$y=2$）之间，y 值的符号由负变正。

   步骤依据

   观察表格中的数值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   因此，在 $x=-1$ 与 $x=0$ 之间存在一个零点。

   步骤依据

   介值定理。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   在 $x=1$（$y=-3$）与 $x=2$（$y=7$）之间，y 值的符号由负变正。

   步骤依据

   观察表格中的数值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   因此，在 $x=1$ 与 $x=2$ 之间存在一个零点。

   步骤依据

   介值定理。

   视频直接表达

零点必须存在于区间 (-1, 0) 和 (1, 2) 内。

白板上紧邻表格中这些特定行处所画的红色箭头的视觉确认。

1. 图示
   观察依据

   视频片段开头的坐标示意图上已画出一条蓝色曲线。

2. 动画
   观察依据

   主讲人在曲线上标出两个位置，并在它们的 y 值高度之间画出若干条红色水平线。

1. 蓝色连续曲线

2. 坐标轴

3. 曲线上标出的两个点

4. 红色水平线

1. 主讲人在已有曲线上添加标记。

2. 画出红色水平线以表示中间输出值。

1. 底层的蓝色曲线保持连续。

2. 坐标轴保持固定。

动画说明：连续图像无法从一个 y 值水平直接跳到另一个 y 值水平，而不经过其间的所有中间水平。

1. 图示
   观察依据

   黑板右侧显示了一个 x 与 y 的数值对照表。

2. 动画
   观察依据

   主讲人先在左侧画出一个新的红色坐标系，再将表格中的数值描点，最后用一条连续曲线将这些点连成平滑图形。

1. 部分已描出的点较小，且并非所有点都能在逐帧画面中同样清晰地辨认。

1. 两列对照表

2. 新的红色坐标轴

3. 已描出的点

4. 连续的红色曲线

5. x 轴交点所在区域

1. 画出了一个新的坐标系。

2. 将表格中的数值转化为已描出的点。

3. 一条连续曲线被绘制出来，经过这些点。

4. 在 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间的区域被特别强调，其中包含一个与 x 轴的交点。

1. 表格中的数值本身并不改变。

2. 在整个绘图过程中，连续性的逻辑假设始终得以保持。

这种视觉化过程将离散数据转化为连续图像，从而使符号变化可被视作零点必然存在的保证。

1. 图示
   观察依据

   红色箭头画在表格各行左侧，指向 y 值变号的位置。

1. x 与 y 的数值表

2. 红色箭头

1. 箭头出现在行 (-1, -1) 到 (0, 2) 以及 (1, -3) 到 (2, 7) 旁。

1. 表格中的数值保持不变。

这些箭头以视觉方式标出中间值定理所保证存在零点的区间——即函数输出发生符号变化的区间。

1. 声音
   观察依据

   讲解者反复将连续图像与‘提起笔、跳到另一处’这一想法进行对比。

人们或许会设想从图像上一点移动到另一点，却未经过其间的所有 y 值。

视频强调，这种情况在连续图像中不可能发生；连续性意味着图像没有断裂，也不会跳过任何中间输出值。

1. 声音
   观察依据

   说话人明确指出：‘正到正，它并未穿过 x 轴；只有当它从正变为负，或从负变为正时……’

误以为只要取任意两点，函数就必然穿过 x 轴（即存在零点），而不论这两点处 y 值的符号如何。

中间值定理仅在函数于某区间内发生符号变化（即由正变负，或由负变正）时，才保证存在零点；若两个 y 值同为正或同为负，则无法保证存在零点。

1. 声音
   观察依据

   在解释完一般性定理后，讲解者指出：在处理多项式并寻找零点时，实际应用是观察表格中是否存在符号变化。

一般性的介值定理思想被应用于一个特例：通过检测连续函数表中的符号变化来定位零点。

1. 声音
   观察依据

   讲解者先定义零点，随即立即利用表格找出零点必然出现的位置。

在例题讲解中，利用零点的定义来解释 $x = -1$ 与 $x = 0$ 之间函数值符号的变化。

1. 声音
   观察依据

   主讲人直接将符号变化的概念应用于所给的表格。

运用符号变化的方法（即介值定理）被应用于分析一张函数值表格的具体示例。

1. 声音
   观察依据

   开篇讲解先用文字陈述了该定理，并在图像上加以说明。

1. 介值定理的直观表述

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，函数值由正变负必然迫使图像经过 0。

1. 符号变化意味着连续函数存在一个零点
2. 函数的零点

1. 图示
   观察依据

   直接利用函数值表格来确定包含零点的区间。

1. 利用函数值表格定位零点

1. 声音
   观察依据

   整个片段聚焦于寻找函数零点所在的位置。

1. 符号变化的中间值定理
2. 从表格中寻找零点所在的区间

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释为何从正值到正值的变化不能保证函数穿过横轴。

1. 在无符号变化情况下假设存在零点